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1、张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n
2
3
4
5
…
a
$2^{2} - 1$
$3^{2} - 1$
$4^{2} - 1$
$5^{2} - 1$
···
b
4
6
8
10
···
C
$2^{2} + 1$
$3^{2} + 1$
$4^{2} + 1$
$5^{2} + 1$
···

(1)、请你分别观察a，b，c与n 之间的关系，并用含自然数n(n>1)的代数式表示：a= ， b= ， c=.

(2)、猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形?证明你的猜想.

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2、古希腊的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…，这样的数称为“三角形数”，把1，4，9，16，…，这样的数称为“正方形数”.“三角形数”和“正方形数”之间存在如图所示的关系：即两个相邻的“三角形数”的和为一个“正方形数”.则下列等式符合以上规律的是（）.

A、6+15=21 B、36+45=81 C、9+16=25 D、30+34=64

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3、观察下列顺序排列的等式： $3^{2} + 4^{2} = 5^{2}, 5^{2} + 1 2^{2} = 1 3^{2}, 7^{2} + 2 4^{2} = 2 5^{2}, 9^{2} + 4 0^{2} = 4 1^{2}, \dots$ 根据以上规律写出第7个等式：.

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4、图1，图2均为正方形网格，每个小正方形的边长均为1，各个小正方形的顶点叫作格点，请在下面的网格中按要求分别画图，使得每个图形的顶点均在格点上.

(1)、画一个边长均为整数的等腰三角形，且面积等于12.

(2)、画一个直角三角形，且三边长为 $\sqrt{5}, 2 \sqrt{5}, 5,$ 并直接写出这个三角形的面积.

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5、如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”.下列各组数据中，能作为一个智慧三角形边长的一组是( ).

A、1，2，3 B、 $1,1, \sqrt{2}$ C、 $1,1, \sqrt{3}$ D、 $1,2, \sqrt{3}$

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6、若 $\sqrt{11 - 6 \sqrt{2}}$ 的整数部分为a，小数部分为b，求 $a + b + \frac{2}{b}$ 的值.

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7、设a为 $\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}}$ 的小数部分，b为 $\sqrt{6 + 3 \sqrt{3}} - \sqrt{6 - 3 \sqrt{3}}$ 的小数部分，求 $\frac{2}{b} - \frac{1}{a}$ 的值.

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8、代数式 $\sqrt{8 + \sqrt{63}} + \sqrt{8 - \sqrt{63}}$ 的值是.

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9、已知x，y均为有理数，且满足 $\sqrt{9 + 4 \sqrt{2}} = x + 2 \sqrt{y},$ 则 $\sqrt[3]{2 x - y} =$

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10、若 $\sqrt{{(x + 3)}^{2} + y^{2}} + \sqrt{{(x - 3)}^{2} + y^{2}} = 10,$ 则 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = .$

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11、若 $a + \frac{1}{a} = 4 (0 < a < 1),$ 则 $\sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}} =$

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12、已知a，b为有理数，且满足等式 $a + \sqrt{3} b = \sqrt{6} \times \sqrt{1 + \sqrt{4 + 2 \sqrt{3}}},$ 则a+b的值为( ).

A、2 B、4 C、6 D、8

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13、化简： $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} =$ ， $\frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{5}} =$ ， $\sqrt{7 - \sqrt{48}} =$

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14、已知 $x = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}, y = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}},$ 求 $\frac{x}{y^{2}} + \frac{y}{x^{2}}$ 的值.

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15、已知 $x = \frac{1}{\sqrt{2020} - \sqrt{2019}},$ 则 $x^{6} - 2 \sqrt{2019} x^{5} - x^{4} + x^{3} - 2 \sqrt{2020} x^{2} + 2 x -$ $\sqrt{2020}$ 的值为( ).

A、0 B、1 C、 $\sqrt{2019}$ D、 $\sqrt{2020}$

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16、阅读材料：
黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌.这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比.在二次根式中也有这样相辅相成的“对子”.如： $(2 + \sqrt{3}) \times (2 - \sqrt{3}) =$ $1, (\sqrt{5} + \sqrt{2}) \times (\sqrt{5} - \sqrt{2}) = 3,$ 它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式.于是，二次根式除法可以这样解：如 $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} =$ $\frac{(2 + \sqrt{3}) \times (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3}) \times (2 + \sqrt{3})} = 7 + 4 \sqrt{3} .$ 像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫作分母有理化.
解决问题：

(1)、 $4 + \sqrt{7}$ 的有理化因式是；将 $\frac{2}{3 \sqrt{2}}$ 分母有理化得.

(2)、计算： $① \frac{1}{2 + \sqrt{3}} + \sqrt{27} - 6 \sqrt{\frac{1}{3}};$
$② (\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2010} + \sqrt{2009}} \times (\sqrt{2010} + 1) .$

(3)、已知 $x = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}, y = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}},$ 求 $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ 的值.

(4)、已知 $a = \sqrt{2006} - \sqrt{2005}, b = \sqrt{2007} - \sqrt{2006}, c = \sqrt{2008} - \sqrt{2007}$ 求a，b，c三者的，大小关系.

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17、观察下列各式： $\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2}{3}}, \sqrt{\frac{1}{2} \times (\frac{1}{3} - \frac{1}{4})} = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{3}{8}}, \sqrt{\frac{1}{3} \times (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})} =$ $\frac{1}{4} \sqrt{\frac{4}{15}} .$ 用n(n为任意的自然数，且 $n \geq 2)$ 表示的等式为 .

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18、在草稿纸上计算 $\sqrt{11 - 2 \times 1}$ ， $\sqrt{1111 - 2 \times 11}$ ， $\sqrt{111111 - 2 \times 111}$ 观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值： $\sqrt{\underset{2 n 个 1}{\underset{︸}{11 … 1}} - 2 \times \underset{n 个 1}{\underset{︸}{11 … 1}}} =$ .

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19、观察下面的式子：
$S_{1} = 1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}, S_{2} = 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}, S_{3} = 1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}, \dots S_{n} = 1 + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} .$

(1)、计算： $\sqrt{S_{1}} =_{,}$ ， $\sqrt{S_{3}} =_{;}$ ；猜想 $\sqrt{S_{n}} =$ (用n的代数式表示).

(2)、计算： $S = \sqrt{S_{1}} + \sqrt{S_{2}} + \sqrt{S_{3}} + \dots + \sqrt{S_{n}}$ (用n的代数式表示).

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20、如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒π个单位，大圆的运动速度为每秒2π个单位．
（1）若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是　　；
（2）若小圆不动，大圆沿数轴来回滚动，规定大圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）：﹣1，+2，﹣4，﹣2，+3，﹣8
①第几次滚动后，大圆离原点最远？
②当大圆结束运动时，大圆运动的路程共有多少？此时两圆与数轴重合的点之间的距离是多少？（结果保留π）
（3）若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距9π，求此时两圆与数轴重合的点所表示的数．

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n	2	3	4	5	…
a	$2^{2} - 1$	$3^{2} - 1$	$4^{2} - 1$	$5^{2} - 1$	···
b	4	6	8	10	···
C	$2^{2} + 1$	$3^{2} + 1$	$4^{2} + 1$	$5^{2} + 1$	···