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1、下列说法：① $- \frac{1}{2} > - \frac{1}{3}$ ；② $3 x^{2} - y + 5 x y^{2}$ 是二次三项式；③除以一个数，等于乘这个数的倒数；④一个平角就是一条直线；⑤两点确定一条直线，其中正确的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2、【发现问题】
（1）如图1， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 均为等边三角形，当 $△ A D E$ 旋转至点 $C$ ， $D$ ， $E$ 在同一条直线上时，连接 $B D$ ．
填空：
① $∠ B D C$ 的度数为______；
②线段 $C E$ ， $B D$ 之间的数量关系为__________________；
【拓展研究】
（2）如图2， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 均为等腰三角形， $∠ B A C = ∠ D A E = 90 °$ ，点 $C$ ， $D$ ， $E$ 在同一条直线上， $A F$ 为 $△ A D E$ 边 $D E$ 上的高，连接 $B D$ ．请判断 $∠ B D C$ 的度数及线段 $A F$ ， $C D$ ， $B D$ 之间的数量关系，并说明理由；
【探究发现】
（3）如图3，点 $D$ ， $E$ 分别在边 $A B$ ， $A C$ 上， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 均为等边三角形， $△ A D E$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $θ$ （ $0 ° < θ < 180 °$ ），当点 $C$ ， $D$ ， $E$ 不在同一条直线上时，设直线 $B D$ 与 $C E$ 相交于点 $O$ ，探索 $∠ B O E$ 的度数，请直接写出结果，不必说明理由．

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3、通过第11章《整式的乘除》的学习，我们知道，可以通过计算几何图形的面积来验证一些代数恒等式．
（1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的
两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式                                                                  ．
这种验证思路体现了下列哪一种数学思想（       ）
A．数形结合思想   B．分类讨论思想   C．类比思想     D．转化思想
利用上述公式解决问题：
【直接应用】
（2）若 $x y = 4$ ， $x + y = 6$ ，则 $x^{2} + y^{2} =$ ______；
【类比应用】
（3）若 ${(2024 - x)}^{2} + {(x - 2023)}^{2} = 2025$ ，求 $2 (2024 - x) (x - 2023)$ 的值；
【知识迁移】
（4）如图②，在线段CE上取一点D，分别以CD、DE为边作正方形ABCD、DEFG，连接BG、CG、EG．若阴影部分的面积和为9，△CDG的面积为3，则CE的长度为             ．

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4、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D$ 是 $△ A B C$ 的高，在 $A B$ 上取一点 $E$ ，作 $B E$ 的中垂线交 $A B$ 于点 $H$ ，交 $A D$ 于点 $F$ ，连接 $E F$ ， $C F$ ．

(1)、求证 $E F = C F$ ；

(2)、若 $∠ A B C = 70 °$ ，求 $∠ E F C$ 的度数．

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5、如图， $A E ⊥ A B$ ，且 $A E = A B$ ， $B C ⊥ C D$ ，且 $B C = C D$ ，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积 $S =$ ．

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6、如图1是一张长方形纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿 $E F$ 折叠并压平，再沿 $B F$ 折叠并压平，若图3中 $∠ C F E = 18 °$ ，则 $∠ C F H$ 的度数为（）

A、 $30 °$ B、 $48 °$ C、 $50 °$ D、 $58 °$

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7、如图，在等边 $△ A B C$ 中， $B D$ 是 $A C$ 边上的中线，延长 $B C$ 至点 $E$ ，使 $C E = C D$ ，若 $D E = 4$ ，则 $B D =$ （）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $5$

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8、如图，正方形 $A B C D$ ，点 $E$ 为 $C D$ 延长线上一点，以 $C E$ 为边向右作正方形 $C E F G$ ，连结 $A E$ ， $A G$ ， $E G$ ．若要求出 $△ A E G$ 的面积，只需知道（）

A、 $A B$ 的长 B、 $A G$ 的长 C、 $A E$ 的长 D、 $C G$ 的长

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9、下列篆体字“独”，“具”，“匠”，“心”中，是轴对称图形的为（　　）

A、 B、 C、 D、

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10、《制作一个容积尽可能最大的无盖长方形收纳盒》是七年级上册的综合与实践活动，某活动小组在学习了这一课后，开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．
【问题解决】

