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1、如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 5$ 与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C, A B = 4$ ．抛物线的对称轴 $x = 3$ 与经过点 $A$ 的直线 $y = k x - 1$ 交于点 $D$ ，与 $x$ 轴交于点 $E$ ．

(1)、求直线 $A D$ 及抛物线的表达式；

(2)、在抛物线上是否存在点 $M$ ，使得 $△ A D M$ 是以 $A D$ 为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、以点 $B$ 为圆心，画半径为2的圆，点 $P$ 为 $⊙ B$ 上一个动点，请求出 $P C + \frac{1}{2} P A$ 的最小值．

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2、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = k x + b$ 与x轴交于点 $A (4, 0)$ ，与y轴交于点 $B (0, 2)$ ，与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 在第四象限内的图象交于点 $C (6, a)$ ．

(1)、求反比例函数的表达式：

(2)、当 $k x + b > \frac{m}{x}$ 时，直接写出x的取值范围；

(3)、在双曲线 $y = \frac{m}{x}$ 上是否存在点P，使 $△ A B P$ 是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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3、如图，已知直线y=kx-6经过点A（1，-4），与x轴相交于点B，若点Q是轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标.

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4、如图所示，在△ABC中，AB=AC=10，cos∠B= $\frac{4}{5}$ ， D、E为线段BC上的两个动点，且DE=3（E在D的右边），运动初始时D与B重合，当E与C重合时运动停止，过点E作EF∥AC交AB于F，连接DF，设BD=x，如果△BDF为直角三角形，求x的值.

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5、如图，已知抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ （b，c是常数）与x轴交于 $A (1 ， 0)$ ， $B (- 3 ， 0)$ 两点，顶点为C，点P为线段 $A B$ 上的动点（不与A、B重合），过P作 $P Q ∥ B C$ 交抛物线于点Q，交 $A C$ 于点D．

(1)、求该抛物线的表达式；

(2)、求 $△ C P D$ 面积的最大值；

(3)、连接 $C Q$ ，当 $C Q ⊥ P Q$ 时，求点Q的坐标；

(4)、点P在运动过程中，是否存在以A、O、D为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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6、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ，动点P从点D出发沿 $D A$ 向终点A运动同时动点Q从点A出发沿对角线 $A C$ 向终点C运动．过点P作 $P E ∥ D C$ ，交 $A C$ 于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为x秒，当点Q与点E重合时，P、Q两点同时停止运动．设 $S_{△ P Q E} = y$ ；

(1)、当x为何值时，点Q与点E重合？

(2)、当x为何值时， $P Q ∥ B E$ ．

(3)、当点Q与点E不重合时，求y关于x的函数关系式（不用写出x的取值范围）．

(4)、是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．

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7、如图，已知矩形 $A B C D$ ， $A B = 6$ $c m$ ， $C B = 8$ $c m$ ，点F为 $C D$ 中点．点P从点D出发，沿 $D A$ 方向匀速向点A运动，点E从点C出发，沿 $C A$ 方向匀速向点A运动，点P、E的运动速度均为1 $c m / s$ ；当点P、E中有一点停止运动时，另一点也停止运动．连接 $P E$ 、 $P F$ ．设运动时间为 $t$ $(s)$ $(0 < t < 8)$ ，解答下列问题：

(1)、当点P在 $∠ A B D$ 的平分线上时，求t的值；

(2)、设 $Δ P E F$ 的面积为y $(c m^{2})$ ，求y与t之间的函数关系式；

(3)、连接 $D E$ ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得 $Δ C D E$ 是等腰三角形．若存在，请求出t，若不存在，请说明理由．

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8、如图1， $△ A B C$ 是一张等腰三角形纸片， $A B = A C$ ，小明用该等腰三角形纸片进行折纸探究活动．将 $△ A B C$ 沿过点B所在直线折叠，使得 $△ A B D$ 翻折至 $△ B D E$ 处，折痕为 $B D ， B E$ 交 $A C$ 于点F．
操作发现：经过若干次操作尝试，小明发现折叠后的 $D E$ 可以与 $B C$ 平行，如图2；
质疑探究：是否存在一种等腰三角形纸片使得 $D E$ 与 $B C$ 既平行又相等，小明运用所学过的数学知识通过探究发现这样的等腰三角形是存在的，如图3．

(1)、请在操作发现的情形下，证明： $B C^{2} = C F \cdot A C$ ；

(2)、请在质疑探究的情形下，求 $c o s ∠ A B C$ 的值．

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9、如图1，抛物线 $y = a x ² + b x + c$ 与x轴交于 $A ， B$ 两点，且点B的坐标为 $(5 ， 0)$ ，与y轴交于点C，该抛物线的顶点坐标为 $(3, - 4)$ ．

(1)、求抛物线和直线 $B C$ 的解析式．

(2)、在抛物线上是否存在点M，使得 $△ B C M$ 是以 $B C$ 为底边的等腰三角形？若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)、如图2，以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为 $⊙ B$ 上的一个动点，连接 $A C$ ，求 $△ A C P$ 面积的最大值．

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10、已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 3 ， 0) ， B (1 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0 ， 3)$ ，其对称轴与 $x$ 轴交于点 $H$ ．

