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1、综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位： $c m$ ）是液体的密度 $ρ$ （单位： $g / c m^{3}$ ）的反比例函数，其图象如图所示（ $ρ > 0$ ）．求当液体的密度 $ρ = 10 g / c m^{3}$ 时，浸在液体中的高度h的值．

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2、解方程： $2 x (x - 1) = x - 1$ ．

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3、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °, A C = 3, B C = 4$ ，过点 $C$ 作 $C A_{1} ⊥ A B$ ，垂足为点 $A_{1}$ ，再过点 $A_{1}$ 作 $A_{1} C_{1} ⊥ B C$ ，垂足为点 $C_{1}, ⋯$ 按照以上的方法继续作下去得到 $R t △ A_{n} C_{n} C_{n - 1}$ $(n \geq 2)$ ，则线段 $A_{n} C_{n}$ 的长为．

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4、如图1，在边长为 $8 c m$ 的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为 $c m^{2}$ ．

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5、已知反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点 $(- 2025, 2026)$ ，当 $x > 0$ 时，函数值y随自变量x的增大而．（填“增大”或“减小”）

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6、如图， $A B ∥ C D ∥ E F$ ， $A D = 9$ ， $B C = D F = 6$ ，则 $C E$ 的长为．

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7、在如图， $R t △ A O B$ 中， $∠ B A O = 90 °$ ， $∠ B = 60 °$ ， $Δ A O B$ 的面积为6， $A O$ 与 $x$ 轴负半轴的夹角为 $30 °$ ，双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 经过点 $A$ ，则 $k$ 的值为（）

A、 $- \frac{9}{2}$ B、 $- 9$ C、 $- 2 \sqrt{3}$ D、 $- 6$

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8、如图所示，在矩形 $C O E D$ 中，点 $D$ 的坐标是 $(1, 3)$ ，则 $C E$ 的长是（）

A、 $3$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $4$

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9、中国古代四大发明（造纸术、印刷术、指南针、火药）对世界文明的发展具有深远的影响．某校历史社团开设了关于四大发明的项目化学习活动，甲、乙两名同学通过抽签的方式从这四项发明中随机抽取一项开展活动，则他们恰好抽到同一项发明的概率是（）

A、 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{1}{12}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{4}$

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10、如图所示， $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线， $D E ∥ A B$ 交 $A C$ 于 $E$ ， $D F ∥ A C$ 交 $A B$ 于 $F$ ，则四边形 $A E D F$ 为（　　）

A、矩形 B、正方形 C、菱形 D、不是平行四边形

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11、设 $a$ ， $b$ 是方程 $x^{2} + x - 2026 = 0$ 的两个实数根，则 $b - a b + a$ 的值为（）

A、2025 B、2026 C、1 D、 $- 1$

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12、某一时刻，身高 $1.6 m$ 的小丽在阳光下地面上的影长是 $0.8 m$ ，同一时刻同一地点测得某旗杆地面上的影长是 $10 m$ ，那么该旗杆的高是（）

A、5 $m$ B、20 $m$ C、40 $m$ D、8 $m$

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13、已知反比例函数 $y = \frac{m - 3}{x}$ 的图象在各自的象限内， $y$ 随 $x$ 的增大而减小，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m > 3$ B、 $m \neq 3$ C、 $m < 3$ D、 $m = 3$

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14、我们给出如下定义：两个图形 $G_{1}$ 和 $G_{2}$ ，对于 $G_{1}$ 上的任意一点 $P (x_{1}, y_{1})$ 与 $G_{2}$ 上的任意一点 $M (x_{2}, y_{2})$ ，如果线段 $P M$ 的长度最短，我们就称线段 $P M$ 为“最佳线段”．

(1)、如图，点 $P$ 在线段 $A B$ （ $A (1, 0)$ ， $B (3, 0)$ ）上，点 $M$ 在过 $(0, 3)$ 且平行于 $x$ 轴的直线上，最佳线段 $P M$ 的长为；