(1)、如图所示图形中，是无盖正方体的表面展开图的有；（填序号）

(2)、活动小组利用边长为 $a (c m)$ 的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子(图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒)．
①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为 $b (c m)$ 的小正方形，再沿虚线折叠起来．求长方体纸盒的底面周长；
②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为 $b (c m)$ 的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠起来．如果 $a = 30 cm$ ， $b = 5 cm$ ．求该长方体纸盒的体积．

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11、如图，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 是不在一条直线上的三个点，过 $B$ ， $C$ 两点作直线，并连接 $A B ， A C$ ．

(1)、尺规作图：
①延长 $C A$ 至 $D$ ，使得点 $A$ 为 $C D$ 的中点；
②作射线 $A B$ ，在射线 $A B$ 上截取 $A E = 3 A B$ ．（作图工具只限直尺和圆规，保留作图痕迹）

(2)、若 $A B = A C ， C D = 10 cm$ ，求 $B E$ 的长．
小明同学写出解答的部分过程，请你帮忙完成填空．
解：（2）因为点 $A$ 为 $C D$ 的中点，
所以 $A C = \frac{1}{2}$ ___________，
因为 $C D = 10$ ，
所以 $A C =$ ___________，
因为 $A B = A C$ ，
所以 $A B = 5$ ，
因为 $A E = 3 A B$ ，
所以 $A E =$ ___________，
所以 $B E =$ ___________．

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12、计算： $- 3^{2} \div 3 + (\frac{1}{2} - \frac{2}{3}) \times 12 - {(- 1)}^{2026}$ ．

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13、设 $a$ 是最大的负整数， $b$ 是绝对值最小的有理数， $c$ 是最小的正整数，则 $a + c - b =$ ．

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14、若 $∠ 1 = 35 ° 45^{'}$ ，那么 $∠ 1$ 的余角是．

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15、如图，已知 $∠ A O B = 90 °$ ， OC是 $∠ A O B$ 内任意一条射线，OB、OD分别平分 $∠ C O D$ 、 $∠ B O E$ ，下列结论：① $∠ C O D = ∠ B O E$ ；② $∠ C O E = 3 ∠ B O D$ ；③ $∠ B O D = ∠ A O E$ ；④ $∠ A O C + ∠ B O D$ $= 90 °$ ，其中正确的有（）个．

A、1 B、2 C、3 D、4

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16、化学中把仅由碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图是部分碳氢化合物的结构式，第1个结构式中有1个 $C$ 和4个 $H$ ，第2个结构式中有2个 $C$ 和6个 $H$ ，第3个结构式中有3个 $C$ 和8个 $H$ ，按照此规律，则第 $n$ 个结构式中 $C$ 、 $H$ 的个数之和为（）

A、 $3 n + 2$ B、 $2 n + 3$ C、 $3 (n + 1)$ D、 $2 n + 2$

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17、下列说法中正确的有（）
① $- \frac{1}{3} a^{2} b^{3}$ 与 $5 a^{3} b^{2}$ 是同类项；② $- 15 a^{2} b$ 的次数是2；③有理数分为正数和负数；④若 $∠ A O C = 2 ∠ B O C$ ，则 $O B$ 是 $∠ A O C$ 的平分线．

A、3个 B、2个 C、1个 D、0个

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18、下列运算中，正确的是（）

A、 $3 m + 3 n = 3 m n$ B、 $3 a^{2} - a^{2} = 1$ C、 $2 a^{2} b - 2 b a^{2} = 0$ D、 $x^{3} + 2 x^{3} = 3 x^{6}$

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19、下列调查中，适宜采用抽样调查的是（）

A、调查新入职的公务员身体健康情况 B、调查学校食堂中某肉菜的各项卫生指标情况 C、调查本校七年（1）班学生的期末数学成绩 D、调查学校篮球队队员的身高

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20、如图 $1$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ， $A D ⊥ C E ， B E ⊥ C E$ ，垂足分别为 $D ， E$ ，连接 $B D$ ．

(1)、求证： $∠ A C D = ∠ C B E$ ；

(2)、若 $C E = 3$ ， $B E = 5$ ，求 $△ A B D$ 的面积；

(3)、如图 $2$ ，延长 $A E$ 交 $B C$ 于点 $F$ ，点 $G$ 为直线 $A C$ 左侧一点，且 $C G = A E$ ， $∠ A C G = ∠ A F C$ ，连接 $A G$ ．求证： $A G = B D$ ．

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