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1、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ ，再添加一个条件就能够证明 $△ A B C$ 是直角三角形．

(1)、给出下列四个条件：① $s i n B = s i n C$ ；② $s i n B = c o s C$ ；③ $A C^{2} = C D \cdot B D$ ；④ $A D^{2} = B D \cdot C D$ ，其中可以选择的条件有（填序号）；

(2)、在你所填的序号中，选择其中一个加以证明．

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2、已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题：

如图1： ${sin}^{2} ∠ A_{1} + {sin}^{2} ∠ B_{1} =$     ▲    .
如图2： ${sin}^{2} ∠ A_{2} + {sin}^{2} ∠ B_{2} =$     ▲    .
如图3： ${sin}^{2} ∠ A_{3} + {sin}^{2} ∠ B_{3} =$     ▲    .
①观察上述等式，猜想：如图4，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，都有 ${sin}^{2} ∠ A {+sin}^{2} ∠ B =$     ▲    ；
②如图4，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；
③已知： $∠ A + ∠ B = 90 °$ ，且 $sin ∠ A = 0.7$ ，求 $sin ∠ B$ ．

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3、已知 $α$ 是锐角，且 $t a n α = 2$ ，则 $\frac{s i n α - c o s α}{s i n α + c o s α} =$ ．

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4、同角三角函数关系： ${s i n}^{2} A + {c o s}^{2} A =$ ； $t a n A = \frac{s i n A}{c o s A}$

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5、若 $s i n α - c o s α = m$ ，则 $s i n α \cdot c o s α$ 的值是（）

A、 $1 + m^{2}$ B、 $1 - m^{2}$ C、 $\frac{1}{2} (1 + m^{2})$ D、 $\frac{1}{2} (1 - m^{2})$

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6、我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的 $△ A B C$ 的面积为 $S_{△ A B C} = \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}}$ ． $△ A B C$ 的边a、b、c所对的角分别是∠A、∠B、∠C，则 $S_{△ A B C} = \frac{1}{2} a b s i n C = \frac{1}{2} a c s i n B = \frac{1}{2} b c s i n A$ ．下列结论中正确的是（）

A、 $c o s C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}$ B、 $c o s C = - \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}$ C、 $c o s C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a c}$ D、 $c o s C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 b c}$

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7、已知 $△ A B C$ 中， $∠ A = 30 °, A B = 4$ ．

(1)、如图1，若 $∠ C = 90 °$ ，则 $A C =$ （结果保留根号）

(2)、如图2，若 $∠ C = 45 °$ ，求AC的长．（结果保留根号）

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8、我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（ $sad$ ），如图①，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，顶角A的正对记作 $sad A$ ，这时 $sad A = \frac{底边}{腰} = \frac{B C}{A B}$ ．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：

(1)、 $sad 90 ° =$ ．

(2)、对于 $0 ° < A < 180 °$ ， $∠ A$ 的正对值 $sad A$ 的取值范围是．

(3)、如图②，已知 $s i n A = \frac{3}{5}$ ，其中 $∠ A$ 为锐角，试求 $sad A$ 的值．

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9、阅读下列材料：

(1)、如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A$ 、 $∠ B$ 、 $∠ C$ 所对的边分别为a、b、c ，求证： $\frac{b}{s i n B} = \frac{c}{s i n C}$ ；

(2)、如图2，规划中的一片三角形区域需美化，已知 $∠ A = 67 °$ ， $∠ B = 53 °$ ， $A C = 80$ 米，求 $A B$ 的长（结果保留根号．参考数据： $s i n 53 ° \approx 0.8$ ， $s i n 67 ° \approx 0.9$ ）

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10、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 30 °$ ， $∠ B C A = 45 °$ ， $A C = 4$ ，求 $A B$ 的长．（ $s i n 75 ° = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ ， $c o s 75 ° = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ ）

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11、【问题提出】已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积．
【性质探究】

(1)、探究一：
如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A B = b$ ， $B C = a$ ， $∠ B = α$ ，
$∵$ 在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$
$∴ s i n α =$ .
$∴ A C = b \cdot s i n α$
$∴ S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} B C \cdot A C =$ .

(2)、探究二：
在 $△ A B C$ 中， $A B = b$ ， $B C = a$ ， $∠ B = α (α < 90 °)$ ，求 $△ A B C$ 的面积（用 $a$ 、 $b$ 、 $α$ 表示）．

(3)、【性质应用】
在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 7$ ， $∠ B = 30 °$ ，则平行四边形 $A B C D$ 的面积为．

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12、

(1)、计算： $\sqrt{2} \cdot cos 45 ° - {sin}^{2} 60 ° + tan 45 °$

(2)、在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B C = 5$ ， $A C = 12$ ，求 $∠ A$ 的余弦值和正切值．

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13、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 2$ ， $t a n B = \frac{1}{2}$ ．

(1)、求 $B C$ 的长；

(2)、求 $c o s A$ 的值．

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14、下列结论（其中 $α$ 是锐角）：① $sin α + cos α \leq 1$ ；② $cos 2 α = 2 cos α$ ；③当 $0 ° < α < β < 90 °$ 时， $0 < sin α < sin β < 1$ ；④ $sin α = cos α tan α$ ．其中正确的有．

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15、若 $30 ° < α < β < 90 °$ ，则 $\sqrt{{(c o s β - c o s α)}^{2}} - |c o s β - \frac{\sqrt{3}}{2}| + |1 - c o s α| =$ ．

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16、已知 $\frac{1}{2} <cos α < sin 80 °$ ，则锐角 $α$ 的取值范围是（）

A、 $30 ° < α < 80 °$ B、 $10 ° < α < 80 °$ C、 $60 ° < α < 80 °$ D、 $10 ° < α < 60 °$

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17、已知在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $45 ° < ∠ B < 60 °$ ，设 $c o s B = n$ ，那么 $n$ 的取值范围是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2} < n < 1$ B、 $\frac{1}{2} < n < \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $0 < n < \frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2} < n < \frac{\sqrt{3}}{2}$

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18、 $△ A B C$ 中， $∠ A, ∠ B$ 均为锐角，且 $|t a n B - \sqrt{3}| + {(2 s i n A - \sqrt{3})}^{2} = 0$ ，则 $△ A B C$ 的形状是．

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19、计算： ${s i n}^{2} 45 ° \cdot c o t 60 ° - c o s 30 \cdot {t a n}^{2} 30 ° =$ ．

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20、如图， $∠ A O B = 60 °$ ，以点 $O$ 为圆心，适当长为半径画弧，交 $O A$ ， $O B$ 于点 $C$ ， $D$ ，连接 $C D$ ，则 $t a n ∠ O C D$ 的值为．

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