相关试卷

1、化简 $(\sqrt{a^{2} b} + \sqrt{a b^{2}} + a b) \div \sqrt{a b}$ 的结果是（）

A、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{a b}$ B、 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ C、 $1$ D、 $a b$

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2、计算( $\sqrt{12}$ － $\sqrt{3}$ )÷ $\sqrt{3}$ 的结果是( )

A、－1 B、－ $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、1

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3、已知 $R t △ A B C$ 的直角边分别为3和4，则斜边上的高为（）

A、5 B、6 C、 $\frac{12}{5}$ D、 $\frac{24}{5}$

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4、下列根式中，不能与 $\sqrt{3}$ 合并的是 $($ 　　 $)$

A、 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ B、 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ C、 $\sqrt{18}$ D、 $\sqrt{12}$

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5、如图，在平面直角坐标系中，点 $O$ 为坐标原点，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 6$ 交 $x$ 轴于 $A$ 、 $B$ 两点（ $A$ 左 $B$ 右），交 $y$ 轴于点 $C$ ，连接 $A C$ ， $\tan ∠ C A O = 1$ ， $O A = 3 B O$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点 $P$ 在第二象限抛物线上，连接 $A P$ 、 $C P$ ，设点 $P$ 的横坐标为 $t$ ， $△ A C P$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 关于 $t$ 的函数关系式．（不要求写出自变量 $t$ 的取值范围）；

(3)、在（2）的条件下，连接 $B P$ 交 $y$ 轴于 $D$ ，将线段 $C P$ 绕点 $C$ 逆时针旋转90°得到线段 $C E$ ，过 $C$ 作 $A C$ 的垂线交过 $E$ 作 $y$ 轴的平行线于 $F$ ，点 $G$ 为 $O A$ 中点，连接 $A F$ 、 $P G$ 相交于点 $H$ ，过 $P$ 作 $P Q ⊥ x$ 轴于 $Q$ ， $\frac{8 A H}{3 F H} = \frac{C D}{O Q}$ ，求点 $P$ 的横坐标．

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6、综合与实践
数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．
转一转：如图①，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 分别为边 $B C$ 、 $A B$ 、 $A D$ 的中点，连接 $E F$ 、 $D F$ ， $H$ 为 $D F$ 的中点，连接 $G H$ ．将 $△ B E F$ 绕点 $B$ 旋转，线段 $D F$ 、 $G H$ 和 $C E$ 的位置和长度也随之变化．
当 $△ B E F$ 绕点 $B$ 顺时针旋转90°时，请解决下列问题：

(1)、图②中， $A B = B C$ ，此时点 $E$ 落在 $A B$ 的延长线上，点 $F$ 落在线段 $B C$ 上，连接 $A F$ ，猜想 $G H$ 与 $C E$ 之间的数量关系，并证明你的猜想；

(2)、图③中， $A B = 2$ ， $B C = 3$ ，求 $\frac{G H}{C E}$ ；

(3)、剪一剪、折一折：在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线 $A C$ ，并沿对角线 $A C$ 剪开，得 $△ A B C$ （如图④）．点 $M$ 、 $N$ 分别在 $A C$ 、 $B C$ 上，连接 $M N$ ，将 $△ C M N$ 沿 $M N$ 翻折，使点 $C$ 的对应点 $P$ 落在 $A B$ 的延长线上，若 $P M$ 平分 $∠ A P N$ ，求 $C M$ 长．

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7、某综合与实践活动小组对其自制的桥梁模型的承重开展了项目式学习活动，如表是活动的设计方案．请你参与该项目式学习活动，并完成下列问题：

项目主题		桥梁模型的承重试验
活动目标		经历项目化学习的全过程，引导学生在实际情境中发现问题，并将其转化为合理的数学问题
驱动问题		当桥梁模型发生不同程度的形变时，水桶下降的高度
方案设计	工具	状态一（空水桶）	状态二（水桶内加一定量的水）
	示意图
		说明： $C$ 为 $A B$ 的中点

(1)、当水桶为空水桶状态时，桥梁没有发生形变，如图1（

A

、

C

、

B

在同一条直线上），已知两课桌之间的距离

A B = 60 \sqrt{3} cm

，

∠ A D B = 120 °

，求吊绳

C D

的长．

(2)、移动课桌，并在水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图2所示的形变，若其他因素忽略不计，测得

∠ C^{'} A C = 12 °

，

∠ C^{'} A D = 45 °

，请计算此时水桶下降的高度

C C^{'}

（参考数据：

\sin 12 ° \approx 0.2

，

\cos 12 ° \approx 1.0

，

\tan 12 ° \approx 0.2

）．

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8、 $2026$ 年 $6$ 月 $6$ 日是第 $31$ 个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程．
【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本．
【整理数据】整理发现样本数据的最低分为 $51$ 分，最高分为满分 $100$ 分，对样本数据分成 $5$ 组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表：
组别
分数
频数
百分比
第 $1$ 组
$51 \leq x < 61$
$a$
$5 %$
第 $2$ 组
$61 \leq x < 71$
$10$
$m$
第 $3$ 组
$71 \leq x < 81$
$15$
$15 %$
第 $4$ 组
$81 \leq x < 91$
$40$
$40 %$
第 $5$ 组
$91 \leq x < 101$
$b$
$n$
【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图．
【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题：

(1)、 $m =$ ________， $n =$ ________；请将频数分布直方图补充完整；

(2)、所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第________组的分数段内；

(3)、计划将竞赛成绩不低于 $81$ 分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校 $3000$ 名学生中获得“护眼知识达人”的人数．

