相关试卷

1、已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a$ ， $b$ ， $c$ 为常数， $a \neq 0$ ）， $c < - 1$ ，抛物线与 $x$ 轴相交于点 $A$ 和点 $B$ （点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴相交于点 $C$ ．

(1)、若 $b - 4 a = 0$ ，点 $A$ 的坐标为 $(- 5, 0)$ ，点 $C$ 的坐标为 $(0, - 5)$ ．
①求该抛物线的解析式和顶点坐标；
②过点 $C$ 作 $C D ⊥ A C$ 交抛物线于点 $D$ ，点 $E$ 为 $x$ 轴下方对称轴上一动点，当 $△ D E B$ 为等腰三角形时，求点 $E$ 的坐标：

(2)、若 $a = \frac{1}{3}$ ， $O B = O C$ ，连接 $B C$ ，点 $M$ 和点 $N$ 为直线 $B C$ 上的两个动点（点 $N$ 在点 $M$ 的右侧）， $M N = \sqrt{2}$ ，点 $F$ 为直线 $B C$ 下方抛物线上的一个点，点 $F$ 的横坐标为 $1$ ，连接 $A M$ ， $N F$ ，当 $A M + N F$ 的最小值等于 $5$ 时，求 $c$ 的值．

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2、将一个矩形纸片 $O A B C$ 放置在平面直角坐标系中，点 $O (0, 0)$ ，点 $A (\sqrt{3}, 1)$ ，点B在y轴的正半轴上．

(1)、填空：如图①，点B的坐标为_________，点C的坐标为_________；

(2)、若P为边 $C B$ 上一动点，过点P作直线 $l ⊥ x$ 轴，交 $C O$ 于点Q，沿直线l折叠该纸片，折叠后点C的对应点为点 $C^{'}$ ．设 $C P = t$ ．
①如图②，当折叠后 $△ P C^{'} Q$ 与矩形 $O A B C$ 重叠部分为四边形时， $P C^{'}$ 与 $A B$ 相交于点F， $Q C^{'}$ 与 $A B$ 相交于点E．试用含有t的式子表示线段 $E F$ 的长，并直接写出t的取值范围；
②设折叠后重叠部分的面积为S，当 $\frac{2}{3} \leq t \leq \frac{5}{3}$ 时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．

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3、已知乐乐的家、文具店、文化广场、学校依次在同一条直线上，文具店离家 $600 m$ ，学校离家 $1200 m$ ．放学后，乐乐从学校出发，匀速骑行了 $6 min$ 到家，到家后发现忘了买作业本，于是立刻离开家，匀速步行了 $10 min$ 到文具店，在文具店停留 $4 min$ 后，再用 $5 min$ 匀速跑步返回家．下面图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中乐乐离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：

(1)、①填表∶
乐乐离开学校的时间 $/ \min$
1
6
10
20
乐乐离家的距离 $/m$

0

②填空：乐乐从文具店返回家的速度为_________ $m/min$ ；
③当 $0 \leq x \leq 20$ 时，请直接写出乐乐离家的距离y关于时间x的函数解析式；

(2)、乐乐从学校出发 $10min$ 的时候，乐乐的奶奶从离家 $800m$ 的文化广场步行回家，步行的速度为 $40m/min$ ，那么在这个过程中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）

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4、综合与实践活动中，要用测角仪测量一座桥的桥塔AB的高度（如图①）．
某学习小组设计了一个方案：如图②，点E，D，C依次在同一条水平直线上， $E D = 80 m ， E C ⊥ A B$ ，垂足为C．在D处测得桥塔顶部A的仰角（ $∠ C D A$ ）为 $66 °$ ，测得桥塔底部B的俯角（ $∠ C D B$ ）为 $25 °$ ，又在E处测得桥塔顶部A的仰角（ $∠ C E A$ ）为 $37 °$ ．

(1)、求桥上部分 $A C$ 的高度；

(2)、求桥塔 $A B$ 的高度（结果取整数）．参考数据： $\tan 25 ° \approx 0.47$ ， $\tan 37 ° \approx 0.75$ ， $\tan 66 ° \approx 2.25$ ．

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5、为了解某社区家庭每月的用水量（单位：t），随机调查了该社区a个家庭，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：

(1)、填空：a的值为________，图①中m的值为________，统计的这组家庭每月的用水量数据的众数和中位数分别为________和________；

(2)、求统计的这组家庭每月的用水量数据的平均数；

(3)、根据样本数据，若该社区共有2000个家庭，估计该社区家庭每月的用水量不超过15t的家庭数约为多少？

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6、如图，在矩形 $A B C D$ 中，点E在边 $A B$ 上，点F在边 $B C$ 上，四边形 $D E F G$ 是正方形．
（1） $∠ E C B$ 的度数为；
（2）若 $A E = 2$ ， $E B = 3$ ，点Q为 $D G$ 的中点，连接 $F Q$ ，则线段 $F Q$ 的长为．

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7、将直线 $y = 3 x - 2$ 向下平移1个单位长度后经过点 $(m, 0)$ ，则m的值为．

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8、计算 $x y + 3 x y - 2 x y$ 的结果为．

