相关试卷

1、阅读下列材料，然后回答问题。
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 一样的式子，可以将其进一步化简：
$\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3})^{2} - 1} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2} = \sqrt{3} - 1$ 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算．

(1)、计算： $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2019} + \sqrt{2017}}$ ．

(2)、已知 $m$ 是正整数， $a = \frac{\sqrt{m + 1} - \sqrt{m}}{\sqrt{m + 1} + \sqrt{m}}$ ， $b = \frac{\sqrt{m + 1} + \sqrt{m}}{\sqrt{m + 1} - \sqrt{m}}$ ， $a + b + 2 a b = 2024$ ，求 $m$ ．

(3)、已知 $\sqrt{15 + x^{2}} - \sqrt{26 - x^{2}} = 1$ ，求 $\sqrt{15 + x^{2}} + \sqrt{26 - x^{2}}$ 的值．

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2、数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算. $a^{2} \pm 2 a b + b^{2} = {(a \pm b)}^{2}$ ，那么 $\sqrt{a^{2} \pm 2 a b + b^{2}} = | a \pm b |$ ．如何将双重二次根式 $\sqrt{5 \pm 2 \sqrt{6}}$ 化简？我们可以把 $5 \pm 2 \sqrt{6}$ 转化为 ${(\sqrt{3})}^{2} \pm 2 \sqrt{6} + {(\sqrt{2})}^{2} = {(\sqrt{3} \pm \sqrt{2})}^{2}$ 完全平方的形式，因此双重二次根式 $\sqrt{5 \pm 2 \sqrt{6}} = \sqrt{{(\sqrt{3} \pm \sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{3} \pm \sqrt{2}$ 得以化简．
材料二：在直角坐标系 $x O y$ 中，对于点 $P (x, y)$ 和 $Q (x, y^{'})$ 给出如下定义：若 $y^{'} = \{\begin{matrix} y (x \geq 0) \\ - y (x < 0) \end{matrix}$ ，则称点Q为点P的“横负纵变点”，例如：点 $(3, 2)$ 的“横负纵变点”为 $(3, 2)$ ，点 $(- 2, 5)$ 的“横负纵变点”为 $(- 2, - 5)$ ．请选择合适的材料解决下面的问题：

(1)、点 $(\sqrt{5}, - \sqrt{2})$ 的“横负纵变点”为，点 $(- \sqrt{7}, - 2 \sqrt{3})$ 的“横负纵变点”为；

(2)、化简： $\sqrt{8 - 4 \sqrt{3}}$ ；

(3)、已知 $a$ 为常数 $(1 \leq a < 2)$ ，点 $M (- \sqrt{2}, m)$ ，且 $m = \frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{a + 2 \sqrt{a - 1}} + \sqrt{a - 2 \sqrt{a - 1}})$ ，点 $M^{'}$ 是点M的“横负纵变点”，则点 $M^{'}$ 的坐标是．

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3、阅读下列解题过程
例：若代数式 $\sqrt{{(a - 1)}^{2}} + \sqrt{{(a - 3)}^{2}}$ 的值是2，求a的取值范围
解：原式 $= | a - 1 | + | a - 3 |$ ，
当 $a < 1$ 时，原式 $= (1 - a) + (3 - a) = 4 - 2 a = 2$ ，解得 $a = 1$ （舍去）；
当 $1 \leq a \leq 3$ 时，原式 $= (a - 1) + (3 - a) = 2 = 2$ ，符合条件；
当 $a > 3$ 时，原式 $= (a - 1) + (a - 3) = 2 a - 4 = 2$ ，解得 $a = 3$ （舍去）．
$∴ a$ 的取值范围是 $1 \leq a \leq 3$ ．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：

(1)、当 $2 \leq a \leq 4$ 时，化简： $\sqrt{{(a - 2)}^{2}} + \sqrt{{(a - 4)}^{2}} =$ ．

(2)、若 $\sqrt{{(a + 1)}^{2}} + \sqrt{{(a - 5)}^{2}} = 10$ ，求a的取值范围．

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4、填空：

(1)、 $\sqrt{{(\frac{1}{2} - \frac{2}{3})}^{2}} + \sqrt{{(\frac{2}{3} - \frac{3}{4})}^{2}} + \sqrt{{(\frac{3}{4} - \frac{4}{5})}^{2}} =$ .

