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1、2025年11月9日至21日，第十五届全国运动会在粤港澳三地举行，文明参赛、文明观赛蔚然成风，吉祥物“雄雄”“祥祥”“和和”“美美”爆火．某文创中心在售 $A$ ， $B$ 两种吉祥物挂件，已知每个 $A$ 种挂件的价格是每个 $B$ 种挂件价格的 $\frac{3}{5}$ ，用180元购买 $A$ 种挂件的数量比用100元购买 $B$ 种挂件的数量多8个，求每个 $A$ 种挂件的价格．

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2、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D ⊥ B C$ ，垂足为 $D$ ，点 $E$ 在 $A D$ 上，找出图中的全等三角形，并任选其中一对进行证明．

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3、如图，在平面直角坐标系中，已知 $A (0, 3)$ ， $B (3, - 2)$ ， $C (4, 3)$ ．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于 $x$ 轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $A_{1}$ 的坐标．

(2)、求 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积．

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4、在解分式方程 $\frac{1}{5 - x} - 1 = \frac{x - 2}{x - 5}$ 时，小江的解法如下：
第一步： $\frac{1}{5 - x} \cdot (x - 5) - 1 = \frac{x - 2}{x - 5} \cdot (x - 5)$
第二步： $- 1 - 1 = x - 2$
第三步： $x = 0$
第四步：检验：当 $x = 0$ 时， $x - 5 \neq 0$
第五步： $∴$ 原分式方程的解为 $x = 0$
小江的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小江的解答过程是否正确，若不正确，请你写出正确的解答过程．

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5、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B C = 6$ ， $A C = 8$ ， $A B = 10$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于点 $D$ ，则 $C D$ 长为．

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6、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 36 °$ ，点 $D$ 在 $A C$ 上， $A D = B D = B C$ ，则 $∠ C =$ $°$ ．

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7、计算 $y^{2} \cdot y^{3} =$ ．

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8、在机械化作业中，拖拉机 $a$ 天耕地 $b$ 公顷，则拖拉机的工作效率是公顷/天．

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9、如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 均在小正方形方格的顶点上，线段 $A B$ ， $C D$ 交于点 $F$ ，若 $∠ A F D = 41 °$ ，则 $∠ A B E$ 等于（）

A、 $139 °$ B、 $131 °$ C、 $98 °$ D、 $136 °$

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10、卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙速度）约是 $7.9 \times 10^{3} m / s$ ，则卫星绕地球运行 $3 \times 10^{4} s$ 走过的路程约是（）（结果用科学记数法表示）

A、 $0.237 \times 10^{9} m$ B、 $2.37 \times 10^{8} m$ C、 $2.37 \times 10^{7} m$ D、 $23.7 \times 10^{7} m$

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11、下列运算正确的是（）

A、 ${(- 2 a)}^{3} = - 8 a^{3}$ B、 $3 a^{2} \cdot 2 a^{3} = 6 a^{6}$ C、 ${(2 a^{2})}^{3} = 2 a^{6}$ D、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$

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12、下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（）

A、 $a (x + y) = a x + a y$ B、 $(x + 2) (x - 3) = x^{2} - x - 6$ C、 $x^{2} + 2 x + 1 = x (x + 2) + 1$ D、 $x^{2} - 4 = (x + 2) (x - 2)$

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13、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 50 °$ ，点 $D$ 是 $B C$ 延长线上的一点， $∠ A C D = 130 °$ ，则 $∠ A$ 的度数为（）

A、 $50 °$ B、 $55 °$ C、 $80 °$ D、 $25 °$

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14、下列各式中，不是分式的是（）

A、 $\frac{1}{a}$ B、 $\frac{1}{a + 5}$ C、 $\frac{c}{a^{2} b}$ D、 $\frac{a}{3}$

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15、下列四个条件中，能确定 $△ A B C$ 为直角三角形的是（）

A、在 $△ A B C$ 中， $∠ A$ ， $∠ B$ 都是锐角 B、 $△ A B C$ 的三个内角的度数之比是 $1 : 2 : 3$ C、在 $△ A B C$ 中， $∠ A - 2 ∠ B = ∠ C$ D、 $△ A B C$ 的三个外角的度数之比是 $2 : 5 : 5$

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16、中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（）

A、 B、 C、 D、

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17、如图，在 $△ A B C$ 中， $A C$ 边上的高是（）

A、 $B D$ B、 $C E$ C、 $A E$ D、 $C F$

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18、下列长度的三条线段能组成三角形的是（）

A、2，3，6 B、4，5，9 C、4，5，8 D、4，4，8

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19、如图，在 $△ O A B$ 和 $△ O C D$ 中，
$O A = O B, O C = O D, O A > O C, ∠ A O B = ∠ C O D = 40 °$ ，连接 $A C, B D$ 交于点M，连接 $O M$ ．下列结论：① $A C = B D$ ；② $∠ A M B = 40 °$ ；③ $O M$ 平分 $∠ B O C$ ；④ $M O$ 平分 $∠ B M C$ ．其中正确的序号为．

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20、综合与实践
【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系．
【研究条件】
条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数；
条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人．
【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数 $y$ 与安检时间 $x$ 之间满足关系式： $y = - x^{2} + 60 x + 100 (0 \leq x \leq 30)$
结合上述信息，请完成下述问题：
（1）当开通3条安检通道时，安检时间 $x$ 分钟时，已入场人数为__________，排队人数 $w$ 与安检时间 $x$ 的函数关系式为_________.
【模型应用】
（2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？
（3）已知该演出主办方要求：
①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少；
②尽量少安排安检通道，以节省开支．
若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由?
【总结反思】
函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性．

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