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9、计算： ${(\frac{1}{3})}^{- 1} - 2 \cos 45 ° + \sqrt{8} - {(π - \sqrt{2})}^{0}$ ．

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10、将全等的正五边形按图所示的方式排列组成一个圆圈，组成一个完整的圆圈需要的正五边形的个数是．

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11、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ A C B = 30 °$ ， $∠ B A C$ 的平分线 $A D$ 交 $B C$ 于点D．分别以点C、D为圆心，以大于 $\frac{1}{2} C D$ 的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线 $M N$ 交 $B C$ 于点E，交 $A D$ 的延长线于点F．如果 $B D = 3$ ，那么 $D F =$ ．

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12、密度计常用来测量液体的密度．如图1是一款自制的木棒密度计，将木棒依次放入一系列密度已知的液体中，每次当其在液体中处于竖直漂浮状态时，在木棒上标出与液面位置相平的刻度线及相应密度值 $ρ$ ，并测量木棒浸入液体的深度 $h$ ，再利用收集的数据画出 $ρ$ 关于 $h$ 的反比例图象，如图2所示．下列说法正确的是（）

A、 $ρ$ 可能为0 B、若 $h_{1} < h_{3} < h_{2}$ ，则 $ρ_{1} < ρ_{3} < ρ_{2}$ C、密度 $ρ$ 均匀增加时，深度 $h$ 的变化量相同 D、密度计的刻度线越往上，对应的密度值越小

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13、下列命题是真命题的是（）

A、两直线平行，同旁内角相等 B、平行于同一条直线的两条直线平行 C、在平面直角坐标系中，点 $P (2, 3)$ 到x轴的距离是2 D、在一次函数 $y = - x + 1$ 中，y随着x的增大而增大

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14、分式方程 $\frac{1}{x - 2} = 1$ 的解是（）

A、 $x = - \frac{7}{3}$ B、 $x = - 1$ C、 $x = \frac{5}{3}$ D、 $x = 3$

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15、下列运算正确的是（）

A、 $2 a + 3 a = 5 a^{2}$ B、 $a (2 b - 1) = 2 a b - a$ C、 ${(2 a^{2})}^{3} = 6 a^{6}$ D、 ${(2 a - 1)}^{2} = 4 a^{2} - 1$

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16、雪花晶体是高空中过饱和水汽在低温下凝华、以六方冰晶形态生长而成，它们每一片都是大自然精巧美丽、独一无二的工艺品，下列以雪花为主题的图标中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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17、 $- 2026$ 的绝对值是（）

A、 $- \frac{1}{2026}$ B、 $\frac{1}{2026}$ C、 $- 2026$ D、2026

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18、先约分，再求值： $\frac{x^{2} - 2 x y + y^{2}}{y - x}$ ，其中 $x = 2$ ， $y = 3$ ．

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19、如图，四边形 $A B C D$ 是 $⊙ O$ 内接四边形，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $E$ ，对角线 $A C$ 平分 $∠ B A D$ ．点 $F$ 在线段 $A C$ 上，满足 $C F = C D$ ，连接 $F B$ ， $F D$ ．

(1)、求证： $△ A B E ∽ △ A C D$ ；

(2)、若 $S_{△ B C D} = S_{△ B F D}$ ，求 $\frac{A B + A D}{B D}$ 的值；

(3)、若 $∠ B F D = ∠ B C D$ ， $⊙ O$ 的半径为 $1$ ，记 $D E = x$ ， $\frac{C D}{A B} \cdot \sqrt{\frac{A C}{C E}} + \frac{1}{C E \cdot A D} = y$ ，试求出 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并直接写出 $\frac{1}{y}$ 的最大值．

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20、如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a b c \neq 0)$ 与 x 轴交于点 $A (x_{1}, 0) ， B (x_{2}, 0) (0 < x_{1} < x_{2})$ ，与y轴交于点 C，顶点为点 D，直线 $C D$ 与x轴交于点 M，点O为坐标原点，不妨约定：若M为线段 $O B$ 中点，则称该抛物线为“ $X —$ 型”抛物线；若M 为线段 $C D$ 中点，则称该抛物线为“ $Y —$ 型”抛物线．根据该约定，完成下列各题．

(1)、下列抛物线中是“ $X —$ 型”抛物线的有：（填序号）；① $y = x^{2} - 3 x + 4$ ；② $y = x^{2} - 2 x - 3$ ；③ $y = x^{2} - 4 x + 3$ ；

(2)、若抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a b c \neq 0)$ 为“ $Y —$ 型”抛物线，且直线 $C D$ 的解析式为 $y = - 2 x + c$ ，求 $\frac{x_{2} - x_{1}}{x_{1}}$ 的值；

(3)、抛物线G： $y = x^{2} + b x + c$ 为“ $X —$ 型”抛物线，若将抛物线G向下平移2个单位长度后得到的新抛物线是“ $Y —$ 型”抛物线，试求出抛物线G的解析式．

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组别	分数	频数	百分比
第 $1$ 组	$51 \leq x < 61$	$a$	$5 %$
第 $2$ 组	$61 \leq x < 71$	$10$	$m$
第 $3$ 组	$71 \leq x < 81$	$15$	$15 %$
第 $4$ 组	$81 \leq x < 91$	$40$	$40 %$
第 $5$ 组	$91 \leq x < 101$	$b$	$n$