相关试卷

1、 $△ A B C$ 和 $△ D B E$ 是两个等腰直角三角形（ $B A = B C, B E = B D, ∠ D B E = ∠ A B C = 90 °$ ）的三角板．

(1)、【问题初探】当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时， $D 、 B 、 C$ 在同一直线上，连接 $A D 、 C E$ ，请证明： $A D = C E$ ；

(2)、【类比探究】当三角板 $A B C$ 保持不动时，将三角板 $D B E$ 绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断 $A D$ 与 $C E$ 的数量关系和位置关系，并说明理由；

(3)、【拓展延伸】如图（3），在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 90 °, A B = A D, B C = \frac{3}{4} C D$ ，连接 $A C$ ， $B D, ∠ A C D = 45 °$ ，点A到直线 $C D$ 的距离为5，请求出 $△ B C D$ 的面积．

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2、如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”．例如：方程 $2 x - 1 = 1$ 是不等式 $x + 1 > 0$ 的“偏解方程”，因为方程 $2 x - 1 = 1$ 的解 $x = 1$ 可使得 $x + 1 = 2 > 0$ 成立；方程组 ${\begin{array}{l} x + y = 7 \\ x - y = 1 \end{array}$ 是不等式 $2 x + 3 y > 15$ 的“偏解方程组”，因为方程组的解 ${\begin{array}{l} x = 4 \\ y = 3 \end{array}$ 可使得 $2 x + 3 y = 17 > 15$ 成立．

(1)、方程 $3 x + 2 = - 1$ 是下列不等式（组）中（填序号）的“偏解方程”；
① $2 x + 1 < 3 x + 3$ ；② $3 (x + 3) \geq 9$ ；③ ${\begin{array}{l} x + 3 \geq 0 \\ x - 1 < 0 \end{array}$ ；

(2)、已知关于x ， y方程组 ${\begin{array}{l} 2 x - y = - 4 + 3 a \\ 3 x + 2 y = 8 a + 1 \end{array}$ 是不等式 $x - y > 0$ 的“偏解方程组”，求a的取值范围；

(3)、已知关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} x + 10 \geq b \\ x + 9 < 2 b \end{array}$ 恰有6个整数解，且关于x的方程 $x + b = 0$ 是它的“偏解方程”，求b的取值范围．

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3、

(1)、【尝试探索】如图1， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °, C B = C A$ ，直线
$E D$ 经过点 $C$ ，过 $A$ 作 $A D ⊥ E D$ 于点 $D$ ，过 $B$ 作 $B E ⊥ E D$ 于点 $E$ ．求证： $△ B E C ≌ △ C D A$ ．

(2)、【拓展提升】如图2，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 上一点， $∠ C A D = 90 °, A C = A D, ∠ D B A = ∠ D A B$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ，求点 $C$ 到 $A B$ 边的距离．

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4、如图，在线段 $A B$ 的同侧作 $△ P A B$ 和 $△ Q A B$ ， $P B$ 和 $Q A$ 相交于点O ， M、N分别是边 $A Q$ 、 $B P$ 的中点，连结 $P Q$ ， $P M$ ， $M N$ ， $∠ A P Q = ∠ A B Q = 90 °$ ．

(1)、判断 $△ P M N$ 的形状，并说明理由；

(2)、当 $A Q = 26$ ， $B P = 24$ 时，求 $M N$ 的长．

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5、如图，已知 $A D$ ， $B C$ 相交于点 $O$ ，且 $A D = B C$ ， $∠ C = ∠ D = 90 °$ ．

(1)、求证： $△ A B C ≌ △ B A D$ ．

(2)、若 $∠ A O C = 70 °$ ，求 $∠ O A B$ 的度数．

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6、如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度， $△ A B C$ 的三个顶点都在格点上．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于直线 $E F$ 成轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、在直线 $M N$ 上找一点 $P$ ，使 $△ A B P$ 的周长最小，请用画图的方法确定点 $P$ 的位置，并直接写出 $△ P A B$ 周长的最小值为．

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7、解不等式（组）：

(1)、 $4 x - 1 \geq 2 x + 4$ ；

(2)、 ${\begin{array}{l} 2 x - 4 < 0 \\ \frac{1}{2} x < - (2 + x) \end{array}$

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8、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °, ∠ A = 25 °$ ，以 $B$ 为圆心， $B C$ 为半径画弧，交线段 $A B$ 于点 $D$ ；以点 $A$ 为圆心， $A D$ 长为半径画弧，交线段 $A C$ 于点 $E$ ，连接 $C D$ ，则 $∠ E D C =$ 度．

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9、如图，B、E、C、F四点在同一直线上，且 $B E = C F$ ， $A C = D F$ ，添加一个条件，使 $△ A B C ≌ △ D E F$ （写出一个即可）．

