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1、为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组进行了“勾股定理在风筝场景中的应用”的项目式学习活动．请阅读资料并解决下列问题．
资料：牵线放风筝的手与风筝的水平距离 $B C$ 为12米，根据手中余线长度计算出 $A B$ 为15米，牵线放风筝的手到地面的垂直距离 $B E$ 为 $1.8$ 米，且四边形 $B E D C$ 为长方形．

(1)、求风筝离地面的垂直高度 $A D$ ；

(2)、如果小明想让风筝沿 $D A$ 方向再上升7米， $B C$ 长度不变，那么他应该再放出多少米的线？

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2、如图，直角三角形 $A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， C D ⊥ A B$ ，垂足为点 $D$ ，且 $C D = 2 ， B D = 1$ ．

(1)、求 $B C$ 的长；

(2)、求 $A D$ 的长．

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3、已知三角形的三边分别为a、b、c，其中a、b两边满足 $a^{2} - 12 a + 36 + \sqrt{b - 8} = 0$ ，求这个三角形的最大边c的取值范围．

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4、计算：

(1)、 $2 \sqrt{3} - \sqrt{27} - \sqrt{12}$

(2)、 $\sqrt{48} \div \sqrt{3} + \sqrt{\frac{1}{2}} \times \sqrt{12} - \sqrt{24}$ ．

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5、如图，在边长为4 $\sqrt{2}$ 的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB、BC的中点，连接EC、DF，点G、H分别是EC、DF的中点，连接GH，则GH的长度为．

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6、如图，在 $Rt △ A B C$ 中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ．若 $S_{2} - S_{1} + S_{3} = 24$ ，则图中阴影部分的面积为．

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7、如果一个多边形的内角和等于它的外角和的两倍，那么该多边形的对角线共有条．

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8、在平面直角坐标系中有两点 $A (- 1, - 1), B (3, 2)$ ，则 $A B$ 的长为．

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9、已知 $y = 2 - \sqrt{x - 3} + \sqrt{3 - x}$ ，则 $y =$ ．

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10、已知四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 与 $B D$ 交于点O，如果只给出条件“ $A B ∥ C D$ ”，那么（）
①再加上条件“ $B C = A D$ ”，四边形 $A B C D$ 一定是平行四边形；
②再加上条件“ $∠ B A D = ∠ B C D$ ”，四边形 $A B C D$ 一定是平行四边形；
③再加上条件“ $A O = C O$ ”，四边形 $A B C D$ 一定是平行四边形；
④再加上条件“ $∠ D B A = ∠ C A B$ ”，四边形 $A B C D$ 一定是平行四边形．

A、①和② B、①③和④ C、②和③ D、②③和④

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11、如图，直线 $a ∥ b$ ，则直线 $a ， b$ 之间的距离是（）

A、线段 $A B$ B、线段 $A B$ 的长度 C、线段 $C D$ D、线段 $C D$ 的长度

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12、若 $\frac{\sqrt{x + 2}}{x - 3}$ 在实数范围内有意义，则实数 $x$ 应满足的条件是（）

A、 $x = - 2$ B、 $x > - 2$ 且 $x \neq 3$ C、 $x \neq 3$ D、 $x \geq - 2$ 且 $x \neq 3$

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13、我们知道： $|a|$ 的几何意义可以理解为数轴上表示数 $a$ 的点与原点之间的距离，请大家运用相关知识继续探索数轴上多个点之间的距离问题：
（ $1$ ）数轴上 $A$ ， $B$ 两点表示的有理数为 $a$ 、 $b$ ，且 ${(b - 3)}^{2} + |a + 1| = 0$ ．则点 $A$ 与点 $B$ 之间的距离为_____；
（ $2$ ）继续利用绝对值的几何意义；探索 $|x - 12| + |x + 5|$ 的最小值是_____；
（ $3$ ）若数轴上点 $A$ 对应的数为 $a$ ，且 $|a - 2| + |a - 1| = 12$ ，求点 $A$ 对应的数值；
（ $4$ ）已知数 $x$ ， $y$ 满足 $|x + 7| + |1 - x| = 19 - |y - 10| - |1 + y|$ ，求 $|x + y|$ 的最小值和最大值；
【解决问题】
（ $5$ ）如图，一条笔直的公路边有四个居民区 $A 、 B 、 C 、 D$ 和市民广场 $O$ ，居民区 $A 、 B 、 C 、 D$ 分别位于市民广场左侧 $5 km$ ，左侧 $1 km$ ，右侧 $1 km$ ，右侧 $3 km$ ．现需要在该公路边上建一个便民服务点 $P$ ，那么这个便民服务点 $P$ 建在何处，能使服务点 $P$ 到四个居民区 $A 、 B 、 C 、 D$ 总路程最短？最短路程是多少？试说明理由．

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14、已知：a，b互为相反数，m，n互为倒数，x的绝对值为2，求 $- 2 m n + \frac{a + b}{m + n} - x$ 的值

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15、计算：

(1)、 $- 17 \times 43 + (- 17) \times 20 - (- 17) \times 163$ ；

(2)、 $- 2^{2} + {(- 1)}^{2024} + 27 \div 3^{2}$ ；

(3)、 $- 2^{2} \div {(- 4)}^{3} + |0.8 - 1| \times {(2 \frac{1}{2})}^{2}$ ；

(4)、 $- 16 - 4^{2} - (- 1) \times (\frac{1}{3} - \frac{1}{2}) \div \frac{1}{6}$

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16、计算：

(1)、 $- 12 + 24$

(2)、 $7 + (- 6) - (- 4) \times 3$

(3)、 $(- 8) - (+ 3) + (- 6) - (- 10)$ ；

(4)、 $\frac{5}{4} + (- \frac{5}{6}) \times (- \frac{1}{9})$

(5)、 $(- \frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{1}{4}) \times |- 24|$ ；

(6)、 $17 - (- 8) \div (- 2) + 4 \times (- 3)$ ．

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17、把下列各数填入相应的集合中：
$+ 6$ ， $0.75$ ， $- 3$ ， $0$ ， $- 1.2$ ， $+ 8$ ， $\frac{24}{5}$ ， $- \frac{1}{3}$ ， $9 %$ ， $π$ ．
正分数集合：{             }：
正整数集合：{             }：
整数集合：{            }．

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18、点 $A$ ， $B$ ， $C$ 是数轴上的三个点，点 $A$ 表示的数是 $- 1$ ，点 $B$ 表示的数是3，并且B、C两点之间的距离是 $A$ 、 $B$ 两点之间距离的2倍，即 $B C = 2 A B$ ．则点 $C$ 表示的数是

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19、已知 $|a + 2| + {(b - 3)}^{2} = 0$ ，则 $a^{b}$ 的值是．

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20、若 $2 a + 1$ 与 $- 3$ 互为相反数，则 $a =$ ．

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