相关试卷

1、由4个小正方体组成的图形如图所示，则其左视图是( )

A、 B、 C、 D、

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2、一个不透明的袋子里装有3个除颜色外其他都相同的小球，分别标有数字 1，2，3，随机摸出一个小球，摸到偶数的概率是( )

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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3、 - 2026的相反数是( )

A、- 2026 B、2026 C、±2026 D、 $\frac{1}{2026}$

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4、如图，四边形 $A C P D$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形，点 $B$ 是 $D C$ 延长线上一点，连接 $A B 、 A D 、 A P ， A P$ 交直径 $C D$ 于 $E$ ，若 $∠ B A C = ∠ A D B$ ， $\tan ∠ A D B = \frac{1}{2}$ ， $A B = 2 \sqrt{10}$ ．

(1)、求证： $A B$ 与 $⊙ O$ 相切；

(2)、若 $A P$ 平分 $∠ C A D$ ，求 $\frac{P E}{A P}$ 的值；

(3)、设 $C E = x$ ，记 $a = \frac{C P \cdot P D}{P E}, b = A E \cdot E P$ ，若 $y = \frac{A C^{2} \cdot A D^{2}}{a^{2}} + b$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并求自变量 $x$ 的取值范围．

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5、在平面直角坐标系中，对于抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ $($ $a$ ， $b$ ， $c$ 是常数， $a \neq 0$ $)$ 图象上两个不同的点 $P (x_{1}, y_{1})$ ， $Q (x_{2}, y_{2})$ ，我们不妨约定：
如果满足 $a^{2} + a (y_{1} + y_{2}) + y_{1} y_{2} = 0$ ，且 $y_{1} \neq y_{2}$ ，则称点 $P$ 与点 $Q$ 是一对“失衡点”；
如果满足 $2 a^{2} - 2 a (y_{1} + y_{2}) + y_{1}^{2} + y_{2}^{2} = 0$ ，则称点 $P$ 与点 $Q$ 是一对“平衡点”；
若某函数图象上同时存在至少一对“失衡点”和至少一对“平衡点”，则称该函数为“完备函数”．

(1)、判断下列说法是否正确（正确的打“√”，错误的打“×”）：
①函数 $y = x^{2} + 1$ 是“完备函数”；（     ）
②函数 $y = - x^{2} + 2 x$ 上存在无数对“失衡点”；（     ）
③若点 $P$ 与点 $Q$ 是一对“平衡点”，则它们也是一对“失衡点”．（     ）

(2)、已知抛物线 $y = a x^{2} - a (a \neq 0)$ 与一次函数 $y = k x + m$ 相交于两点 $P$ 、 $Q$ ，且 $P$ 、 $Q$ 恰好是该抛物线上的一对“失衡点”．若 $x_{1} = 4 - x_{2}$ ，直线 $P Q$ 是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；否则，请说明理由；

(3)、若抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 是“完备函数”，点 $A$ 、 $B$ 是一对“平衡点”．抛物线的顶点为 $E$ ，它与 $x$ 轴交于 $C$ 、 $D$ 两点．当 $△ C D E$ 是等边三角形时，记 $△ A B E$ 的面积为 $S$ ，试求 $\frac{S}{\sqrt{3 + a^{2}}}$ 的最小值．

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6、如图1，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $B C$ 上一点， $D F ⊥ A E$ 于点 $F$ ，设 $\frac{A D}{A E} = λ (λ > 0)$ ．

(1)、若 $C E = F E$ ，求证： $λ = 1$ ；

(2)、如图2，若 $A B = 3, A D = 4$ ，且D、B、F在同一直线上时，求 $λ$ 的值．

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7、网红长沙本土奶茶店“茶颜悦色”销售A，B两种饮品，部分销售记录如表所示：
A
B
销售金额
60杯
20杯
1220元
30杯
40杯
1090元

(1)、求A，B两种饮品的单价；

(2)、某班准备购买A，B两种饮品共30杯作为奖品发放给学生，若购买A种饮品的数量不超过B种饮品数量的4倍，那么该班购买30杯饮品最少花多少钱？

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8、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的一条弦，点 $C$ 是 $⊙ O$ 外一点， $O C ⊥ O A$ ， $O C$ 交 $A B$ 于点 $P$ 、交 $⊙ O$ 于点 $Q$ ，且 $C P = C B$ ．

(1)、求证： $B C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $∠ A = 22.5 °$ ， $r = 2$ ，求图中阴影部分的面积．

