相关试卷

1、综合与实践：
综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动．
【问题发现】
$(1)$ 如图 $1$ ，在矩形 $A B C D$ 中， $∠ A C D = 30 °$ ，点 $F$ 在对角线 $A C$ 上，过 $F$ 点分别作 $A B$ 和 $A D$ 的垂线，垂足为 $E$ ， $G$ ，则四边形 $A E F G$ 为矩形．请问线段 $C F$ 与 $D G$ 的数量关系为　　．
【拓展探究】
$(2)$ 如图 $2$ ，将图 $1$ 中的矩形 $A E F G$ 绕点 $A$ 逆时针旋转，记旋转角为 $α$ ，当 $0 ° < α < 180 °$ 时，连接 $C F$ ， $D G$ ，在旋转的过程中， $C F$ 与 $D G$ 的数量关系是否仍然成立？请利用图 $2$ 进行证明．
【解决问题】
$(3)$ 如图3，当矩形 $A B C D$ 的边 $A D = A B$ 时，点 $E$ 为直线 $C D$ 上异于 $D$ ， $C$ 的一点，以 $A E$ 为边作正方形 $A E F G$ ，点 $H$ 为正方形 $A E F G$ 的中心，连接 $D H$ ，若 $A D = 4$ ， $D E = 2$ ，直接写出 $D H$ 的长．

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2、若关于x的一元二次方程 $a x^{2} - 2 x - 3 = 0$ 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为．

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3、综合与实践
【项目背景】 $GDP$ 一般指一个国家或地区在一定时期内所生产的所有最终商品和服务的市场价值总和，为了解安徽省近五年来经济发展状况，数学兴趣小组通过调查安徽省2023年和2025年上半年全省16市 $GDP$ 值，为安徽省经济蓝图发展提出建议．
将收集的数据进行如下分组：
组别
A
B
C
D
$x$
        $x \geq 2000$
        $1500 \leq x < 2000$
        $1000 \leq x < 1500$
        $x < 1000$
绘制2023，2025上半年安徽省各市 $GDP$ 频数分布直方图

(1)、任务一：分别补全上述两幅条形统计图；

(2)、任务二：【数据收集与整理】单位（亿元，数据来源：安徽省统计局发布）
2023年C组值
1409
1332
1181
1065
1057
1030
2025年C组值
1462
1351
1311
1225
1173
1135
2023年上半年16市 $GDP$ 数据中位数是 $a, 2025$ 年上半年16市 $GDP$ 数据中位数是 $b$ ，则 $a =$ ___________， $b =$ ___________；

(3)、任务三：下列说法正确的是___________；
①相比2023年，2025年A组个数增加 $50 %$ ；
②相比2023年，2025年D组个数减少 $20 %$ ；
③不计算，记2023年C组数据方差为 $S_{1}^{2}, 2025$ 年C组数据方差为 $S_{2}^{2}$ ，则 $S_{1}^{2} > S_{2}^{2}$ ．

(4)、任务四：结合两幅统计图，对安徽省经济增降情况做出判断并给出 $1 \sim 2$ 条合理的建议．

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4、2026年春晚<<武 $B O T$ >>机器人表演武术，动作精准，难度极高，视觉冲击力极强意义重大．如图 $1$ ，这是捕捉某款机器人表演的姿态，图 $2$ 为其某一瞬间姿态的平面示意图，其中 $∠ B A E = 120 °$ ， $∠ B C D = 150 °$ ， $∠ A B C = 3 ∠ C B F$ ，若 $A E ∥ C D$ ，则 $∠ A B F =$ 度．

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5、一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300支以上（不包括300支)，可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支)只能按零售价付款。某会议会务人员到该店采购铅笔，如果给参会人员每人购买1支，那么只能按零售价付款，需用 120元；如果多购买60支，那么可以按批发价付款，同样需用 120元。

(1)、该会议的参会人员总数在什么范围内?

(2)、如果按批发价购买360 支与按零售价购买300支所付款相同，那么该会议的参会人员有多少人?

