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1、如图，已知 $△ A B C ≌ △ F D E$ ， $A D = 2$ ， $B D = 3$ ，则 $F D$ 的值为．

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2、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = - 2 x + m$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象相交于点 $A (a, 4)$ ， B两点，与x轴相交于点 $C (3, 0)$ ，过点B作 $A B$ 的垂线交反比例函数的图象于另一点D．

(1)、求反比例函数的表达式及点B的坐标；

(2)、点E是坐标轴上一点，点F是直线 $B D$ 上一点，若A，C，E，F为顶点的四边形为菱形，求E，F两点的坐标；

(3)、设点P是第三象限内的反比例函数图象上一点，连接 $A P$ 交 $B D$ 与点Q，若 $△ A B Q$ 与 $△ P D Q$ 相似，求点P的坐标．

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3、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $⊙ O$ 与边 $B C$ 相切于点D，与 $A B$ ， $A C$ 分别相交于点E，F， $A D$ 与 $O E$ 相交于点G．

(1)、求证： $∠ C = ∠ A D E$ ；

(2)、若 $C F = 4$ ， $\sin C = \frac{3}{5}$ ，求 $⊙ O$ 的半径和 $D G$ 的长．

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4、如图，滑动调节式遮阳伞的立柱 $A C$ 垂直于地面 $A B$ ， $P$ 为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为 $△ P D E$ ， $F$ 为 $P D$ 的中点， $A C = 2.8 m$ ， $P D = 2.2 m$ ， $C F = 1.1 m$ ， $∠ D P E = 16 °$ ．根据生活经验，当太阳光线与 $P E$ 垂直时，遮阳效果最佳．若太阳光线与地面的夹角为 $73 °$ 时，要使遮阳效果最佳，求 $A P$ 的长．（结果精确到 $0.1 m$ ；参考数据： $\sin 57 ° \approx 0.84$ ， $\cos 57 ° \approx 0.54$ ， $\sin 73 ° \approx 0.96$ ， $\cos 73 ° \approx 0.29$ ）

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5、 $2024$ 年中国新能源汽车产销量突破了 $1300$ 万辆，这个数字是全球的 $70 %$ ，也是连续 $10$ 年全球排名第一．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，诞生了一批优秀的新能源车企．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．
类型
人数
所占百分比
纯电
$22$
$a %$
混动

$b %$
氢燃料
$4$

油车

$15 %$
根据图表信息，解答下列问题：

(1)、分别求出表中 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、若此次汽车展览会的参展人员共有 $6000$ 人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的人数；

(3)、在喜欢氢燃料的 $4$ 人中有两名男士和两名女士，若从中随机抽取两人进行活动参观感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到两名女士的概率．

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6、（1）计算： ${(\frac{1}{3})}^{- 1} + 2 \cos 30 ° - \sqrt{16} + |1 - \sqrt{3}|$ ．
（2）解不等式组： $\{\begin{matrix} 3 x - 2 > 2 (x + 1) \\ \frac{x - 3}{2} \leq \frac{x - 1}{3} \end{matrix}$ ．

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7、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $∠ B =60 °$ ， M是 $B C$ 的中点，点P是 $C D$ 上一动点，连接 $P A$ ， $P M$ ，则 $P A + P M$ 的最小值为．

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8、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 都在反比例函数 $y = \frac{2 - m}{x}$ 的图象上，当 $x_{1} < 0 < x_{2}$ 时，有 $y_{1} < y_{2}$ ，则 $m$ 的取值范围是．

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9、如图， $P A ， P B$ 是 $⊙ O$ 的切线，A，B为切点，若 $∠ P = 60 °$ ， $O A = 3$ ，则图中阴影部分的面积为．

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10、方程 $\frac{1}{1 - x} - \frac{2 - x}{x - 1} = 2$ 的解是．

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11、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，分别以点A和点C为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线 $M N$ ，直线 $M N$ 与 $A B$ 相交于点D，连接 $C D$ ，若 $B D = 5$ ， $A C = 8$ ，则 $B C$ 的长为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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12、中国古代数学著作《九章算术》，中记载了这样一个题目：五只雀、六只燕，共重 $16$ 两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问：每只雀，燕的重量各为多少？设雀每只 $x$ 两，燕每只 $y$ 两，则可列出方程组为（）

