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1、比较大小： $2 \sqrt{3}$ $\sqrt{15}$ （填“ $>$ ”“ $<$ ”或“ $=$ ”）．

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2、分式方程 $\frac{2}{x + 1} = \frac{1}{x - 1}$ 的解为（）

A、x = 1 B、x = 2 C、x = 3 D、x = - 1

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3、如图所示几何体的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4、下列图形是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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5、[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如： $\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$ ， $(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1) = 2$ ，我们称 $\sqrt{2}$ 和 $\sqrt{2}$ 互为有理化因式， $\sqrt{3} + 1$ 和 $\sqrt{3} - 1$ 互为有理化因式．
问题1：

(1)、 $\sqrt{7}$ 的有理化因式是______________（写出一个即可）；

(2)、 $3 - \sqrt{3}$ 的有理化因式是______________（写出一个即可）；

(3)、[材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子和分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
问题2：利用分母有理化化简下列式子： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \dots \dots + \frac{1}{\sqrt{2026} + \sqrt{2025}}$ ；

(4)、[材料三]与分母有理化类似，将代数式分子和分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化．例如： $\sqrt{3} - \sqrt{2} = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} + \sqrt{2})}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ ；
问题3：试利用分子有理化比较 $\sqrt{12} - \sqrt{11}$ 和 $\sqrt{11} - \sqrt{10}$ 的大小．

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6、在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 1$ ， $B C = 2$ ， $A B$ 的长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{6}$

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7、定义：若二次根式 $a + 2 \sqrt{b}$ 可以写成 ${(\sqrt{m} + \sqrt{n})}^{2}$ 的形式（其中a、b、m、n为非负常数），则称 $a + 2 \sqrt{b}$ 为完整根式， $\sqrt{m} + \sqrt{n}$ 是 $a + 2 \sqrt{b}$ 的完整平方根，例如：∵ $8 + 2 \sqrt{15} = {(\sqrt{5} + \sqrt{3})}^{2}$ ， ∴ $8 + 2 \sqrt{15}$ 是完整根式， $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ 是 $8 + 2 \sqrt{15}$ 的完整平方根．

(1)、若完整根式 $a + 2 \sqrt{b}$ 的完整平方根为 $\sqrt{m} + \sqrt{n}$ ， a、b、m、n为非负有理数，请用含m、n的代数式表示a和b；

(2)、若 $a + 2 \sqrt{21} = {(\sqrt{3} + \sqrt{n})}^{2}$ ，且a、n为正整数，则 $a =$ ______；

(3)、试判断 $\sqrt{2} + \sqrt{5}$ 是否是完整根式 $7 + 2 \sqrt{10}$ 的完整平方根，并说明理由．

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8、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D = B C$ ， $A E ⊥ B D$ ， $C F ⊥ B D$ ，垂足分别为 $E 、 F$ ， $D F = B E$ ．求证：

(1)、 $△ A D E ≌ △ C B F$ ；

(2)、四边形 $A B C D$ 是平行四边形．

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9、如图，为推进绿色亚运城市建设，广州市某低碳大厦在矩形屋顶中安装了两块正方形的光伏发电板 $A$ ， $B$ ，两块光伏发电板沿屋顶长边恰好并排排列，其面积分别为 $18 m^{2}$ 和 $32 m^{2}$ ．

(1)、光伏发电板 $A$ ， $B$ 的边长分别为_____ $m$ ， _____ $m$ ；（用最简二次根式表示）

(2)、计算屋顶中未利用区域（阴影部分）的面积．

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10、如图，在 $▱ A B C D$ 中，点E、F分别在 $A D$ 、 $B C$ 上， $O B = O D, E F$ 交 $B D$ 于点 $O$ ．求证 $A E = C F$ ．

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11、如图，在 $3 \times 6$ 的网格中，每个小正方形边长为 $1$ ．请按要求作图，使得顶点均在格点上．

(1)、在图①中画 $△ A B C$ ，使得 $A B = A C$ ， $∠ A = 90 °$ ；

(2)、在图②中画线段 $D E$ ，使得 $D E = 2 \sqrt{5}$ ，此时 $∠ D E F =$ _________ $°$ ．

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12、计算：

(1)、 $2 \sqrt{8} + \frac{1}{3} \sqrt{18} - \frac{3}{4} \sqrt{32}$ ；

(2)、 $\sqrt{24} \times \sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{48} \div (\sqrt{12} - \sqrt{3})$ ．

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13、如图，点A在直线 $M N$ 上，以A为顶点，在直线 $M N$ 的上方作菱形 $A B C D$ ．若 $A B = 6$ ， $∠ C = 120 °$ ，则点C到直线 $M N$ 的最大距离是．

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14、如图，在等边 $△ A B C$ 中，D是 $A B$ 的中点，E是 $C B$ 延长线上的一点，且 $∠ B D E = 30 °$ ， $D M ⊥ B C$ ，垂足为M， $D M = 2$ ，则 $E C =$ ．

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15、风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下（如图①）．风铎的底部可抽象为正六边形 $A B C D E F$ （如图②），连接 $A C$ ．则 $∠ A C B =$ ．

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16、如图，在直角三角形 $A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $B C = 3$ ， $A C = 4$ ， D为直线 $A C$ 上一个动点，连接 $B D$ ．将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 折叠，若点A恰好落在直线 $B C$ 上的点E处，连接 $D E$ ，则 $C D$ 的长为．

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17、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = 8$ ， $B D = 20$ ，则 $B C$ 的长为（）

A、10 B、 $4 \sqrt{13}$ C、12 D、2

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18、如图，在 $Rt △ A B C$ 中，点D，E分别为 $B C$ ， $A C$ 的中点，若 $A E = 8$ ， $B D = 10$ ，则 $A B$ 的长为（）

A、18 B、16 C、14 D、12

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19、在图示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的三个实数相乘得出的结果都一样，则两个空格中的实数之积为（）
$2 \sqrt{3}$
1
3
$\sqrt{6}$
2
6
$\sqrt{3}$

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、6 D、 $6 \sqrt{3}$

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20、图1所示是某教学楼的楼梯扶手侧面图，将扶手最上方的形状抽象成图2所示的平行四边形 $A B C D$ ，其中 $∠ A + ∠ C = 200 °$ ，则 $∠ B$ 的度数为（）

A、 $130 °$ B、 $100 °$ C、 $80 °$ D、 $70 °$

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$2 \sqrt{3}$	1
3	$\sqrt{6}$	2
	6	$\sqrt{3}$