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6、阅读理解
材料1：为了研究分式与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据：
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
$\frac{1}{x}$
…
-0.25
-0.3
-0.5
-1
无意
义
1
0.5
0.3
0.25
…
从表格数据观察，当x>0时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0；当x<0时，随着x的增大，的值也随之减小.
材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式.当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式.有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式.如：
$\frac{2 x + 1}{x - 4} = \frac{2 x - 8 + 9}{x + 4} = \frac{2 x - 8}{x - 4} + \frac{9}{x - 4} = 2 + \frac{9}{x - 4}$
根据上述材料完成下列问题：

(1)、当x>0时，随着x的增大， $1 + \frac{1}{x}$ 的值（增大或减小)；
当x<0时，随着x的增大， $\frac{x + 2}{x}$ 的值（增大或减小)；

(2)、当x>1时，随着x的增大， $\frac{2 x + 2}{x - 1}$ 的值无限接近一个数，请求出这个数；

(3)、当0≤x≤2时，求代数式 $\frac{5 x - 2}{x - 3}$ 值的范围。

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7、解方程

(1)、 $\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{4}{x^{2} - 1} = 1$

(2)、 $\frac{1 - 3 x}{1 + 3 x} - \frac{3 x + 1}{3 x - 1} = \frac{12}{1 - 9 x^{2}}$

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8、计算

(1)、 ${(- 2)}^{2} + {(\sqrt{3} - π)}^{0} + ∣ 1 - \sqrt{3} ∣$

(2)、先化简再求值 $(1 - m + \frac{3}{m + 1}) \div \frac{m + 2}{m + 1}$ ，其中 $m = 2 - \sqrt{2}$

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9、化简 $\frac{4 x}{x^{2} - 4} - \frac{x}{x - 2}$ 的结果是（ )

A、 $- x^{2} + 2 x$ B、 $- x^{2} + 6 x$ C、 $- \frac{x}{x + 2}$ D、 $\frac{x}{x - 2}$

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10、若分式 $\frac{x}{x + 3}$ 有意义，则x的取值范围是（ )

A、x≠-3 B、x≠0 C、 $x \neq \frac{1}{3}$ D、x≠3

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11、下列关于x的式子中，属于分式方程的是（ )

A、 $\frac{2}{x}$ B、 $\frac{x - 3}{4} = 1$ C、 $\frac{x + 3}{x + 2} = 4$ D、 $\frac{x}{2} + \frac{3}{4} = \frac{3}{2} x$

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12、阳春三月，草长莺飞，春花烂漫，为让学生们近距离接触大自然，积累写作素材，提高写作能力.永州某中学文学社组织学生到距离学校40千米的永州植物园参观，共租用了一辆大客车和一辆小汽车，两车同时从学校出发，已知小汽车速度是大客车的1.5倍，小汽车司机小李因不留神从植物园的大门驶过，后发现路况不对，只好停下车来向路人询问，方知已经驶过植物园7千米，于是立即调头，恰好在植物园的大门口与大客车相遇，已知小李因问路而耽误了6分钟，求两车的速度分别是多少?

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13、被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍.现有两块试验田，A块种植杂交水稻，B块种植普通水稻，A块试验田比B块试验田少4亩.

(1)、A块试验田收获水稻9600千克、B块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克?

(2)、为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的B块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700千克，那么至少把多少亩B块试验田改种杂交水稻?

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14、下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务.
$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 6 x + 9} - \frac{2 x + 1}{2 x + 6} = \frac{(x + 3) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{2 x + 1}{2 (x + 3)} \dots$ 第一步
$= \frac{x - 3}{x + 3} - \frac{2 x + 1}{2 (x + 3)} \dots$ 第二步
$= \frac{2 (x - 3)}{2 (x + 3)} - \frac{2 x + 1}{2 (x + 3)} \dots$ 第三步
=2x-6-2x-1…第四步
=-7…第五步
任务一：
以上化简步骤中，第    ▲        步是进行分式的通分，通分的依据是    ▲     ；
任务二：
本题解答是否正确?    ▲     ；
如果正确，请指出第四步变形的依据    ▲      ，
如果错误，请写出该分式化简的正确步骤.

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15、解方程

(1)、 $\frac{x}{x - 1} - 1 = \frac{2}{x + 1}$

(2)、 $\frac{3}{x - 1} - \frac{x + 2}{x (x - 1)} = 0$

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16、计算

(1)、 $\frac{m - 1}{m} \div \frac{m^{2} - 1}{m^{2}}$

(2)、 $a - \frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{a + b} - b$

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17、若式子 $\frac{4}{m - 1}$ 有意义，则实数x的取值范围是 .

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18、分式 $\frac{\sqrt{1 - x}}{∣ x ∣ - 2}$ 的值是整数，则正整数m的值等于.

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19、当x=时，分式 $\frac{x^{2} - 1}{1 + x}$ 无意义，当x=时，分式 $\frac{x^{2} - 1}{1 + x}$ 的值为0.

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20、已知 $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{2},$ 则 $\frac{a b}{b - a}$ 的值是（ )

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、2 D、- 2

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组别	A	B	C	D
$x$	$x \geq 2000$	$1500 \leq x < 2000$	$1000 \leq x < 1500$	$x < 1000$

2023年C组值	1409	1332	1181	1065	1057	1030
2025年C组值	1462	1351	1311	1225	1173	1135