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1、如图1，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 交x轴于A， $B (3, 0)$ 两点，交y轴于点 $C (0, - 3)$ ．点P是抛物线上一动点．

(1)、求该抛物线的函数表达式；

(2)、当点P的坐标为 $(1, - 4)$ 时，求四边形 $B A C P$ 的面积；

(3)、当动点P在直线 $B C$ 上方时，在平面直角坐标系是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

(4)、如图2，点D是抛物线的顶点，过点D作直线 $D H ∥ y$ 轴，交x轴于点H，当点P在第二象限时，作直线 $P A$ ， $P B$ 分别与直线 $D H$ 交于点G和点I，求证：点D是线段 $I G$ 的中点．

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2、如图，在平面直角坐标系中，菱形 $A O C B$ 的边 $O C$ 在x轴上， $∠ A O C = 60 °$ ， $O C$ 的长是一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 12 = 0$ 的根，过点C作x轴的垂线，交对角线 $O B$ 于点D，直线 $A D$ 分别交x轴和y轴于点F和点E，动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿 $O D$ 向终点D运动，动点N从点F以每秒2个单位长度的速度沿 $F E$ 向终点E运动．两点同时出发，设运动时间为t秒．

(1)、求直线 $A D$ 的解析式．

(2)、连接 $M N$ ，求 $△ M D N$ 的面积S与运动时间t的函数关系式．

(3)、点N在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点Q．使得以A，C，N，Q为顶点的四边形是矩形．若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，说明理由．

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3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²-2ax-3a（a＜0）与轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线另一个交点为D，且CD=4AC.

(1)、直接写出点A的坐标，并求出直线的函数表达式（其中，k、b用含的式子表示）；

(2)、设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以A、D、P、Q为顶点的四边形能否成矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由.

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4、如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3$ 的图象与x轴交于 $A (- 1, 0)$ ， $B (3, 0)$ 两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于点B，交y轴于点 $D (0, 3)$ ．

(1)、求该抛物线的函数表达式；

(2)、若抛物线的顶点为P，求 $△ P B D$ 的面积；

(3)、点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线 $M N ∥ A C$ 交直线l于点N，是否存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

(4)、求m的值和该抛物线的解析式；

(5)、若点 $P (x, y)$ 为线段AB上的一个动点（点P不与A、B两点重合），过点P作x轴的垂线，与这条抛物线交于点E，设线段 $P E$ 的长为h，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(6)、若点 $P (x, y)$ 为直线 $A B$ 上的一个动点，直线 $A B$ 与这条抛物线的对称轴的交点为D， $P E ⊥ x$ 轴交抛物线于点E，是否存在点P，使以点D、C、E、P为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请写出理由．

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5、如图，抛物线 $y = a x^{2} + 2 x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，已知 $A (- 1, 0)$ 、 $C (0, 3)$ ，连接 $B C$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若点 $P$ 为线段 $B C$ 上的一动点（不与 $B$ 、 $C$ 重合）， $P M ∥ y$ 轴，且 $P M$ 交抛物线于点 $M$ ，交 $x$ 轴于点 $N$ ，求四边形 $A B M C$ 的最大面积；

(3)、在（2）的条件下，当四边形 $A B M C$ 的面积最大时，点 $D$ 是抛物线的对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点 $E$ ，使得以 $A$ 、 $P$ 、 $D$ 、 $E$ 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 $E$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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6、如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图像与 $x$ 轴交于 $A (- 1, 0)$ ， $B (3, 0)$ 两点，与y轴交于点 $C (0, - 3)$ ， $M$ 是抛物线上的一个动点．

(1)、求该二次函数的解析式．

(2)、若点M在直线 $B C$ 的下方，则当点M运动到什么位置时， $△ M B C$ 的面积最大？并求出 $△ M B C$ 的面积的最大值．

(3)、若N是x轴上的一动点，是否存在点M，使以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

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7、如图，已知抛物线 $L : y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ ，与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且 $O B = O C = 3 O A$ ，点 $A (- 1, 0)$ ．

(1)、求抛物线 $L$ 的函数表达式；

(2)、若抛物线 $L$ 的顶点为 $D$ ，抛物线的对称轴交直线 $B C$ 于点 $E$ ，点 $P$ 为直线 $D E$ 右侧抛物线上一点，点 $Q$ 在直线 $B C$ 上，是否存在以点 $D$ ， $E$ ， $P$ ， $Q$ 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点 $Q$ 的坐标，若不存在，请说明理由．