(2)、点 $E (4, 0)$ ，将射线 $E O$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $30 °$ 交 $y$ 轴与点 $F$ ，点 $P$ 在线段 $A B$ 上，点 $M$ 在射线 $E F$ 上．
①点 $A (- 1, 0)$ ， $B (1, 0)$ ，最佳线段 $P M$ 的长为；
②线段 $A B$ 在 $x$ 轴上（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），且 $A B$ 为2个单位长度， $A (m, 0)$ ，最佳线段 $P M$ 的长满足 $0 \leq P M \leq 1$ ，写出 $m$ 的取值范围．

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15、在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 2 α (45 ° < α < 90 °)$ ， $D$ 是 $B C$ 上的动点（不与点 $C$ 重合），且 $B D > D C$ ，连接 $A D$ ，将射线 $A D$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $α$ 得到射线 $A P$ ，过点 $D$ 作 $D E ⊥ A D$ 交射线 $A P$ 于点 $E$ ，连接 $B E$ ，在 $B D$ 上取一点 $F$ ，使 $F D = C D$ ，连接 $E F$ ．

(1)、依题意补全图形；

(2)、写请用等式表示 $B E$ 、 $E F$ 的数量关系，并证明．

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16、从边长为 $a$ 的正方形中剪掉一个边长为 $b$ 的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）

(1)、上述图1到图2的操作能验证的等式是．

(2)、应用所得的公式计算： $202 4^{2} - 2023 \times 2025$ ．

(3)、应用所得的公式计算： $9 \times (10 + 1) (1 0^{2} + 1) (1 0^{4} + 1) (1 0^{8} + 1) (1 0^{16} + 1) - 1 0^{32}$ ．

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17、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别是 $A (2, 3)$ ， $B (1, 0)$ ， $C (1, 2)$

(1)、在图中作出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、其中 $A_{1}$ 的坐标为；

(3)、如果要使以 $B_{1}$ 、 $C_{1}$ 、 $P$ 为顶点的三角形与 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 全等（ $A_{1}$ 与 $P$ 不重合），写出所有符合条件的 $P$ 点坐标．

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18、已知 $\frac{x}{y} = 3$ ，求代数式 $(1 - \frac{y^{2}}{x^{2} - 2 x y + y^{2}}) \cdot \frac{x - y}{x}$ 的值．

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19、下面是小亮设计的尺规作图过程：
已知：如图，直线 $M N$ 和直线 $M N$ 外一点 $P$ ．
求作：直线 $M N$ 的平行直线，使它经过点 $P$ ．
作法：①过点 $P$ 作水平直线交直线 $M N$ 于点 $O$ ；
②在射线 $O M$ 上取一点A（ $O A < O P$ ），以点 $O$ 为圆心， $O A$ 长为半径画弧，与射线 $O P$ 交于点 $B$ ；
③以点 $P$ 为圆心， $O A$ 长为半径画弧，交线段 $O P$ 的延长线于点 $C$ ；
④以点 $C$ 为圆心， $A B$ 长为半径画弧，两弧在直线 $O P$ 的上方交于点 $D$ ；
⑤作直线 $P D$ ．
所以直线 $P D$ 就是所求作的平行线．
根据小亮设计的尺规作图过程，回答以下问题：

(1)、使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明：
证明：连接 $A B$ ， $C D$ ，
∵ $O A = O B = P C = P D$ ， $A B = C D$ ，
∴ $△ A O B ≌ △ D P C$ ，（依据：）
∴ $∠$ = $∠$ ，
∴ $P D$ $∥$ 直线 $M N$ ．

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20、已知：如图 $△ A B C$ 与 $△ B D E$ 都是等边三角形，点 $E$ 、 $B$ 、 $C$ 在一条直线上，连接 $D C$ 、 $E A$ ．求证： $A E = D C$
在分析此题目时，老师和同学们一起梳理了证明思路，如下：

(1)、请问老师的提示中①是， ②是．

(2)、请根据以上思路写出完整的证明过程．

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