(1)、求抛物线的顶点坐标．

(2)、在抛物线的对称轴上是否存在点 $P$ ，使 $△ P H C$ 是等腰三角形？若存在，请求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)、若 $M$ 是线段 $O A$ 上一动点（不与点 $O$ ， $A$ 重合），连接 $A C$ ，过点 $M$ 作 $D M ⊥ x$ 轴，交抛物线于点 $D$ ，交 $A C$ 于点 $E$ ，在点 $M$ 的运动过程中，是否存在线段 $D E = C E$ ？若存在，请求出点 $M$ 的横坐标；若不存在，请说明理由．

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11、如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与x轴只有一个交点B，对称轴是直线 $x = 1$ ，与y轴交于点 $A (0, - 1)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若P是对称轴右侧抛物线上的一动点，且满足 $S_{△ P A B} = 1$ ，求点P的坐标；

(3)、在y轴右侧抛物线上是否存在点M，得以M，A，B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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12、如图所示，一次函数 $y = x + 3$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，连接 $O B$ ， $S_{△ B O D} = 3$ ．

(1)、求k的值．

(2)、x轴上是否存在一点E，使 $△ A B E$ 为等腰三角形?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

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13、如图，抛物线 $y = a x^{2} + 2 x + c$ 的对称轴是直线 $x = 1$ ，与 $x$ 轴交于点 $A$ ， $B (3, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $A C$ ．

(1)、求此抛物线的解析式；

(2)、已知点 $D$ 是第一象限内抛物线上的一个动点，过点 $D$ 作 $D M ⊥ x$ 轴，垂足为点 $M$ ， $D M$ 交直线 $B C$ 于点 $N$ ，是否存在这样的点 $N$ ，使得以 $A$ ， $C$ ， $N$ 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点 $N$ 的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)、已知点 $E$ 是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点 $F$ ，使以点 $B$ 、 $C$ 、 $E$ 、 $F$ 为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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14、已知抛物线经过A（－1，0）、B（0、3）、 C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM ，交BC于点F .

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、求证：∠BOF＝∠BDF ：

(3)、是否存在点M使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长.

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15、如图，二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 的图象与 $x$ 轴相交于点 $A$ 和点 $C (1, 0)$ ，交 $y$ 轴于点 $B (0, 3)$ ．

(1)、求此二次函数的解析式；

(2)、设二次函数图象的顶点为 $P$ ，对称轴与 $x$ 轴交于点 $Q$ ，求四边形 $A O B P$ 的面积（请在图1中探索）；

(3)、二次函数图象的对称轴上是否存在点 $M$ ，使得 $△ A M B$ 是以 $A B$ 为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由（请在图 $2$ 中探索）．

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16、如图1，抛物线 $y = a x^{2} + k x - 3$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 3, 0)$ 和点 $B (1, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．点 $D$ 是抛物线的顶点．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图2，连接 $A C$ ， $D C$ ，直线 $A C$ 交抛物线的对称轴于点 $M$ ，若点 $P$ 是直线 $A C$ 上方抛物线上一点，且 $S_{△ P M C} = 2 S_{△ D M C}$ ，求点 $P$ 的坐标；

(3)、若点 $N$ 是抛物线对称轴上位于点 $D$ 上方的一动点，是否存在以点 $N$ ， $A$ ， $C$ 为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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17、在平面直角坐标系中，抛物线L₁：y＝ax²+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．

(1)、求抛物线L₁的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；

(2)、如图，连接BD，若点E在线段BD上运动（不与B，D重合），过点E作EF⊥x轴于点F，设EF＝m，问：当m为何值时，△BFE与△DEC的面积之和最小；

(3)、若将抛物线L₁绕点B旋转180°得抛物线L₂ ，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．问：在抛物线L₂的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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18、定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C₁：y＝x²+2x﹣3与抛物线C₂：y＝ax²+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C₁和抛物线C₂与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．

(1)、求抛物线C₂的解析式和点G的坐标．

(2)、点M是x轴下方抛物线C₁上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C₂于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．

(3)、如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

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19、如图，过原点O的直线与反比例函数 $y_{1} = \frac{k}{x}$ $(k \neq 0)$ 的图象交于 $A (1 ， 2)$ ， $B$ 两点，一次函数 $y_{2} = m x + b (m \neq 0)$ 的图象过点A与反比例函数交于另一点 $C (2 ， n)$ ．

(1)、求反比例函数的解析式；当 $y_{1} > y_{2}$ 时，根据图象直接写出x的取值范围；

(2)、在y轴上是否存在点 $M$ ，使得 $△ C O M$ 为等腰三角形？若存在，求出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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20、在平面直角坐标系中，二次函数 $y = a x^{2} + b x + 3$ 的图象与x轴交于 $A (1, 0)$ ， $B (3, 0)$ 两点，与y轴交于点C．

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、如图①，若点P是线段 $B C$ 上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段 $P Q$ 的长度最大时，求点Q的坐标；

(3)、如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且 $∠ C Q D = 2 ∠ O C Q$ ．在y轴上是否存在点E，使得 $△ B D E$ 为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

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