相关试卷

1、【课本再现】
例1 在同一直角坐标系中，画出函数 $y = \frac{1}{2} x^{2}$ ， $y = 2 x^{2}$ 的图象．
例2 分别列表，再画出它们的图象（图1）．
$x$
$\cdot \cdot \cdot$
$- 4$
$- 3$
$- 2$
$- 1$
0
1
2
3
4
$\cdot \cdot \cdot$
$y = \frac{1}{2} x^{2}$
$\cdot \cdot \cdot$
8
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
$\cdot \cdot \cdot$
$x$
$\cdot \cdot \cdot$
$- 2$
$- 1.5$
$- 1$
$- 0.5$
0
0.5
1
1.5
2
$\cdot \cdot \cdot$
$y = 2 x^{2}$
$\cdot \cdot \cdot$
8
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
$\cdot \cdot \cdot$
（1）如图2是二次函数 $y_{1} = 2 x^{2}$ 的图像，在图中画出一次函数 $y_{2} = 2 x + 4$ 的图像，并求出二次函数 $y_{1} = 2 x^{2}$ 与一次函数 $y_{2} = 2 x + 4$ 的交点；
（2）利用图像直接写出当 $y_{1} \leq y_{2}$ 时，自变量的取值范围．
【拓展应用】
秦明同学在解题中发现，两个函数的交点情况与一元二次方程的解的情况有密切的联系．既而深入思考“将一次函数 $y_{2} = 2 x + 4$ 的图像向下平移多少个单位长度能与二次函数 $y_{1} = 2 x^{2}$ 的图像有且只有一个交点”，请你帮他解决这个问题．

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2、四边形 $A B C D$ 是正方形，E、F分别是 $D C$ 和 $C B$ 的延长线上的点，且 $D E = B F$ ，连接 $A E 、 A F 、 E F$ ．

(1)、试判断 $△ A E F$ 的形状，并说明理由；

(2)、填空： $△ A B F$ 可以由 $△ A D E$ 绕旋转中心点，按顺时针方向旋转度得到；

(3)、若 $B C = 8$ ，则四边形 $A E C F$ 的面积为．（直接写结果）

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3、如图，在平面直角坐标系中，将边长为 $a$ 的正方形 $O A B C$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $45^{°}$ 后得到正方形 $O A_{1} B_{1} C_{1}$ ．依此方式连续旋转 $2024$ 次得到正方形 $O A_{2024} B_{2024} C_{2024}$ ，那么点 $A_{2024}$ 的坐标是（）

A、 $(a, 0)$ B、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} a, - \frac{\sqrt{2}}{2} a)$ C、 $(- \frac{\sqrt{2}}{2} a, - \frac{\sqrt{2}}{2} a)$ D、 $(0, a)$

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4、如图，Rt $△$ ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝40°，将Rt $△$ ABC绕着点C逆时针旋转得Rt $△$ EDC，且点E正好落在BC上，连接BD，则∠CBD的度数为（　　）

A、40° B、55° C、60° D、65°

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5、如图， $△ A B C$ 与 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 关于点 $O$ 成中心对称，下列说法：
① $∠ B A C = ∠ B_{1} A_{1} C_{1}$ ；② $A C = A_{1} C_{1}$ ；③ $O A = O A_{1}$ ；④ $△ A B C$ 与 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积相等，其中正确的有（）

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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6、如图 $1$ ，已知 $⊙ O$ 是 $Rt △ A B C$ 的外接圆， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $D$ 为 $\overset{⌢}{B C}$ 的中点，过 $D$ 作 $D E ⊥ A B$ 于 $E$ ，交 $B C$ 于点 $F$ ，交 $⊙ O$ 于点 $H$ ．

(1)、求证： $D F = B F$ ；

(2)、如图 $2$ ，延长 $A C$ ， $E D$ 交于点 $G$ ，连接 $A D$ ．
$①$ 求证： $D E^{2} = E F \cdot E G$ ；
$②$ 若 $\frac{B E}{B D} = m$ ，求 $\frac{A C + A B}{A D}$ 的值．（用含 $m$ 的式子表示）

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7、已知关于x的二次函数 $y = (m - 2) x^{2} - x - m^{2} + 6 m - 7$ （m是常数）．

(1)、若该二次函数的图象经过点 $A (- 1, 2)$ ，
①求m的值；②若该二次函数的图象与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧），求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若该二次函数的图象与y轴交于点P，求点P纵坐标的最大值；

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8、计算： $t a n 60 ° - \sqrt{12} + (\frac{1}{2})^{0} - | \sqrt{3} - 2 |$ ．

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9、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 3$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $A B$ ， $C D$ 边的中点．动点 $P$ 从点 $E$ 出发沿 $E A$ 向点 $A$ 运动，同时，动点 $Q$ 从点 $F$ 出发沿 $F C$ 向点 $C$ 运动，连接 $P Q$ ，过点 $B$ 作 $B H ⊥ P Q$ 于点 $H$ ，连接 $D H$ ．若点 $P$ 的速度是点 $Q$ 的速度的2倍，在点 $P$ 从点 $E$ 运动至点 $A$ 的过程中，线段 $P Q$ 长度的最大值为，线段 $D H$ 长度的最小值为．