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9、不透明袋子中装有一些球，其中有9个红球、4个黄球、5个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为．

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10、如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数 $y = a x^{2} + b x$ （ $a < 0$ ）刻画，斜坡可以用一次函数 $y = \frac{1}{2} x$ 刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表：
x
0
1
2
m
4
5
6
…
y
0
$\frac{7}{2}$
6
$\frac{15}{2}$
8
$\frac{15}{2}$
n
…
有下列结论：
① $m = 3 ， n = 6$ ；
②当小球飞行的水平距离为2米时，小球距离斜坡的高度为6米；
③小球的落点A距离斜坡起点O的水平距离为7米；
④小球在飞行的过程中与斜坡的最大高度差为 $6.5$ 米．
其中，正确结论的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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11、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， A C = B C = 2 \sqrt{2}$ ，点 $D$ 是边 $A C$ 的中点，连接 $B D$ ，将 $△ B C D$ 绕点 $B$ 顺时针旋转得到 $△ B E F$ （ $B F$ 在 $B C$ 的右侧），点 $C ， D$ 的对应点分别为 $E ， F$ ，连接 $C F$ ，且 $C F ∥ A B$ ，下列结论错误的是（）．

A、 $E F = \sqrt{2}$ B、 $C F = 2 + \sqrt{6}$ C、 $△ C B F$ 是等腰三角形 D、点 $F$ 的运动轨迹是以点 $B$ 为圆心，以 $B D$ 长为半径的圆

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12、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 2 ∠ B$ ．按以下步骤作图：①以点A为圆心， $A C$ 长为半径画弧，与边 $B C$ 相交于点D；②分别以点C，D为圆心，大于 $\frac{1}{2} C D$ 的长为半径画弧（弧所在圆的半径相等），两弧在 $∠ C A B$ 的内部相交于点E；③作射线 $A E$ ，与边 $B C$ 相交于点F．若 $B C = 11, C F = 3$ ，则 $A F$ 的长为（）

A、4 B、 $3 \sqrt{3}$ C、3 D、 $\sqrt{13}$

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13、计算 $\frac{2 x}{x^{2} - 1} - \frac{1}{x - 1}$ 的结果是（）

A、1 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{x - 1}$ D、 $\frac{1}{x + 1}$

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14、《算法统宗》是我国明代著名的民间数学典籍，其中有一道题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，大和尚每人分3个馒头，小和尚每3人分1个馒头，恰好分完，问大、小和尚各有多少人？设大和尚有x人，小和尚有y人，则可以列出的方程组为（）

A、 $\{\begin{matrix} x + y = 100 \\ 3 x + \frac{y}{3} = 100 \end{matrix}$ B、 $\{\begin{matrix} x + y = 100 \\ \frac{x}{3} + 3 y = 100 \end{matrix}$ C、 $\{\begin{matrix} 3 x + y = 100 \\ x + \frac{y}{3} = 100 \end{matrix}$ D、 $\{\begin{matrix} x + y = 100 \\ 3 x + 3 y = 100 \end{matrix}$

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15、 $2 \tan 30 ° + \frac{\sqrt{3}}{3}$ 的值等于（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{7 \sqrt{3}}{3}$

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16、据2026年4月7日《天津日报》报道，市商务局重点监测的468家商贸流通企业，清明假期3天累计销售额达1030000000元．将数据1030000000用科学记数法表示应为（）

A、 $0.103 \times 10^{10}$ B、 $1.03 \times 10^{9}$ C、 $10.3 \times 10^{2}$ D、 $103 \times 10^{7}$

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17、在一些中国新能源汽车品牌的标志中，有的标志是轴对称图形．下面4个标志中，可以看作是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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18、如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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19、计算 $6 - (- 2)$ 的结果等于（）

A、 $- 4$ B、 $4$ C、 $- 8$ D、 $8$

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20、【阅读理解问题】观察：利用平方差公式进行计算： $(2 - 1) (2 + 1) (2^{2} + 1) (2^{4} + 1)$
解：原式 $= (2^{2} - 1) (2^{2} + 1) (2^{4} + 1)$
$= (2^{4} - 1) (2^{4} + 1)$
$= 2^{8} - 1$ ．

(1)、基础运用计算： $(1 + 2) (1 + 2^{2}) (1 + 2^{4}) (1 + 2^{8}) (1 + 2^{16}) + 1 =$ _________；

(2)、拓展运用计算：
① $(1 + \frac{1}{2}) (1 + \frac{1}{2^{2}}) (1 + \frac{1}{2^{4}}) (1 + \frac{1}{2^{8}}) + \frac{1}{2^{15}}$ ；
② $3 \times (2^{2} + 1) (2^{4} + 1) (2^{8} + 1) (2^{16} + 1) (2^{32} + 1) (2^{64} + 1)$ ．

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乐乐离开学校的时间 $/ \min$	1	6	10	20
乐乐离家的距离 $/m$		0

x	0	1	2	m	4	5	6	…
y	0	$\frac{7}{2}$	6	$\frac{15}{2}$	8	$\frac{15}{2}$	n	…