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1、如图，四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D, G$ 为 $A B$ 上一点，连接 $D G$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别是 $A D$ 、 $A G$ 的中点，连接 $E F, E F ∥ C B, E F = 2 cm$ ，则 $C B$ 的长等于（）

A、 $1.5 cm$ B、 $4 cm$ C、 $2.5 cm$ D、 $3 cm$

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2、如图， $D E$ 是 $△ A B C$ 的中位线， $∠ A C B$ 的平分线交 $D E$ 于点 $F$ ，连接 $A F$ 并延长交 $B C$ 于 $G$ ，若 $A C = 12$ ， $D E = 9$ 则 $B G$ 的长为（）

A、6 B、8 C、10 D、12

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3、如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 、 $E$ 分别是 $A B$ 、 $A C$ 的中点，若 $∠ B = 40 °$ ，则 $∠ A D E$ 的度数为．

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4、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D = B C$ ，点 $P$ 是对角线的中点，点 $E$ 和点 $F$ 分别是 $A B$ 与 $C D$ 的中点．若 $∠ P E F = 20 °$ ，则 $∠ E P F$ 的度数是．

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5、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ，点D、E分别是边 $A C$ 、 $B C$ 的中点，连接 $B D$ 、 $E D$ ，若 $∠ C = 65 °$ ，则 $∠ B D E$ 的度数是（）

A、 $24 °$ B、 $25 °$ C、 $30 °$ D、 $35 °$

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6、如图，在等边 $△ A B C$ 中，高 $A D$ ， $B E$ 相交于点 $F$ ，连接 $D E$ ，则 $∠ F E D$ 的度数是（）

A、 $15 °$ B、 $20 °$ C、 $25 °$ D、 $30 °$

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7、【问题背景】如图，在等边 $△ A B C$ 中， $D$ 、 $E$ 两点分别在边 $B C$ 、 $A C$ 上，连接 $B E, A D, B D = C E$ ，以 $A D$ 为边向右作等边 $△ A D F$ ，连接 $E F, C F$ ．

(1)、【初步发现】求证： $△ C E F$ 为等边三角形；

(2)、【深入探究】求证：四边形 $B D F E$ 为平行四边形；

(3)、【拓展延伸】若 $A E = 2, E F = 4$ ，求四边形 $B D F E$ 的面积．

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8、如图所示，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=3，BC=5，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F ．

(1)、求证：四边形BDFC是平行四边形．

(2)、若BD=BC ，求四边形BDFC的面积．

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9、如图，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ，且 $B O = D O$ ， $A D ∥ B C$ ．求证：四边形 $A B C D$ 为平行四边形．

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10、如图，四边形 $A B C D$ 中， $A B = C D$ 、 $A C = B D$ ，过点A作 $A E ∥ C D$ 交 $C B$ 的延长线于点E ．求证：

(1)、 $△ A B C ≌ △ D C B$ ；

(2)、四边形 $A E C D$ 为平行四边形．

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11、如图，点D ， C在 $B F$ 上， $A C ∥ D E$ ， $∠ A = ∠ E$ ， $B D = C F$ ．

(1)、求证： $A B = E F$ ；

(2)、连接 $A F$ ， $B E$ ，猜想四边形 $A B E F$ 的形状，并说明理由．

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12、如图，在 $△ A B C$   中  ，D、E  分别是 $A B$ 、 $A C$ 的中点，F 是   $D E$ 延长线上的点，且 $E F = D E$ ．

(1)、图中的平行四边形有哪几个?  请选择其中一个进行证明；

(2)、 $△ A E F$ 与 $△ C E F$ 的面积相等吗?  请说明理由．

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13、如图， $A B ∥ C D$ ， $A B = C D$ ，点 $E$ 、 $F$ 在 $B C$ 上，且 $B F = C E$ ．

(1)、求证： $△ A B E ≌ △ D C F$ ；

(2)、试证明：以 $A$ 、 $F$ 、 $D$ 、 $E$ 为顶点的四边形是平行四边形．

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14、综合与实践：
某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：


(1)、基础计算：边长为2的等边三角形的面积为；

(2)、实践操作：如图，在 $Rt △ A B C$ 中，   $∠ A C B = 90 °, A B = 4, A C < B C$ ．以 $A C$ 为边向外作等边 $△ A C D$ ，以 $B C$ 为边向外作等边 $△ B C E$ ，以 $A B$ 为边向上作等边 $△ A B F$ ，连接 $D F$ ， $E F$ ．
①探究面积：记 $△ A C D$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ B C E$ 的面积为 $S_{2}$ ，则   $S_{1} + S_{2}$ 的值为_▲_；
②深入探究：请证明四边形 $C D F E$ 是平行四边形，并求 $∠ C E F$ 的度数．

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15、如图，以 $△ A B C$ 的各边向同侧作正三角形，即等边 $△ A B D$ 、 $△ B C F$ 、 $△ A C E$ ，连接 $D F$ ， $E F$ ．求证：四边形 $A E F D$ 是平行四边形．

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16、如图，在菱形 $A B C D$ 中，过点 $C$ 作对角线 $A C$ 的垂线，交 $A B$ 的延长线于点 $E$ ，连接 $B D$ ，求证：四边形 $D B E C$ 是平行四边形．

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17、

(1)、【教材呈现】根据如图所示的华师版七年级下册教材第77页部分内容，解答下列问题．

如图9.1.9，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角．

三角形的外角与内角有什么关系呢？在图9.1.10中，显然有 $∠ C B D$ （外角） $+ ∠ A B C$ （相邻的内角） $= 180 °$

那么外角 $∠ C B D$ 与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？

如图1，请写出 $∠ C B D$ 与 $∠ A$ 、 $∠ C$ 之间的数量关系，并给出证明．

(2)、【拓展延伸】七年级某数学兴趣小组学习了关于三角形外角的性质后，提出问题：四边形的一个外角与它不相邻的三个内角之间具有怎样的数量关系？如图2，已知

∠ D C E

是四边形

A B C D

的一个外角，直接写出

∠ D C E 、 ∠ A 、 ∠ B

与

∠ D

的数量关系为：．

(3)、【应用提升】如图3，

∠ D C E

为四边形

A B C D

的一个外角，

C F

平分

∠ D C E

交

∠ A B C

的角平分线

B F

于点F ，若

∠ A + ∠ D = 220 °

，则

∠ F =

°．

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18、如图，孔明在驾校练车，他由点 $A$ 出发向前行驶 $10$ 米到 $B$ 处，向左转 $45 °$ ．继续向前行驶同样的路程到 $C$ 处，再向左转 $45 °$ ．按这样的行驶方法，第一次回到点 $A$ 总共行驶了．

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19、如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以 $1 cm$ 为半径画圆，当 $n = 2023$ 时，则图中阴影部分的面积之和为（）

A、 $2 π {cm}^{2}$ B、 $π {cm}^{2}$ C、 $2022 π {cm}^{2}$ D、 $2023 π {cm}^{2}$

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20、请根据对话回答问题：

(1)、多加的外角是°；这个凸多边形的边数是．

(2)、求这个多边形的内角和及其对角线条数．

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