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1、如图，在 $▱ A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在 $A B$ ， $C D$ 上， $B E = D F$ ，连接 $E F$ 与对角线 $A C$ 相交于点 $O$ ．

(1)、求证： $O E = O F$ ；

(2)、连接 $C E$ ， $G$ 为 $C E$ 的中点，连接 $O G$ ．若 $O G = 2$ ，求 $A E$ 的长．

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2、在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 、 $F$ 分别是 $A D$ 、 $B C$ 边的中点，连接 $A F$ 、 $C E$ ．

(1)、如图1，求证：四边形 $A E C F$ 是平行四边形；

(2)、如图2，连接 $B D$ ，分别交线段 $A F$ 、 $C E$ 于点 $G$ 、 $H$ ，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中全等三角形（ $△ A B D ≌ △ C D B$ 除外）．

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3、四边形 $A B C D$ 中 $A B ∥ C D$ ， $∠ A B C = ∠ A D C$ ．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是平行四边形；

(2)、E是 $B C$ 上一点，连接 $D E$ ， F在 $D E$ 上，连接 $A F$ 、 $C F$ ， $A F = C F$ ， $∠ D A F = ∠ D F C$ ，求证： $C E = F D$ ；

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4、将以点 $O$ 、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若点 $O$ 为坐标原点，点 $C$ 的坐标是 $(1 ， 3)$ ，点 $A$ 的坐标是 $(5 ， 0)$ ，则点 $B$ 的坐标是（）

A、 $(6 ， 3)$ 或 $(4 ， - 3)$ ） B、 $(6 ， 3)$ 或 $(- 4 ， 3)$ C、 $(6 ， 3)$ 或 $(- 3 ， 4)$ 或 $(3 ， - 4)$ D、 $(6 ， 3)$ 或 $(- 4 ， 3)$ 或 $(4 ， - 3)$

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5、如图，在平面直角坐标系中， $▱ A B C D$ 的顶点 $A (- 3,2)$ ， $B (- 1, - 2)$ ， $C (3, - 2)$ ，则点 $D$ 的坐标为（）

A、 $(1,2)$ B、 $(2,1)$ C、 $(1,3)$ D、 $(2,2)$

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6、如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点 $A$ 落在长边 $C D$ 上的点 $A$ 处，并得到折痕 $D E$ ，小宇测得长边 $C D = 8$ ，则四边形 $A^{'} E B C$ 的周长为．

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7、如图，在 $▱ A B C D$ 中，将 $△ A D C$ 沿 $A C$ 折叠后，点D恰好落在 $D C$ 的延长线上的点E处若 $∠ D = 60 °, A B = 3$ ，则 $B C$ 为．

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8、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $E$ 为边 $C D$ 上一点，将 $△ A D E$ 沿 $A E$ 折叠至 $△ A D^{'} E$ 处， $A D^{'}$ 与 $C E$ 交于点 $F$ ，若 $∠ B = 52 °$ ， $∠ D A E = 20 °$ ，则 $∠ A E D^{'}$ 的大小为（）

A、 $110 °$ B、 $108 °$ C、 $105 °$ D、 $100 °$

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9、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 交于点 $O$ ， $A C = 10$ ， $C D = 4$ ， $∠ A C D = 30 °$ ，则 $△ B O C$ 的面积等于．

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10、如图， $▱ A B C D$ 中， $B D$ 为对角线，分别以点A、B为圆心，以大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径画弧，两弧相交于点M、N ，作直线 $M N$ 交 $A D$ 于点E ，交 $A B$ 于点F ，若 $A D ⊥ B D$ ， $B D = 12 ， B C = 18$ ，则 $D E$ 的长为．

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11、如图所示，已知 $E$ 是平行四边形 $A B C D$ 的边 $A B$ 上一点，将 $△ A D E$ 沿直线 $D E$ 折叠，点 $A$ 恰好落在边 $B C$ 上的点 $F$ 处，如果 $△ B E F$ 的周长为 $7$ ， $△ C D F$ 的周长为 $15$ ，那么 $C F$ 的长等于．

