相关试卷

1、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $C B = C D$ ， $∠ A = 60 °$ ，点 $E$ 为 $A D$ 上一点，连接 $B D$ ， $C E$ 交于点 $F$ ， $C E ∥ A B$ ．

(1)、判断 $△ D E F$ 的形状，并说明理由；

(2)、若 $A D = 13$ ， $C E = 9$ ，则 $C F$ 的长为．

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2、已知： $△ A B C$ 是等边三角形， $D$ 是直线 $B C$ 上一动点，连接 $A D$ ，在线段 $A D$ 的右侧作射线 $D P$ 且使 $∠ A D P = 30 °$ ，作点 $A$ 关于射线 $D P$ 的对称点 $E$ ，连接 $D E$ ， $C E$ ．

(1)、当点 $D$ 在线段 $B C$ 上运动时，
①依题意将图1补全；
②请用等式表示线段 $A B$ ， $C E$ ， $C D$ 之间的数量关系，并证明；

(2)、如图2，当点 $D$ 在直线 $B C$ 上运动时，请直接写出 $A B$ ， $C E$ ， $C D$ 之间的数量关系，不需证明．

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3、如图，已知 $△ A B C$ ， $A B = A C$ ， $∠ B = 50 °$ ，点 $D$ 在线段 $B C$ 上，点 $E$ 在线段 $A C$ 上，设 $∠ B A D = α$ ， $∠ C D E = β$ ．

(1)、如果 $α = 20 °$ ， $β = 10 °$ ，那么 $△ A D E$ 是等边三角形？请说明理由；

(2)、若 $A D = A E$ ，试求 $α$ 与 $β$ 之间的关系．

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4、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 120 °$ ， $A D ⊥ B C$ 交 $B C$ 于点 $G$ ，且 $A D = A B$ ， $∠ E D F = 60 °$ ，其两边分别交边 $A B$ ， $A C$ 于点 $E$ ， $F$ ．

(1)、求证： $△ A B D$ 是等边三角形；

(2)、若 $G D = 3$ ， $D E = 5$ ，求四边形 $A E D F$ 的周长．

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5、如图，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $60 °$ 得到 $△ A E F$ ，点 $E$ 落在 $B C$ 边上， $E F$ 与 $A C$ 交于点 $G$ ．

(1)、求证： $△ A B E$ 是等边三角形；

(2)、若 $∠ A C B = 26 °$ ，求 $∠ F G C$ 的度数．

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6、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B = 60 °$ ， $A B = B C$ ， $A D = C D$ ．连接 $A C$ ，过点D作 $D E ∥ A B$ 分别交 $B C$ ， $A C$ 于点E，F．若 $A B = 8$ ， $D E = 6$ ，则 $A F$ 的长为．

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7、如图，已知 $∠ O = 60 °$ ，点 $C$ 在 $O B$ 上， $O C = 8$ ，点 $D$ 、 $E$ 在 $O A$ 上，且 $C D = C E$ ．若 $D E = 4$ ，则 $O E$ 的长为（）

A、 $6$ B、 $4$ C、 $3$ D、 $2$

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8、如图， $△ A B C$ 为等边三角形， $A E = C D$ ， A $D$ 、 $B E$ 相交于点 $P$ ， $B Q ⊥ A D$ 于 $Q$ ．

(1)、求证： $△ A D C ≌ △ B E A$ ；

(2)、若 $P Q = 5$ ， $P E = 2$ ，求 $A D$ 的长．

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9、如图， $△ A B C$ 是等边三角形． $A B = 6$ ， $A D$ 是边 $B C$ 上的高，点E在边 $A D$ 上，连接 $B E$ ，以 $B E$ 为边在其下方作等边 $△ B E F$ ，连接 $D F 、 C F$ ．

(1)、当 $△ B D E$ 是等腰三角形时， $∠ A B F =$ ；

(2)、求证： $△ A B E ≌ △ C B F$ ；

(3)、当 $△ C D F$ 是等腰三角形时，求 $∠ B D F$ 的大小；

(4)、直接写出 $D F$ 的最小值．

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10、如图，点 $D$ 是等边 $△ A B C$ 中边 $A B$ 上一点，延长 $B C$ 至点 $E$ ，使 $C E = A D$ ，连接 $D E$ ，与 $A C$ 相交于点 $F$ ，过点 $D$ 作 $D H ⊥ A C$ ，垂足为点 $H$ ，若 $A B = 12$ ，则 $H F$ 的长度为．

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11、如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点 $A$ 和点 $B$ 在小正方形的顶点上．

⑴在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为 $(- 2,2)$ ， B点坐标为 $(2, - 1)$ ；
⑵在第二象限的格点上找一点C ，使 $△ A B C$ 为等腰三角形，画出三角形，并写出点C的坐标．
⑶画出 $△ A B C$ 关于y轴对称的三角形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ．