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8、抛物线 $y = a x^{2} - \frac{3}{2} x - 2$ 与x轴交于 $A (- 1 ， 0)$ ， B两点，与y轴交于点C，P是第四象限内抛物线上的一点．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图①，过点P作 $P D ⊥ x$ 轴于点D，交直线 $B C$ 于点E．设点D的横坐标为m，当 $P E = \frac{\sqrt{5}}{2} B E$ 时，求m的值；

(3)、如图②，点 $F (1 ， 0)$ ，连接 $C F$ 并延长交直线 $P D$ 于点M，N是x轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，x轴上是否存在一点H，使得以F，M，N，H为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

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9、如图，已知二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 的图像交 $x$ 轴于点 $A (- 1, 0)$ ， $B (5, 0)$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ．

(1)、求这个二次函数的表达式；

(2)、如图 $1$ ，点 $M$ 从点 $B$ 出发，以每秒 $\sqrt{2}$ 个单位长度的速度沿线段 $B C$ 向点 $C$ 运动，点 $N$ 从点 $O$ 出发，以每秒 $1$ 个单位长度的速度沿线段 $O B$ 向点 $B$ 运动，点 $M$ ， $N$ 同时出发．设运动时间为 $t$ 秒（ $0 < t < 5$ ）．当 $t$ 为何值时， $△ B M N$ 的面积最大？最大面积是多少？

(3)、已知 $P$ 是抛物线上一点，在直线 $B C$ 上是否存在点 $Q$ ，使以 $A$ ， $C$ ， $P$ ， $Q$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 $Q$ 坐标；若不存在，请说明理由．

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10、在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} - 4 x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ， $B$ （点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且点 $A$ 的坐标为 $(- 5, 0)$ ．

(1)、求点 $C$ 的坐标；

(2)、如图1，若点 $P$ 是第二象限内抛物线上一动点，求点 $P$ 到直线 $A C$ 距离的最大值；

(3)、如图2，若点 $M$ 是抛物线上一点，点 $N$ 是抛物线对称轴上一点，是否存在点 $M$ 使以 $A$ ， $C$ ， $M$ ， $N$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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11、已知点 $P (m, n)$ 在函数 $y = - \frac{2}{x} (x < 0)$ 的图象上．

(1)、若 $m = - 2$ ，求n的值；

(2)、抛物线 $y = (x - m) (x - n)$ 与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E．
①m为何值时，点E到达最高处；
②设 $△ G M N$ 的外接圆圆心为C， $⊙ C$ 与y轴的另一个交点为F，当 $m + n \neq 0$ 时，是否存在四边形 $F G E C$ 为平行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由．

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12、如图，一条抛物线 $y = a x^{2} + b x$ 经过 $△ O A B$ 的三个顶点，其中 $O$ 为坐标原点，点 $A (3, - 3)$ ，点 $B$ 在第一象限内，对称轴是直线 $x = \frac{9}{4}$ ，且 $△ O A B$ 的面积为18

(1)、求该抛物线对应的函数表达式；

(2)、求点 $B$ 的坐标；

(3)、设 $C$ 为线段 $A B$ 的中点， $P$ 为直线 $O B$ 上的一个动点，连接 $A P$ ， $C P$ ，将 $△ A C P$ 沿 $C P$ 翻折，点 $A$ 的对应点为 $A_{1}$ ．问是否存在点 $P$ ，使得以 $A_{1}$ ， $P$ ， $C$ ， $B$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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13、如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 经过 $A (- 1, 0), C (0, 3)$ 两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．

(1)、求该抛物线的表达式；

(2)、若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求 $M H + D H$ 的最小值；

(3)、若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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14、抛物线 $y = a x^{2} - \frac{3}{2} x - 2$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1, 0)$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $P$ 是第四象限内抛物线上的一点．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图 $1$ ，过 $P$ 作 $P D ⊥ x$ 轴于点 $D$ ，交直线 $B C$ 于点 $E$ ．设点 $D$ 的横坐标为 $m$ ，当 $P E = \frac{\sqrt{5}}{2} B E$ 时，求 $m$ 的值；

(3)、如图 $2$ 点 $F (1, 0)$ ，连接 $C F$ 并延长交直线 $P D$ 于点 $M$ ，点 $N$ 是 $x$ 轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下， $x$ 轴上是否存在一点 $H$ ，使得以 $F$ ， $M$ ， $N$ ， $H$ 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点 $H$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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15、在人教版八年级下册教材“实验与探究——丰富多彩的正方形”中，我们研究正方形的性质时用到了图①、图②两个图形，图②为大小不等的两个正方形如图排列，整个图形被切割为5部分，受这两个图形的启发，三个数学兴趣小组分别提出了以下问题，请你回答：