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10、x减去y不大于 $- 5$ ，用不等式表示为．

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11、如图， $A D$ 是 $△ A B C$ 的高，以点 $B$ 为圆心，适当长为半径画弧交 $A B$ 于点 $M$ ，交 $B C$ 于点 $N$ ；分别以 $M$ ， $N$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧交于点 $P$ ；作射线 $B P$ 交 $A D$ 于点 $E$ ．若 $∠ A B C = 45 °$ ， $A B ⊥ A C$ ， $D E = 1$ ，则 $C D$ 的长为（　　）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2} + 1$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2} - 1$

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12、如图， $C E$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，过点 $E$ 作 $E F ∥ B C$ ，分别交 $A C$ 及 $△ A B C$ 的外角 $∠ A C D$ 的平分线于点 $M$ ， $F$ ．若 $C M = 3$ ，则 $E F$ 的长为（）

A、4 B、5 C、6 D、8

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13、如图， $△ A B C$ 中边 $A B$ 的垂直平分线分别交 $B C 、 A B$ 于点D、E ， $A E = 3 c m ， △ A D C$ 的周长为 $9 c m$ ，则 $△ A B C$ 的周长是（） $c m$

A、9 B、12 C、15 D、21

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14、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 6$ ， $A C = 9$ ，沿过点 $A$ 的直线折叠这个三角形，使点 $B$ 落在 $A B$ 边上的点 $E$ 处，折痕为 $A D$ ，若 $∠ B = 2 ∠ A D E$ ，则 $D E =$ （　　）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{7}{3}$ C、 $2$ D、 $3$

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15、下列命题为真命题的是（）

A、对顶角相等 B、若 $a^{2} = b^{2}$ ，则 $a = b$ C、无限小数是无理数 D、两个无理数的和一定是无理数

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16、对于命题“若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ ” 能说明它属于假命题的反例是（）．

A、 $a = 2, b = 1$ B、 $a = - 1, b = - 2$ C、 $a = - 2, b = - 1$ D、 $a = 3 ， b = - 2$

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17、若a＜b ，则下列式子中一定成立的是（　　）

A、3+a＞3+b B、 $\frac{a}{3}$ ＞ $\frac{b}{3}$ C、3a＞2b D、a﹣3＜b﹣3

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18、下面四个手机应用图标中属于轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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19、【模型构建】
如图，将含有45°的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用。

(1)、【模型应用】
如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x-8与x轴，y轴分别交于A，B两点，
①则点A坐标为；点B坐标为；
②C，D是正比例函数y=kx图象上的两个动点，连接AD，BC，若BC⊥CD，BC=6，则AD的最小值是；

(2)、如图2，一次函数y=-2x+4的图象与x轴，y轴分别交于B，A两点。将直线AB绕点A逆时针旋转45°得到直线l，求直线l对应的函数表达式；

(3)、【模型拓展】
如图3，直线y=-2x+6的图象与x轴，y轴分别交于A、B两点，直线l：y=-3与y轴交于点D。点P（n，-3）、Q分别是直线l和直线AB上的动点，点C的坐标为（5，0），当△PQC是以CQ为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点Q的坐标。

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20、在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法.

(1)、【已有认识】 $\sqrt{2}$ 既可以从算术平方根的角度理解，结合勾股定理的知识，也能将其看成是直角边都为1的直角三角形的斜边长，即 $\sqrt{2} = \sqrt{1^{2} + 1^{2}},$ 由此得到在数轴上寻找 $\sqrt{2}$ 所表示的点的方法，如图1.
【拓展运用】如图2，点O、点A在数轴上，且OA=2，AB=1，AB⊥OA于A，以点O为圆心，OB长为半径画弧，交数轴于点P，则数轴中点P表示的数是.（直接写出答案）

(2)、【已有认识】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段.
【拓展运用】请在图3正方形网格（每个小正方形的边长为1）内画出顶点在格点的△ABC，其中 AC $= \sqrt{2}$ ， BC $= 2 \sqrt{2}$ ， AB= $\sqrt{10}$ ，并求出△ABC的面积，以及点C到AB边的距离.

(3)、【已有认识】如图4，结合直角坐标系，我们发现：要求出坐标系中A、B两点的距离，显然是转化为求Rt△ABC的斜边长.下面以求DE为例来说明如何解决：
从坐标系中发现：D（-1，-4），E（6，-2），
所以DF=|6-（-1）|=7，EF=|-2-（-4）|=2，
所以由勾股定理可得，DE $= \sqrt{7^{2} + 2^{2}} = \sqrt{53} .$
【拓展运用】①在图5中，设A（x₁ ， y₁），B（x₂ ， y₂），AC∥y轴，BC∥x轴，
AC⊥BC于点C，则AC= ， BC= ，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式， $A B = \sqrt{{(1 - 2)}^{2} + {(1 - 2)}^{2}}$ （直接写出答案）
②图4中，平面直角坐标系中有两点M（-3，4），N（-6，1），P为x轴上任一点，则PM+PN的最小值为；（直接写出答案）
③应用平面内两点间的距离公式，求代数式 $\sqrt{{(+ 1)}^{2} + {(- 2)}^{2}} + \sqrt{{(- 5)}^{2} + {(+ 1)}^{2}}$ 的最小值为：.（直接写出答案）

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