相关试卷

1、某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图①，在 $△ A B C$ 中， $A C = 6$ ， $A B = 8$ ， $D$ 是 $B C$ 的中点，求 $B C$ 边上的中线 $A D$ 的取值范围．

(1)、嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题．延长 $A D$ 到点 $E$ ，使 $D E = A D$ ，连接 $B E$ ．可以判定 $△ A D C ≌ △ E D B$ ，得出 $A C = B E$ ，这样就能把线段 $A B$ 、 $A C$ 、 $2 A D$ 集中在 $△ A B E$ 中，利用三角形三边的关系，探究得出 $A D$ 的取值范围是___________；

(2)、由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：
如图2，在 $△ A B C$ 中，点D、E在 $B C$ 上，且 $D E = D C$ ，过 $E$ 作 $E F ∥ A B$ 与 $A D$ 相交于点 $F$ ，且 $E F = A C$ ．求证： $A D$ 平分 $∠ B A C$ ．

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2、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ， $D$ 是 $A C$ 边上一点，连接 $B D$ 交 $A M$ 于点 $N$ ，过点 $A$ 作 $A F ⊥ B D$ 于点 $E$ 交 $B C$ 于点 $F$ ．

(1)、求证： $∠ C A F = ∠ A B D$ ；

(2)、若 $M$ 是 $B C$ 中点，连接 $A M$ 交 $B D$ 于点 $N$ ，判断 $M N$ 与 $M F$ 的数量关系并证明．

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3、如图，在所给的平面直角坐标系中，完成下列各题．

(1)、若 $A (- 3, 1)$ ， $B (- 1, 0)$ ， $C (- 2, 3)$ ， $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 与 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴成轴对称，直接写出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 三个顶点坐标为 $A_{1}$ ___________， $B_{1}$ ___________， $C_{1}$ ___________；

(2)、如图 $D (- 5, - 1)$ ，过点 $D$ 作直线 $D E$ 平行于 $x$ 轴，请在 $D E$ 上画出点 $P$ ，使 $P A + P B$ 最小，不写做法，保留作图痕迹．

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4、两个村庄M，N与两条公路AC，AB的位置如图所示，现打算在O处建一个垃圾回收站，要求回收站到两个村庄M，N的距离必须相等，到两条公路AC，AB的距离也必须相等，那么点O应选在何处？请在图中用尺规作图中找出点O．

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5、如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B = 30 °$ ，点 $D$ 是 $A C$ 的中点，过点 $D$ 作 $D E ⊥ A C$ 交 $B C$ 于点 $E$ ，连接 $A E$ ．

(1)、求证： $A B ⊥ A E$ ；

(2)、若 $A E = 3$ ，求 $B C$ 的长．

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6、如图，等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 120 °$ ， $A D ⊥ D C$ 于D，点O是线段 $A D$ 上一点，点P是 $B A$ 延长线上一点，若 $O P = O C$ ，则下列结论：① $∠ A P O + ∠ D C O = 30 °$ ；② $△ P O C$ 是等边三角形；③ $A B = O A + A P$ ．其中正确的是．

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7、如图，点P为∠AOB内任一点，E，F分别为点P关于OA，OB的对称点．若∠AOB＝30°，则∠E＋∠F＝°．

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8、如图，已知 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $E$ ， $∠ A = ∠ D = 90 °$ ，请你再添加一个边或角的条件使 $△ A B C ≌ △ D C B$ ，添加的条件是：．（添加一个即可）

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9、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (4, 0)$ ， $B (0, 5)$ ，动点P，Q分别按照 $A - O - B$ 和 $B - O - A$ 的路线同时开始运动，点 $Q$ 到达终点时点 $P$ 也随之停止运动．直线 $l$ 经过原点 $O$ ，且 $l ∥ A B$ ，过P，Q分别作 $l$ 的垂线段，垂足分别为E，F．若点 $P$ 的速度为每秒1个单位长度，点 $Q$ 的速度为每秒2个单位长度，运动时间为 $t$ 秒，当 $△ O P E$ 与 $△ O Q F$ 全等（ $△ O P E$ 与 $△ O Q F$ 不重合）时， $t$ 的值为（）