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9、国家电影局2026年2月24日发布数据，2026年春节档电影票房为57.52亿元，观影人次为1.20亿．《飞驰人生3》票房领跑，《惊蛰无声》《镖人：风起大漠》《熊出没·年年有熊》《熊猫计划之部落奇遇记》《星河入梦》位列二至六位．
其中电影A《飞驰人生3》、B《惊蛰无声》、C《镖人：风起大漠》、D《熊出没·年年有熊》票房排名前四，为了解长沙初中学生对这4部电影的喜爱程度，调查小组随机抽取若干名学生的检测结果作为样本进行数据处理，制作了如下所示不完整的统计表和统计图．
等级
频数
频率
A
$a$
0.3
B
35
0.35
C
31
$b$
D
4
0.04
请根据图表提供的信息，解答下列问题：

(1)、 $a =$ ___________， $b =$ ___________；

(2)、请补全条形统计图；

(3)、若长沙某初中共有学生1600人，据此估算该校喜爱“A《飞驰人生3》”的学生人数为_________人；

(4)、张老师在班上抽取了4名学生，其中喜爱“A”的1人，喜爱“B”的2人，喜爱“C”的1人，若从这4人中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法，求抽取的2人均喜爱“B《惊蛰无声》”的概率．

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10、烈士公园纪念塔1958年建于今东风路湖南烈士公园内，由 $2932$ 块白玉石和花岗石砌成，雕栏刻柱，翠绿琉璃瓦塔顶，威武雄伟．为测量纪念塔的高度，数学建模小组同学先在该纪念塔附近一栋楼房的底端 $A$ 点处观测纪念塔顶端 $C$ 处的仰角是 $65 °$ ，然后在安全人员的引导下去该楼房顶端 $B$ 点处观测纪念塔底部 $D$ 处的俯角是 $30 °$ ．已知楼房高 $A B$ 是 $16 m$ ，求：

(1)、楼房与纪念塔底部距离 $A D$ 的长（保留根号）；

(2)、该纪念塔的高度．（结果精确到 $1 m$ ，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73, \sin 65 ° \approx 0.91, \cos 65 ° \approx 0.42$ ， $\tan 65 ° \approx 2.14$ ）

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11、先化简，再求值： $(\frac{a^{2} - 4}{a^{2} - 4 a + 4} - \frac{1}{2 - a}) \div \frac{1}{a^{2} - 2 a}$ ，其中 $a = - 1$ ．

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12、计算： $2 \sin 30 ° + {(\frac{1}{3})}^{- 2} - {(3 - π)}^{0} - | - 2 |$ ．

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13、雅雅让同学们猜一个两位数，四位同学对这个数作出了如下猜测：
甲：“这个数比60小，它是个双数．”
乙：“这个数比80大，它是个单数．”
丙：“这个数的数字和是12；它加上5后是11的倍数．”
丁：“这个数加上9后是10的倍数；它加上6后是7的倍数．“
雅雅检查后发现，每个同学都恰好说对了一半，这个两位数是．

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14、若正多边形的一个外角是 $45 °$ ，则该正多边形的内角和为度．

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15、如图，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 是半径为 $4$ 的 $⊙ O$ 上的三个点，若 $∠ A B C = 60^{°}$ ，则弦 $A C$ 的长等于．

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16、使代数式 $\sqrt{x - 2026}$ 有意义的 $x$ 取值范围是．

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17、分解因式： $m - m a^{2} =$ ．

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18、如图，等腰三角形 $A B C$ 内接于 $⊙ O$ ，且点 $O$ 在底边 $A C$ 上， $A B = \sqrt{2}$ ，则 $\overset{⌢}{A B}$ 的长是（）

A、 $π$ B、 $\frac{3}{2} π$ C、 $2 π$ D、 $\frac{1}{2} π$

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19、如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在AB边上，若 $B D = 4, A D = 6$ ，且 $∠ B C D = ∠ A$ ，则 $B C$ 的长为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{10}$ D、 $4 \sqrt{10}$

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20、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ A = 20 °$ ，观察图中尺规作图的痕迹，可知 $∠ B C D$ 的度数为（）

A、 $20^{°}$ B、 $30^{°}$ C、 $40^{°}$ D、 $45^{°}$

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A	B	销售金额
60杯	20杯	1220元
30杯	40杯	1090元

等级	频数	频率
A	$a$	0.3
B	35	0.35
C	31	$b$
D	4	0.04