相关试卷

1、定义：对任意一个两位数 $a$ ，如果 $a$ 满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“迥异数”，将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为 $f (a)$ ．例如： $a = 12$ ，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为21+12=33，和与11的商为33÷11=3，所以 $f (12) = 3$ ．根据以上定义，回答下列问题：
（1）填空：①下列两位数：40，42，44中，“迥异数”为_______；②计算： $f (23)$ =_______；
（2）如果一个“迥异数” $b$ 的十位数字是 $k$ ，个位数字是 $2 (k + 1 ）$ ，且 $f (b) = 11$ ，请求出“迥异数” $b$ ．

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2、先化简，再求值：
$(3 x^{2} + 2 x y) - 3 (x^{2} - 2 x y) - 10 x y$ ，其中 $x = \frac{1}{2}$ ， $y = - 1$ ．

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3、计算： $- 2^{3} \times 4 + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) \div |- \frac{1}{12}|$ ．

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4、计算： $12 - (- 18) + (- 7) - 6$ ．

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5、用火柴按如图的方式搭六边形组成新的图形，图①搭1个六边形的图形需要6根火柴；图②搭2个六边形组成的图形需要11根火柴；图③搭3个六边形组成的图形需要16根火柴；…；按此规律，搭n个六边形组成的图形需要的火柴数是根．

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6、现规定一种运算“※”： $a ※ b = a + a b$ ，则 $((- 1) ※ 2) ※ 3 =$ ．

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7、已知 $a - 2 b = - 1$ ，那么代数式 $2 a - 4 b - 3$ 的值是．

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8、据媒体报道，我国最新研制的某款“察打一体”无人机的速度极快，经测试最高速度可达 $10300 m/min$ ，这个数用科学记数法表示正确的是（）

A、 $10.3 \times 10^{3}$ B、 $1.03 \times 10^{5}$ C、 $1.03 \times 10^{4}$ D、 $10.3 \times 10^{4}$

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9、下列四个数中，最小的是（　）

A、 $0.6$ B、 $- \frac{1}{5}$ C、 $1$ D、 $- 2$

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10、解方程
（1） $x^{2} - 2 x - 5 = 0$ （2） $\frac{1}{x - 2} = \frac{4}{x + 1}$

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11、对于抛物线 $y = 3 {(x + 2)}^{2} - 1$ ，下列判断不正确的是（）

A、抛物线的顶点坐标为 $(- 2, - 1)$ B、把抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线 $y = 3 {(x + 1)}^{2} + 1$ C、当 $x > - 2$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大 D、若点 $A (2, y_{1}), B (- 3, y_{2})$ 在抛物上，则 $y_{1} < y_{2}$

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12、 $x = \frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \times 2 \times 1}}{2 \times 2}$ 是下列哪个一元二次方程的根（）

A、 $2 x^{2} + 3 x + 1 = 0$ B、 $2 x^{2} - 3 x + 1 = 0$ C、 $2 x^{2} + 3 x - 1 = 0$ D、 $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$

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13、一元二次方程 $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、只有一个实数根 D、没有实数根

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14、下列方程的变形中，正确的是（　　）

A、由 $x - 5 = - 3$ ，得 $x = 5 + 3$ B、由 $6 y = 3$ ，得 $y = 2$ C、由 $- \frac{1}{3} x = 0$ ，得 $x = 3$ D、由 $2 = x - 4$ ，得 $x = 4 + 2$

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15、下列方程中，是一元二次方程的是（）

A、 $x (x - 1) = x^{2}$ B、 $a x^{2} + 2 x + 3 = 0$ （a为常数） C、 $\frac{x^{2} + 2}{x} = 1$ D、 $x^{2} - 6 = 7 x$

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16、根据以下材料，探索完成任务：

材料一	求 $1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{10}$ 的值，可令 $S = 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{10}$ ，则 $2 S = 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{11}$ ，因此 $2 S - S = S = 2^{11} - 1$ ．
材料二	求若干个相同的有理数（均不等于 $0$ ）的除法运算叫做除方，如： $5 \div 5 \div 5$ ， $(- 8) \div (- 8) \div (- 8) \div (- 8)$ 等，类比有理数的乘方，我们把 $5 \div 5 \div 5$ 记作 $5^{③}$ ，读作“ $5$ 的圈 $3$ 次方”， $(- 8) \div (- 8) \div (- 8) \div (- 8)$ 记作 ${(- 8)}^{④}$ ，读作“ $- 8$ 的圈 $4$ 次方”．一般地把 $\underset{n 个 a}{\underset{⏟}{a \div a \div a \div \dots \div a}}$ 记作 $a^{ⓝ}$ ，读作“ $a$ 的圈 $n$ 次方”．
	问题解决
问题 $1$	直接写出计算结果： ${(- 6)}^{④} =$ ___________；
问题 $2$	有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式： ${(\frac{1}{7})}^{ⓝ} =$ ___________； ${(\frac{1}{a})}^{ⓝ} =$ ___________．（ $n \geq 2$ 且 $n$ 为正整数）；
问题 $3$	计算： ${(\frac{1}{5})}^{②} + {(\frac{1}{5})}^{③} + {(\frac{1}{5})}^{④} + {(\frac{1}{5})}^{⑤} + \dots + {(\frac{1}{5})}^{ⓝ}$ （其中 $n = 2025$ ）

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17、魔方，又叫魔术方块，也称鲁比克方块，是匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授在1974年发明的．魔方与中国人发明的“华容道”，法国人发明的“独立钻石”一同被称为智力游戏界的三大不可思议．如图1是一个4阶魔方，又称“魔方的复仇”，由四层完全相同的64个小立方体组成，体积为 ${64cm}^{3}$ ．

(1)、求组成这个魔方的小立方体的棱长．

(2)、图中阴影部分是一个正方形 $A B C D$ ，求出该正方形的面积和边长．

(3)、把正方形 $A B C D$ 放在数轴上，如图2，使得点 $A$ 与1重合，那么点 $D$ 在数轴上表示的数是___________．

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18、观察下列各式：
① $3^{2} - 3^{1} = 2 \times 3^{1}$
② $3^{3} - 3^{2} = 2 \times 3^{2}$
③ $3^{4} - 3^{3} = 2 \times 3^{3}$
……
探索以上式子的规律：

(1)、写出第5个等式：___________；

(2)、试写出第 $n$ 个等式：___________；

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19、定义一种新的运算“*”，规定有理数 $a * b = 4 a b - a$ ，如 $2 * 3 = 4 \times 2 \times 3 - 2 = 22$ ．

(1)、求 $3 * 5$ 的值；

(2)、求 $(- 2) * (1 * 3)$ 的值．

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20、计算．

(1)、 $(- 4) - (+ 13) + (- 5) - (- 9)$

(2)、 $10 - {(- 3)}^{2} \times 2$

(3)、 $- 24 \times (\frac{2}{3} + \frac{3}{4} - \frac{1}{2})$

(4)、 $- 2^{2} + \sqrt[3]{- 8} + \sqrt{64}$

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