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10、如图，点 $O$ 是正十二边形的中心， $O M ⊥ F G$ 于点 $M$ ，则正确的是（　　）

A、 $O M = O F \cdot sin 15 °$ B、 $O M = O F \cdot sin 30 °$ C、 $O M = O F \cdot cos 15 °$ D、 $O M = O F \cdot tan 15 °$

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11、已知点C把线段 $A B$ 黄金分割，且 $A C < C B$ ，那么下列等式中，成立的是（）

A、 $A C^{2} = C B \cdot A B$ B、 $C B^{2} = A C \cdot A B$ C、 $\frac{A C}{A B} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、 $\frac{A B}{A C} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

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12、已知二次函数 $y = x^{2} - 6 x + 3$ ．

(1)、求该函数图象的顶点坐标、对称轴以及与x轴的交点坐标；

(2)、当 $0 \leq x \leq 4$ 时，求y的最大值与最小值之差；

(3)、当 $- 2 \leq x \leq k$ 时，求y的最小值．（可用含k的代数式表示）

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13、如图， $A B$ 是半圆O的直径，C，D是圆上的两点，且 $O D ∥ A C$ ， $O D$ 与 $B C$ 交于点E．

(1)、求证：E为 $B C$ 的中点．

(2)、若 $B C = 10$ ， $D E = 3$ ，求 $A B$ 的长度．

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14、如图， $⊙ O$ 的弦 $A B$ ， $C D$ 相交于点E，且 $A B = C D$ ，求证： $E B = E D$ ．

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15、如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠CDA=90°，AB=1，CD=2，过A，B，D三点的⊙O分别交BC，CD于点E，M，下列结论：
①DM=CM；②弧AB=弧EM；③⊙O的直径为2；④AE=AD．
其中正确的结论有（填序号）．

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16、如果二次函数 $y = {(x - 1)}^{2} + m$ （ $m$ 为常数）的图象上有两点 $(- 3, y_{1})$ 和 $(4, y_{2})$ ，那么 $y_{1}$ $y_{2}$ （填“ $>$ ”、“ $=$ ”或“ $<$ ”）．

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17、某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（　　）

A、0.95 B、0.90 C、0.85 D、0.80

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18、如图1， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点D为 $A B$ 下方 $⊙ O$ 上一点，点C为弧 $A B D$ 的中点，连结 $C D$ ， $C A$ ， $A D$ ．

(1)、求证： $O C$ 平分 $∠ A C D$ ．

(2)、如图2，延长 $A C$ ， $D B$ 相交于点E．
①求证： $O C ∥ B E$ ．
②若 $C E = 4 \sqrt{5}$ ， $B D = 6$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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19、如何拟定运动员拍照记录的方案？

素材1

图1是单板滑雪运动员从大跳台滑雪场地滑出的场景，图2是跳台滑雪场地的横截面示意图． $A C$ 垂直于水平底面 $B C$ ，点D到A之间的滑道呈抛物线型．已知 $A C = 3 m$ ， $B C = 4 m$ ，且点B处于跳台滑道的最低处．

素材2

如图3，某运动员从点A滑出后的路径满足以下条件：

①运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同．

②该运动员在底面 $B C$ 上方竖直距离 $9.75 m$ 处达到最高点P．

③落点Q在底面 $B C$ 下方竖直距离 $2.25 m$ ．

素材3

高速摄像机能高度还原运动员的精彩瞬间，如图4，有一台摄像机M进行跟踪拍摄：

①它与点B位于同一高度，且与点B距离 $25.5 m$ ；

②运动过程需在摄像头视角范围内才能记录，记摄像头的俯角为α；

③在平面直角坐标系中，设射线 $M N$ 的解析式为 $y = k x + b (k \neq 0)$ ，其比

例系数k和俯角α的函数关系如图5所示．

问题解决

任务1	确定D、A之间滑道的形状	在图2中建立适当的平面直角坐标系，求滑道所在抛物线的函数表达式．
任务2	确定运动员达到最高点的位置	在同一平面直角坐标系中，求运动员到达最高处时与点A的水平距离．
任务3	确定拍摄俯角α	若要求运动员的落点Q必须在摄像机M的视角范围内，则俯角α至少多少度（精确到个位）？

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20、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 分别交 $B C$ ， $A C$ 于点 $D$ ， $E$ ，连接 $B E$ 交 $O D$ 于点 $F$ ．

(1)、求证： $O D ⊥ B E$ ；

(2)、连接 $D E$ ，若 $D E = 2$ ， $A B = 5$ ，求 $A E$ 的长．

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$x$	$\cdot \cdot \cdot$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	1	2	3	4	$\cdot \cdot \cdot$
$y = \frac{1}{2} x^{2}$	$\cdot \cdot \cdot$	8	4.5	2	0.5	0.5	2	4.5	8	$\cdot \cdot \cdot$
$x$	$\cdot \cdot \cdot$	$- 2$	$- 1.5$	$- 1$	$- 0.5$	0.5	1	1.5	2	$\cdot \cdot \cdot$
$y = 2 x^{2}$	$\cdot \cdot \cdot$	8	4.5	2	0.5	0.5	2	4.5	8	$\cdot \cdot \cdot$