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12、如图，点E为平行四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 上一点， $A C = 5 ， C E = 1$ ，连接 $D E$ 并延长至点F ，使得 $E F = D E$ ，连接 $B F$ ，则 $B F$ 为（）

A、2.5 B、3 C、3.5 D、8

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13、如图， $▱ A B C D$ 中， $A E$ 平分 $∠ D A B$ ，交 $B C$ 边于点E ， $∠ D = 110 °$ ，则 $∠ A E C$ 的度数是（）

A、 $110 °$ B、 $125 °$ C、 $135 °$ D、 $145 °$

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14、如图，在 $▱ A B C D$ 中，作 $∠ A B C$ 的平分线交 $C D$ 于点E ，连接 $A E$ ， $B D$ ，若 $∠ C = 60 °$ ， $∠ E A B = 40 °$ ，则 $∠ C B D$ 的度数为（）

A、 $60 °$ B、 $70 °$ C、 $80 °$ D、 $85 °$

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15、在平面直角坐标系中，平行四边形 $O A B C$ 的三个顶点：点 $O (0,0)$ ，点 $A (a, b)$ ，点 $C (m, n)$ ．用含a ， b ， m ， n的式子表示点B的坐标是.

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16、两组对边分别的四边形叫做平行四边形，它用符号“ $▱$ ”表示，平行四边形 $A B C D$ 记作．

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17、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ．

(1)、如图①，现将 $△ A B C$ 沿 $B D$ 翻折，使点 $C$ 落在斜边 $A B$ 上点 $E$ 处，若 $A C = 8 cm$ ， $B C = 6 cm$ ，求 $C D$ 的长；

(2)、如图②，现将 $△ A B C$ 沿直线 $F G$ 翻折，使点 $A$ 落在点 $C$ 处，若 $∠ A = 30 °$ ，求证： $A B = 2 B C$ ；

(3)、如图③，作 $A M$ 平分 $∠ B A C$ ，动点 $P$ 在 $A M$ 上运动，动点 $Q$ 在 $A C$ 上运动，若 $∠ A = 30 °$ ， $A C = 6cm$ ，则 $C P + P Q$ 的最小值为________ $cm$ ．

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18、如图 $1$ ，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (- 4, 0)$ 、 $B (3, 0)$ ， $C$ 为 $y$ 轴正半轴上一点，且 $B C = 6$ ．

(1)、猜想 $∠ O B C$ 度数，并写出证明过程．

(2)、如图 $2$ ，点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿射线 $A B$ 方向运动，速度为每秒 $3$ 个单位长度，同时点 $Q$ 在边 $B C$ 上从点 $B$ 向点 $C$ 运动，速度为每秒 $2$ 个单位长度（当一点停止运动时，另一点也随之停止），运动时间为 $t$ 秒，在运动过程中： $△ P Q B$ 是直角三角形，求 $t$ 的值；

(3)、点 $M$ 为坐标轴上一点，当 $△ M B C$ 是等腰三角形时，请直接写出这样的 $M$ 点有个．

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19、规定：当三角形中有一个内角 $α$ 是另一个内角 $β$ 的两倍，则称该三角形为“2倍角三角形”，其中 $α$ 称为“倍角”．

(1)、判断等腰直角三角形是否为“2倍角三角形”．

(2)、已知 $△ A B C$ 为“2倍角三角形”，且 $△ A B C$ 为锐角三角形， $∠ B$ 为“倍角”，求 $∠ B$ 的取值范围．

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20、已知线段m和n，请用尺规作图法求作Rt $△ A B C$ ，使 $∠ A C B = 90 °$ ， $A B = n$ ， $A C = m$ ．（保留作图痕迹，不写作法）

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