相关试卷

根据以上数据，当抛掷图钉1500次时，估计“钉尖着地”的次数为（   ）

【生活案例】

（1）如图2是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面镜子$AB$ ， $CD$是平行放置的，光线$m$经过镜子$AB$ ， $CD$两次反射后得到光线$n$ ． 则$m$与$n$的位置关系是______．

【变式思考】

（2）如图3，调整镜子$CD$ ， 光线$m$经过镜子$AB$ ， $CD$两次反射后得到光线$n$ ． 若$m\parallel n$ ， 求两面镜子夹角$\alpha$的度数．

【拓展运用】

（3）调整图3中的镜子使$A$ ， $C$重合，并改变它们的角度，光线$m$经过镜子$AB$ ， $CD$两次反射后得到光线$n$ ． 若$m\perp n$ ， 求两面镜子夹角$\beta$的度数．

【实践操作】三角尺中的数学

数学实践活动课上，“飞跃”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C．

【问题发现】

（1）①填空：如图1，若$\angle ACB=145°$ ， 则$\angle ACE$的度数是_______，$\angle DCB$的度数是_______，$\angle ECD$的度数是_______．

②如图1，你发现$\angle ACE$与$\angle DCB$的大小有何关系？$\angle ACB$与$\angle ECD$有何数量关系？请直接写出你发现的结论，并选择其中一个说明理由．

【类比探究】

（2）如图2，当$△ACD$与$△BCE$没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否均成立？请说明理由．图1图2

当储存时间为$d$(天)，冷藏$\left(2℃\right)$储存时鸡蛋的失重率记为$y_1$ ， 常温$\left(25℃\right)$储存时鸡蛋的失重率记为$y_2$ ， 部分数据如下表：

下面是某数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务．

题目背景：在$\text{Rt}△ABC$中，$AC=BC$ ， $\angle ACB=90°$ ， 点$D$在$AB$上．

【作图探讨】（1）如图1，以$B$为圆心，$AD$为半径画弧，$C$为圆心，$CD$为半径画弧；两弧交于点$E$ ， 连接$BE$ ， $CE$；则$△CBE≌△CAD$ ．

选择填空：得出$△CBE≌△CAD$的依据是______（填序号）．

①$\text{SSS}$       ②$\text{SAS}$       ③$\text{ASA}$       ④$\text{AAS}$

【测量发现】如图2，在（1）中$△CBE≌△CAD$的条件下，连接$AE$ ． 兴趣小组用几何画板测量发现$△CAE$和$△CDB$的面积相等．为了证明结论，尝试延长线段$AC$至点$F$ ， 使$CF=CA$ ， 连接$EF$ ， 从而得以证明．请完成证明过程．

【迁移应用】（3）如图3，$AB=4$ ， $\angle ABM=\angle ACB=90°$ ， $AC=BC$ ， $\angle A=\angle ABC=45°$ ， 点$D$在$AB$上，$BD=1$ ， 在射线$BM$上是否存在点$E$ ， 使得$S_{△ACE}=S_{△BCD}$？若存在，请直接写出$BE$的长；若不存在，请说明理由．

请根据上述方案及其数据求出这个塔$MN$的高度．（结果精确到$\text{1m}$；参考数据：$\sin 54.5°\approx 0.81$ ， $\cos 54.5°\approx 0.58$ ， $\tan 54.5°\approx 1.40$）

八年级下册课本第64页中的“数学活动”——折纸引起了许多同学的兴趣．于是，数学活动课上，数学老师引导同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．

【操作发现】

如图1，在矩形$ABCD$中，点$M$在边$AD$上，将矩形纸片$ABCD$沿$MC$折叠，使点$D$落在点$D^{\mathrm{\text{'}}}$处，$M{D}^{\mathrm{\text{'}}}$与$BC$交于点$N$ ． 根据以上操作，易得$\angle CMD=\angle CM{D}^{\mathrm{\text{'}}}$ ， 再结合矩形的性质，可得$\angle CMD=\angle MCN$ ， 进而得到$MN=CN$ ．

【初步应用】

如图2，继续将矩形纸片$ABCD$折叠，使$AM$恰好落在直线$M{D}^{\mathrm{\text{'}}}$上，点$A$落在点$A^{\mathrm{\text{'}}}$处，点$B$落在点$B^{\mathrm{\text{'}}}$处，折痕为$ME$ ．

（1）求证：$EC=2MN$ ．

（2）若$CD=2$ ， $MD=4$ ， 求$EC$的长．

【迁移探究】

如图3，将矩形纸片换成正方形纸片，按照如下步骤操作：

步骤一：对折正方形纸片$ABCD$ ， 使$AD$与$BC$重合，得到折痕$EF$ ， 把纸片展平．

步骤二：在$AD$上选一点$P$ ， 沿$BP$折叠，使点$A$落在正方形内部的点$M$处，把纸片展平，连接$PM$ ， $BM$ ， 延长$PM$交$CD$于点$Q$ ， 连接$BQ$ ．

（3）若正方形纸片$ABCD$的边长为$8\text{cm}$ ， $FQ=1\text{cm}$ ， 直接写出$AP$的长．

如图1，在$△ABC$中，点$P$是内角$\angle ABC$和外角$\angle ACD$的角平分线的交点，试猜想$\angle P$与$\angle A$之间的数量关系，并证明你的猜想．

【迁移拓展】

（2）如图2，在$△ABC$中，点$P$是内角$\angle ABC$和外角$\angle ACD$的$n$等分线的交点，即$\angle PBC=\frac{1}{n}\angle ABC$ ， $\angle PCD=\frac{1}{n}\angle ACD$ ， 试猜想$\angle P$与$\angle A$之间的数量关系，并证明你的猜想．

【应用创新】

（3）已知，如图3，$AD、BE$相交于点C，$\angle ABC$、$\angle CDE$、$\angle ACE$的角平分线交于点P，$\angle A=35°$ ， $\angle E=25°$ ， 则$\angle BPD=$           ．