A、 $t = 1$ B、 $t = 2$ C、 $t = 3$ D、 $t = 8$

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10、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B D$ 是 $∠ A B C$ 的平分线，交 $A C$ 于点 $D$ ，若 $C D = 2$ ， $A B = 7$ ， $△ A B D$ 面积是（）

A、2 B、7 C、14 D、28

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11、如图， $△ A B C$ 是等边三角形， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，若 $B D = 3$ ，则 $A B$ 的长为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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12、如图，图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，那么 $x$ 的值是（）

A、 $45 °$ B、 $50 °$ C、 $60 °$ D、 $85 °$

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13、阅读材料：对于形如 $x^{2} + 2 a x + a^{2}$ 这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成 ${(x + a)}^{2}$ 的形式．但对于二次三项式 $x^{2} + 2 a x - 3 a^{2}$ ，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式 $x^{2} + 2 a x - 3 a^{2}$ 中先加上一项 $a^{2}$ ，使它与 $x^{2} + 2 a x$ 成为一个完全平方式，再减去 $a^{2}$ ，整个式子的值不变，于是有：
$x^{2} + 2 a x - 3 a^{2} = (x^{2} + 2 a x + a^{2}) - a^{2} - 3 a^{2} = {(x + a)}^{2} - 4 a^{2} = {(x + a)}^{2} - {(2 a)}^{2} = (x + 3 a) (x - a)$
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题：

(1)、因式分解： $x^{2} + 2 x - 3$ ；

(2)、若 $a^{2} + b^{2} - 12 a - 6 b + 45 = 0$ ，
①当 $a$ ， $b$ ， $n$ 满足条件： $2^{a} \times 4^{b} = 8^{n}$ 时，求 $n$ 的值；
②若 $△ A B C$ 三边长是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $c$ 为偶数，求 $△ A B C$ 的周长．

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14、如图，在等边 $△ A B C$ 中，点D，E分别在边 $A C, A B$ 上，且 $A D = B E, B D 、 C E$ 交于点P， $C F ⊥ B D$ ，垂足为点F．

(1)、求证： $B D = C E$ ；

(2)、若 $C P = 20$ ，求 $P F$ 的长．

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15、小刚家到学校的距离是1800米．某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有20分钟，于是他立即按原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校．已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了4.5分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍．
（1）求小刚跑步的平均速度；
（2）如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟，他能否在上课前赶回学校？请说明理由．

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16、甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别 $S_{1}, S_{2}$ ．

(1)、求 $S_{1} 、 S_{2}$ ，并比较 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的大小．（写出比较大小的过程）

(2)、若满足条件 $21 < n \leq |S_{1} - S_{2}|$ 的整数n有且仅有4个，求m的值为多少？

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17、如图，在平面直角坐标系 $x o y$ 中， $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别是 $A （ 2 ， 3 ）$ ， $B （ 1 ， 0 ）$ ， $C （ 1 ， 2 ）$ ．

(1)、在图中作出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，其中 $A_{1}$ 的坐标为______；

(2)、在y轴上画出点 $P$ ，使 $P A ＋ P B$ 最小（保留作图痕迹）．

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18、小颖和小红在化简 $(\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x - 2}) \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2}}$ 的过程中，分别给出如下的部分运算过程．
小颖：原式 $= [\frac{x - 2}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x + 2}{(x + 2) (x - 2)}] \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2}}$ …
小红：原式 $= \frac{1}{x + 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2}} + \frac{1}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2}}$ …

(1)、小颖解法的依据是______，小红解法的依据是______．
A．分式的基本性质 B．等式的基本性质 C．乘法结合律 D．乘法分配律

(2)、请你选择一种解法，写出完整的解答过程，并从“ $- 4$ ， 1，4”中选一个合适的数作为x的值，代入求该分式的值．

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19、计算： $[{(x - 2 y)}^{2} + (x - 2 y) (x + 2 y) - 2 x (2 x - y)] \div 2 x$

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20、若等腰三角形的一边长为4cm，周长为18cm，则此等腰三角形的底边长是．

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