(2)、 $\sqrt{{(\frac{1}{2} - \frac{2}{3})}^{2}} + \sqrt{{(\frac{2}{3} - \frac{3}{4})}^{2}} + \sqrt{{(\frac{3}{4} - \frac{4}{5})}^{2}} + \dots + \sqrt{{(\frac{8}{9} - \frac{9}{10})}^{2}} =$ .

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5、小明在解方程 $\sqrt{24 - x} - \sqrt{8 - x} = 2$ 时采用了下面的方法：
由 $(\sqrt{24 - x} - \sqrt{8 - x}) (\sqrt{24 - x} + \sqrt{8 - x}) = {(\sqrt{24 - x})}^{2} - {(\sqrt{8 - x})}^{2} = (24 - x) - (8 - x) = 16$ ，又有 $\sqrt{24 - x} - \sqrt{8 - x} = 2$ ，可得 $\sqrt{24 - x} + \sqrt{8 - x} = 8$ ，将这两式相加可得 $\{\begin{matrix} \sqrt{24 - x} = 5 \\ \sqrt{8 - x} = 3 \end{matrix}$ ，将 $\sqrt{24 - x} = 5$ 两边平方可解得 $x = - 1$ ，经检验 $x = - 1$ 是原方程的解，请你学习小明的方法，解方程 $\sqrt{x + 42} + \sqrt{x + 10} = 16$ ，则 $x =$ ．

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6、探究： $\sqrt{2^{2}} = 2$ ， $\sqrt{(0.5)^{2}} =$ ， $\sqrt{(- 5)^{2}} =$ ， $\sqrt{(- 2)^{2}} = 2$ ， $\sqrt{0^{2}} = 0$ ．

(1)、完成上述计算并根据计算结果回答下面问题：

(2)、观察可知， $\sqrt{a^{2}} =$ ；

(3)、利用你总结的规律计算： $\sqrt{(2 \sqrt{2} - 3)^{2}} + \sqrt{(π - 3)^{2}} + \sqrt{8}$ ；

(4)、已知a ， b ， c为 $△ A B C$ 的三边长．化简： $\sqrt{(a + b + c)^{2}} + \sqrt{(a - b - c)^{2}}$ ．

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7、

(1)、求代数式 $a + \sqrt{1 - 2 a + a^{2}}$ 的值，其中 $a = 1012$ ．
如图是小亮和小芳的解答过程：
（填“小亮”或“小芳”）的解法是错误的，错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质：（填字母）．
A． $\sqrt{a^{2}} = |a|$ B． ${(\sqrt{a})}^{2} = a$

(2)、化简： $\sqrt{a^{2} - 6 a + 9}$ ．

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8、化简 $\sqrt{(3 - π)^{2}}$ 的结果是.

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9、化简： $\sqrt{（ - 2)^{2}}$ 的结果是（　　）.

A、-4 B、-2 C、2 D、4

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10、计算：

(1)、 $\sqrt{3^{2}} = 3$ ， $\sqrt{0 . 5^{2}} =$ ， $\sqrt{0^{2}} =$ ， $\sqrt{(- 6)^{2}} =$ ， $\sqrt{(- \frac{3}{4})^{2}} =$ ．

(2)、【归纳与应用】观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想 $\sqrt{a^{2}}$ 与a有怎样的关系？请用数学式子描述出来．

(3)、利用你总结的规律，计算：
①若 $x < 2$ ，则 $\sqrt{(x - 2)^{2}} =$ ；② $\sqrt{(3.14 - π)^{2}} =$ ．

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11、我们知道 $\sqrt{2}$ 是一个无限不循环小数，因此 $\sqrt{2}$ 的小数部分我们不可能全部写出来．因为 $1 < \sqrt{2} = 2$ ，所以 $\sqrt{2}$ 的整数部分为1，所以 $\sqrt{2}$ 减去其整数部分，差就是 $\sqrt{2}$ 的小数部分，即 $\sqrt{2}$ 的小数部分为 $\sqrt{2} - 1$ ．
根据以上方法解答下列问题：

(1)、 $\sqrt{23}$ 的整数部分为，小数部分为；

(2)、已知 $2 a - 3$ 的相反数为 $- 3$ ， $\sqrt{15}$ 的整数部分为b， $\sqrt{3}$ 的小数部分为c，求 $a + 2 b + c - \sqrt{3}$ 的立方根．