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12、如图，在平面直角坐标系中，已知 $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别是 $A (1,2)$ ， $B (3,0)$ ， $C (5,3)$ ．

⑴将 $△ A B C$ 向下平移5个单位，得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，请画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；
⑵请画出 $△ A B C$ 关于y轴对称的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；
⑶点P是x轴上的动点，当 $△ P A B$ 是等腰三角形时，这样的点P有个．

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13、如图，是规格为 $8 \times 8$ 的正方形的网格，请你在所给的网格中按下列要求操作：

(1)、请在网格中建立直角坐标系，使 $A$ 点坐标为 $(4, - 2)$ ， $B$ 点坐标为 $(2, - 4)$ ；

(2)、在第四象限中，当 $△ A B C$ 是以 $A B$ 为底的等腰三角形，且腰长为无理数时， $△ A B C$ 的周长是，面积是．

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14、平面直角坐标系中，点A在第二象限，且到x轴的距离为4，到y轴的距离为2．
⑴在坐标系中描出点A的位置，并写出点A的坐标；
⑵作点A关于y轴的对称点B ，并写出点B的坐标；
⑶在x轴上找一点C使 $△ A B C$ 为等腰三角形，写出符合要求的所有点C的坐标．

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15、耩（音同“讲”）子是一种传统衣用播种的工具，大小款式不一，图（1）是改良后有轮子的一种，图（2）是其示意图，现测得 $B C = 40 cm ， ∠ C = 30 ° ， ∠ B A C = 45 °$ ．为了使耩子更牢固， $A B$ 处常用钢筋连接，求 $A B$ 长度？（结果保留根号）

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16、如图，要在河的一侧测量河对岸 $A$ ， $B$ 两点的距离．选择点 $C$ ，使 $A$ ， $B$ ， $C$ 在一条直线上，作射线 $C F$ ，则得 $∠ A C F = 50 °$ ，在射线 $C F$ 上选取点 $D$ 和点 $E$ ，使 $∠ B D C = 65 °$ ， $∠ A E C = 65 °$ ．这时测得 $D E$ 的长就是 $A$ ， $B$ 两点的距离，为什么？

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17、为了测量一池塘两端A ， B的距离，三个数学研究小组设计了不同的可行性方案，如池塘示意图，他们在池塘西岸的点A处测得池塘点B恰好在点A的正东方向，测量方案如下表

课题	测量池塘两端A ， B的距离		池塘示意图：
工具	测量角度的仪器，标杆，皮尺，激光笔
小组	第一小组	第二小组	第三小组
测量方案	①从A点出发，向北走到C点；②测得 $∠ A C B = 45 °$ ， $C A = 20 m$	①从A点出发，向北走到O点插上一根标杆； ②继续向北走相同的距离到达D点； ③再向西走到E点，使B ， O ， E三点共线； ④测得 $D E = 20 m$	①将标杆垂直立在池塘岸边的点A处，再将激光笔固定在标杆的顶部F处； ②调整激光笔与标杆的夹角，使其射出的光线正好落在池塘对岸的点B； ③保持标杆与激光笔的夹角不变，转动标杆，使激光笔射出的光线落在同岸的点G ，此时 $∠ B F A = ∠ G F A$ ； ④测得：数据1： $A G = 20 m$ ；数据2： $A F = 2 m$ ．
测量示意图

(1)、第一小组测得

A C

即

A B

的距离，证明方法如下：

证明： $∵ A C ⊥ A B$

$∴ ∠ C A B = 90 °$

$∵ ∠ A C B = 45 °$ (转右框)

$∴ ∠ A B C = 90 ° - ∠ A C B = 90 ° - 45 ° = 45 ° ∴ ∠ A C B = ∠ A B C$

$∴ A B = A C = 20 m$ (理由：

(2)、请用第二小组的方案，求出池塘两端A ， B的距离；

(3)、其他小组的同学发现，第三小组方案的第④步只用其中一个数据就可以求出池塘两端A ， B的距离，请你在第④步中选择一个有效数据求出池塘两端A ， B的距离．

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18、如图，已知在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A D$ 是角平分线，过点B作 $B A$ 的垂线与 $A D$ 的延长线相交于点E ，求证： $△ B D E$ 是等腰三角形．

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19、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = C B$ ，点 $D$ 是边 $A C$ 上一点，点 $E$ 为 $△ A B C$ 外的任意一点，连接 $B D, B E, D E$ ，其中 $B E = B C$ ， $∠ A B D = ∠ E B D$ ．

(1)、求证： $△ A B D ≌ △ E B D$ ；

(2)、若 $∠ C A B = ∠ D B A$ ， $B E = 6$ ， $A C = 10$ ，求 $△ B D C$ 的周长．

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20、 $Rt△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $△ A B C$ 的高 $C D$ 与角平分线 $B E$ 交于点 $F$ ．

(1)、求证 $∠ C A D = ∠ B C D$ ；

(2)、求证： $△ C E F$ 为等腰三角形．

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