(1)、【问题一】“启智”小组提出问题：如图①，正方形 $A B C D$ 的对角线相交于点 $O$ ，点 $O$ 又是正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} O$ 的一个顶点， $O A_{1}$ 交 $A B$ 于点 $E$ ， $O C_{1}$ 交 $B C$ 于点 $F$ ，则 $A E$ 与 $B F$ 的数量关系为；

(2)、【问题二】受图①启发，“善思”小组继续探究，画出了图③：直线 $m$ 、 $n$ 经过正方形 $A B C D$ 的对称中心 $O$ ，直线 $m$ 分别与 $A D$ 、 $B C$ 交于点 $E$ 、 $F$ ，直线 $n$ 分别与 $A B 、 C D$ 交于点 $G 、 H$ ，且 $m ⊥ n$ ，若正方形 $A B C D$ 边长为10，求四边形 $O E A G$ 的面积；

(3)、【问题三】受图②启发，“智慧”小组继续探究，画出了图④：正方形 $C E F G$ 的顶点 $G$ 在正方形 $A B C D$ 的边 $C D$ 上，顶点 $E$ 在 $B C$ 的延长线上，且 $B C = 12$ ， $C E = 4$ ．在直线 $B E$ 上是否存在点 $P$ ，使 $△ A P F$ 为直角三角形？若存在，请直接写出 $B P$ 的长度；若不存在，说明理由．

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16、如图1，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，点O在边 $B C$ 上，以O为圆心 $B O$ 为半径作 $⊙ O$ ， $⊙ O$ 与射线 $B D$ 的另一个交点为E，直线 $C E$ 与射线 $A D$ 交于点F．

(1)、设 $B O = x$ ， $B E = y$ ，求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围；

(2)、如图2，连接 $A O$ ，当 $A O ∥ C E$ 时，请求出 $⊙ O$ 的半径；

(3)、如果射线 $E C$ 与 $⊙ O$ 的另一个交点为Q，连接 $O Q$ ，问是否存在 $△ C O Q$ 为直角三角形，若存在，请直接写出 $R t △ C O Q$ 的面积；若不存在，请说明理由．

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17、如图，在平面直角坐标系中，点 $A (- 1, 0)$ 、 $B (0, 3)$ 在抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 上，该抛物线的顶点为 $C$ ．点 $P$ 为该抛物线上一点，其横坐标为 $m$ ．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、当 $B P ⊥ y$ 轴时，求 $△ B C P$ 的面积；

(3)、当该抛物线在点A与点P之间（包含点A和点P）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值时时，求出m的取值范围并写出这个定值；

(4)、在抛物线对称轴上是否存在一点E，使 $△ A B E$ 是以 $A B$ 为斜边的直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

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18、如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 过点 $(- 2, - 5)$ 和 $(2, 3)$ ．

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、已知该抛物线与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．
①若点P是该抛物线位于第一象限部分上的一动点，过点P作x轴的垂线交 $B C$ 于点Q，求 $P Q$ 的最大值及此时点P的坐标；
②若点M是抛物线对称轴上一动点，是否存在以点B，C，M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请在备用图上画出符合条件的图形，并求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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19、在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线 $L_{1}$ ： $y = - \frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x + 2$ 交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线 $L_{2}$ 与 $L_{1}$ 是“共根抛物线”，其顶点为P．

(1)、若抛物线 $L_{2}$ 经过点 $(1, - 5)$ ，求抛物线 $L_{2}$ 对应的函数关系式；

(2)、当 $△ B P C$ 的周长最小时，求抛物线 $L_{2}$ 对应的函数关系式；

(3)、是否存在以点A，C，P为顶点的三角形是以 $A C$ 为直角边的直角三角形？若存在，求出抛物线 $L_{2}$ 对应的函数关系式；若不存在，请说明理由．

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20、如图，一次函数 $y = k x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{k_{1}}{x}$ 交于 $A (1, 4)$ 、 $B (4, m)$ 两点，延长 $A O$ 交反比例函图象于点 $C$ ，连接 $O B$ ．

(1)、求一次函数与反比例函数表达式．

(2)、求 $△ A O B$ 的面积．

(3)、在x轴上是否存在点P，使得 $△ P A C$ 是直角三角形？若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由．

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