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12、淇淇玩一个摸球计算游戏，在一个密闭的容器中放入四个小球，小球分别标有如图所示的数．现从容器中摸取小球，规定：若摸取到白色球，就加上球上的数：若摸到灰色球，就减去球上的数．

(1)、若淇淇摸取到如下两个小球，请计算出结果．

(2)、若淇淇摸出全部的四个球，计算结果为x，嘉嘉说x的值与 $\sqrt{48}$ 属于同类二次根式，你认为嘉嘉的说法对吗？并说明理由．

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13、计算题

(1)、 $\sqrt{18} + \sqrt{\frac{9}{2}} - {(π - \sqrt{2})}^{0} - |1 - \sqrt{2}| + {(\frac{1}{2})}^{- 1}$

(2)、先化简，再求值： $a = \frac{1}{\sqrt{5} - 2}, b = \frac{1}{\sqrt{5} + 2}$ ，求 $a^{2} - a b + b^{2}$ 的值

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14、计算：

(1)、 $\sqrt{18} - \sqrt{8} + (\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)$

(2)、 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$

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15、一个三角形的三边长分别为 $\sqrt{12} c m ， \sqrt{27} c m$ 和 $\sqrt{48} c m$ ，则这个三角形的周长是 $c m$

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16、阅读下面的解题过程，判断是否正确.若不正确，请写出正确的解答过程.
已知m为实数，化简 $： - \sqrt{- m^{3}} + m^{2} \sqrt{- \frac{1}{m}} .$
解：原式 $= - m \sqrt{- m} + m^{2} \cdot \frac{1}{m} \sqrt{- m} = 0 .$

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17、观察下列等式及验证，解答后面的问题：
第1个等式： $\sqrt{2 + \frac{2}{3}} = 2 \sqrt{\frac{2}{3}}$ ，验证： $\sqrt{2 + \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}} = 2 \sqrt{\frac{2}{3}}$ ；
第2个等式： $\sqrt{3 + \frac{3}{8}} = 3 \sqrt{\frac{3}{8}}$ ，验证： $\sqrt{3 + \frac{3}{8}} = \sqrt{\frac{27}{8}} = 3 \sqrt{\frac{3}{8}}$ ；
第3个等式： $\sqrt{4 + \frac{4}{15}} = 4 \sqrt{\frac{4}{15}}$ ，验证： $\sqrt{4 + \frac{4}{15}} = \sqrt{\frac{64}{15}} = 4 \sqrt{\frac{4}{15}} ， \dots$ ．

(1)、请写出第4个等式，并验证；

(2)、按照以上各等式反映的规律，猜想第 $n - 1$ 个 $(n$ 为正整数，且 $n \geq 2)$ 等式，并通过计算验证你的猜想．

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18、如图，方格纸中每个小正方形的边长均为 $1 c m, △ A B C$ 为格点三角形．

(1)、求 $△ A B C$ 的三边 $A B 、 A C 、 B C$ 的长；

(2)、判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由．

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19、观察下列等式∶
第1个： $\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} = 1 + \frac{1}{1} - \frac{1}{2}$ ；
第2个： $\sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ；
第3个： $\sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} = 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ ；
第4个： $\sqrt{1 + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{5^{2}}} = 1 + \frac{1}{4} - \frac{1}{5}$ ；
…
按照以上规律，解决下列问题∶

(1)、写出你猜想的第 $n$ 个等式；（用含 $n$ 的等式表示）

(2)、根据上面的结论计算 $\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} + . . . + \sqrt{1 + \frac{1}{99^{2}} + \frac{1}{100^{2}}}$ 的结果．

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20、观察下列各式：
第1个等式： $\sqrt{1 - \frac{1}{1}} = \frac{0}{1}$ ；第2个等式： $\sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{2}$ ；
第3个等式： $\sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \frac{2}{3}$ ；第4个等式： $\sqrt{1 - \frac{7}{16}} = \frac{3}{4}$ ；…
根据上述规律，解答下面的问题：

(1)、若 $\sqrt{1 - \frac{a}{b}} = \frac{7}{8}$ ；则 $a =$ ， $b =$ ．

(2)、 $\sqrt{1 - \frac{199}{10000}}$ 的值为．

(3)、请写出第n个等式（n是正整数，用含n的式子表示），并证明．

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