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1、已知：如图， $A B / / C D$ ，若 $P$ 为平面内一点．当点 $P$ 在直线AB ， CD之间时， $A P ⊥ P D$ 于P ， DQ平分 $∠ P D C$ ，连接AQ ，使 $∠ A Q D = 4 0^{°}$ ，设 $∠ P A Q = a^{°}, ∠ P A B = β^{°}$ ，请写出 $a$ 与 $β$ 之间的数量关系。

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2、如图，7个形状、大小完全相同的小长方形放在一个大长方形中，已知大长方形的周长为32，小长方形的周长为14，则小长方形的长为， AB与CD的差为．

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3、如图，将一张长方形纸条折叠，若 $4 ∠ A B C = ∠ A C D$ ，则 $∠ A C D$ 的度数为度．

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4、若 $x = 1 + 2^{m}, y = 4^{m}$ （ $m$ 为整数），用含 $x$ 的代数式表示 $y$ ，则 $y =$ .

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5、计算： ${(- \frac{1}{2})}^{2024} \times (- 2)^{2025} =$ .

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6、已知 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 3 \end{array}$ 是二元一次方程 $x + k y = 14$ 的一个解，则k的值为．

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7、如果 $(x + m) (x - 1)$ 的乘积中不含 $x$ 的一次项，则 $m$ 的值为．

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8、若 $(3 m - 2)^{0} = 1$ 有意义，则 $m$ 的取值范围是．

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9、已知关于x ， y的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} x + 3 y = 4 - a \\ x - y = 3 a \end{array}$ ，给出下列结论中正确的是（）
①当这个方程组的解x ， y的值互为相反数时， $a = - 2$ ；
②当 $a = 1$ 时，方程组的解也是方程 $x + y = 3 a$ 的解；
③无论 $a$ 取什么实数， $x + 2 y$ 的值始终不变；
④当方程组的解x ， y都为自然数时，则 $a$ 有唯一值为0；

A、③④ B、①②③ C、①②④ D、①②③④

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10、将一副三角板按如图的所示放置，下列结论中不正确的是（）

A、若 $∠ 2 = 3 0^{°}$ ，则有 $A C / / D E$ B、 $∠ B A E + ∠ C A D = 18 0^{°}$ C、若 $B C / / A D$ ，则有 $∠ 2 = 3 0^{°}$ D、如果 $∠ C A D = 15 0^{°}$ ，必有 $∠ 4 = ∠ C$

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11、下列说法中正确的个数为（）
①不相交的两条直线叫做平行线；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；
④两条直线被第三条直线所截，同位角相等。

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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12、《九章算术》中记载：今有上等稻6捆，其所得谷粒减去18升相当于下等稻10捆所得谷粒；下等稻15捆，其所得谷粒减去5升相当于上等稻5捆所得谷粒。问上等稻、下等稻每捆各出谷粒几升？若设上等稻每捆出谷粒 $x$ 升，下等稻每捆出谷粒 $y$ 升，则可列出方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} 6 y - 18 = 10 x \\ 15 y - 5 = 5 x \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 6 x - 18 = 10 y \\ 15 y - 5 = 5 x \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 6 x + 18 = 10 \\ 5 x + 5 = 15 y \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 6 x - 10 y = 18 \\ 15 y + 5 = 5 x \end{array}$

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13、如图，下列图形中的 $∠ 1$ 和 $∠ 2$ 不是同位角的是（）

A、 B、 C、 D、

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14、下列各式中，计算正确的是（）

A、 ${(a^{3})}^{2} = a^{6}$ B、 $a^{3} \cdot a^{3} = 2 a$ C、 $a^{2} + a^{4} = a^{6}$ D、 $(- 2 x y)^{3} = - 6 x^{3} y^{3}$

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15、点 $A$ 为直线BC外一点， $A D ⊥ B C$ 于 $D, A D = 6$ ．点 $P$ 是直线BC上的动点，则线段AP长可能是（）

A、1 B、3 C、5 D、7

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16、下列是二元一次方程的是（）

A、 $x = 1$ B、 $2 x^{2} + y = 1$ C、 $x = \frac{1}{y}$ D、 $x = 6 y$

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17、已知某国产芯片突破0.000005毫米制程工艺，数据0.000005用科学记数法表示是（）

A、 $5 \times 1 0^{- 6}$ B、 $0.5 \times 1 0^{- 6}$ C、 $5 \times 1 0^{- 5}$ D、 $0.5 \times 1 0^{- 5}$

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18、如图是deepseek的标志，通过平移该标志可以得到的图形是（）

A、 B、 C、 D、

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19、如图1，点 $P$ 是 $▱ A B C D (A D > A B)$ 对角线BD上的一点 $(B P > P D)$ ，且使得 $∠ A B P = ∠ A P B$ ，连接AP并延长，交CD于点 $E$ 。

(1)、若 $\frac{P D}{B D} = \frac{2}{5}$ ，求 $\frac{C E}{D E}$ 的值。

(2)、如图2，将 $△ A D P$ 沿AB方向平移到 $△ B C M$ ，求证： $∠ A D B = ∠ M D B$ 。

(3)、如图3，连接PC ，取PC的中点 $M$ ，连接DM交AE于点 $F$ ，若 $\frac{C E}{C D} = \frac{1}{4}$ ，求 $\frac{D F}{A D}$ 的值。

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20、如图1，一个小球以 $v_{0} = 10 c m / s$ 的初速度，在一条足够长且平直的轨道上运动。轨道初段AC绝对光滑；除AC段外，剩下轨道粗糙。小球在绝对光滑轨道上不存在阻力；在粗糙轨道上，存在恒定的摩擦力，速度会逐渐减小，直至停止。小球运动过程中，其速度 $v (c m / s)$ 与时间 $t (s)$ 之间的关系如图2所示，其路程 $s (c m)$ 与时间 $t (s)$ 之间的关系如图3所示（PQ段是抛物线 $s = - \frac{1}{4} t^{2} + m t + n$ 的一部分）。

(1)、轨道初段AC的总长为 ▲ cm；并求出小球在粗糙轨道（图中射线CB上）运动时， $v (c m / s)$ 与 $t (s)$ 之间的关系式（不要求写出自变量取值范围）。

(2)、①若测得小球从开始出发到最终停止，行进的总路程为140cm，求抛物线 $s = - \frac{1}{4} t^{2} + m t + n$ 的函数关系式。
②延长线段OP ，如果直线OP与抛物线有且只有一个交点，且直线OP不与抛物线对称轴平行，则称线段OP与抛物线光滑连接。请你通过计算和推理判断线段OP与抛物线是否光滑连接？

(3)、在（2）的条件下，在射线CB上，是否存在一节长为9cm的轨道段，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为1s。若存在，请求出这节轨道的起点与点 $A$ 之间的距离；若不存在，请说明理由。

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