A、 $\{\begin{matrix} 5 x + 6 y = 16 \\ 5 x + y = 6 y + x \end{matrix}$ B、 $\{\begin{matrix} 5 x + 6 y = 16 \\ 4 x + y = 5 y + x \end{matrix}$ C、 $\{\begin{matrix} 6 x + 5 y = 16 \\ 6 x + y = 5 y + x \end{matrix}$ D、 $\{\begin{matrix} 6 x + 5 y = 16 \\ 5 x + y = 4 y + x \end{matrix}$

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13、如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点O，则下列说法正确的是（）

A、 $A B = A C$ B、 $∠ A B C = ∠ B A C$ C、 $A C ⊥ B D$ D、 $A C = A D$

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14、某班6名同学在一次“1分钟仰卧起坐”测试中，成绩分别为（单位：次）：39，45，42，37，41，39，这组数据的众数，中位数分别是（）

A、45，39 B、39，39 C、39，40 D、45，41

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15、下列计算正确的是（）

A、 ${(- 2 x)}^{2} = - 4 x^{2}$ B、 $5 x + 12 x = 17 x^{2}$ C、 ${(x - 2)}^{2} = x^{2} - 2 x + 4$ D、 $(x + 3 y) (x - 3 y) = x^{2} - 9 y^{2}$

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16、在 $- \frac{1}{2}$ ， $- 5$ ， $- 3$ ， $2$ 这四个数中，最小的数是（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- 5$ C、 $- 3$ D、 $2$

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17、药碾子是传统的碾药工具，从东汉时期沿用至今，如图1，碾槽外轮廓的上沿和下沿可近似看作两条抛物线的部分．如图2，上沿和下沿的两个交点分别为点 $O$ 和点 $A$ ，点 $O$ 与点 $A$ 到地面的距离相等， $O A = 8 dm$ ，以 $O A$ 所在直线为 $x$ 轴，过点 $O$ 且垂直于 $O A$ 的直线为 $y$ 轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，上沿抛物线的顶点为 $H (4, - \frac{1}{2})$ ，下沿抛物线的顶点为 $P$ ，上沿抛物线的顶点 $H$ 比 $P$ 点高 $\frac{7}{2} dm$ ．

(1)、求出上沿抛物线的函数表达式．

(2)、点 $B$ 是支撑架与下沿抛物线的交点，过点 $B$ 作 $B D ⊥ O A$ 于点 $D$ ，交上沿抛物线于点 $E$ ， $B E = \frac{21}{8} dm$ ，求点 $B$ 的坐标．

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18、我们常常把一张 $A 4$ 纸通过折叠的方式得到它的对角线，如图1．折纸活动中，通过点与点重合或边与边重合，才能得到精准的折叠．现有一张 $A 4$ 纸张（矩形 $A B C D$ ），如图2，设折叠后 $B^{'} C$ 边与 $A D$ 边重叠的点为 $E$ ．

(1)、请用尺规作图的方式在图2中画出点 $E$ ．

(2)、根据以上折纸活动的提示，描述折出 $A 4$ 纸（矩形 $A B C D$ ）对角线的两个步骤．

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19、如图，反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 图象过点 $A (- 2, a)$ ，直线 $x = 4$ 与该反比例函数图象和 $x$ 轴分别交于点 $B$ 和点 $D$ ，连结 $A D$ ．

(1)、求 $△ A D B$ 的面积．

(2)、若点 $P (m, n) (m > 0)$ 在反比例函数图象上，当 $P D ⊥ A D$ ，求点 $P$ 的坐标．

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20、如图，在边长为4的正方形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 分别为边 $B C$ ， $D C$ 上的点，且 $B E = D F$ ，过 $F$ 点作 $A E$ 的垂线交 $A B$ 于 $H$ ．

(1)、求证： $A E = H F$ ．

(2)、请写出 $A H$ 与 $B E$ 之间的数量关系并证明．

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类型	人数	所占百分比
纯电	$22$	$a %$
混动		$b %$
氢燃料	$4$
油车		$15 %$