相关试卷

1、下面是探究性学习小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解：
甲： $x^{2} - x y + 4 x - 4 y$
$= (x^{2} - x y) + (4 x - 4 y)$ （分成两组）
$= x (x - y) + 4 (x - y)$ （提公因式）
$= (x - y) (x + 4) ，$ （提公因式）
乙： $a^{2} - b^{2} - c^{2} + 2 b c$
$= a^{2} - (b^{2} + c^{2} - 2 b c)$ （分成两组）
$= a^{2} - {(b - c)}^{2}$ （运用公式）
$= (a + b - c) (a - b + c)$ （运用公式）
请你在他们的解法的启发下，解答下面各题：

(1)、已知 $a - b = 3 ， b - c = - 4$ ，求式子 $a^{2} - a c - a b + b c$ 的值；

(2)、已知 $a ， b ， c$ 为等腰 $△ A B C$ 的三边长，且满足 $a^{2} + b^{2} = 20 a + 24 b - 244$ ，求等腰 $△ A B C$ 的周长．

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2、解分式方程：

(1)、 $\frac{x}{x - 1} - 1 = \frac{3}{(x - 1) (x + 2)}$

(2)、 $\frac{5}{x^{2} + x} - \frac{1}{x^{2} - x} = 0$

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3、分解因式：
（1）x（x﹣2）﹣3（2﹣x）；
（2）﹣3a²＋6ab﹣3b² ．

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4、解不等式组并在数轴上表示出它的解集：
$\{\begin{matrix} \frac{3 x - 5}{2} \leq \frac{3 - x}{3} - 2 \\ 1 - 3 (x - 1) < 8 - x \end{matrix}$

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5、对于两个非零的实数x、y，定义运算“ $\oplus$ ”如下： $x \oplus y ＝ \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ ，例如： $3 \oplus 4 = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12}$ ，若 $a \oplus b = 3$ ，则 $\frac{a + b}{a b}$ 的值为．

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6、如果关于 $x$ 的二次三项式 $x^{2} + (2 k + 4) x + k^{2}$ 是完全平方式，则 $k$ 的值是．

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7、若关于x的一元一次不等式组 $\{\begin{matrix} 4 x + 10 > k \\ 1 - x \geq 0 \end{matrix}$ 有且只有四个整数解，则符合条件的所有整数k的和为（）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、2 D、0

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8、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A B = 10$ ， $A D = 8$ ，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ， $A C ⊥ B C$ ，则 $B D$ 的长为（）

A、18 B、 $2 \sqrt{73}$ C、 $\sqrt{73}$ D、 $2 \sqrt{55}$

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9、如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ AB长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，交BC于点D，交AB于点E，连接AD．若△ABC的周长等于16，△ADC的周长为9，那么线段AE的长等于（）.

A、3 B、3.5 C、5 D、7

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10、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 均为实数，若 $a > b$ ， $c \neq 0$ ．下列结论不一定正确的是（）

A、 $a + c > b + c$ B、 $c - a > c - b$ C、 $\frac{a}{c^{2}} > \frac{b}{c^{2}}$ D、 $a c^{2} > b c^{2}$

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11、很多优美的图案可以通过旋转得到，下列图案中，可以由一个“基本图案”连续旋转 $45 °$ 得到的是（）

A、 B、 C、 D、

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12、【问题背景】如图1，已知射线 $O C$ 在 $∠ A O B$ 的内部，若 $∠ A O B$ ， $∠ A O C$ 和 $∠ B O C$ 三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线 $O C$ 是 $∠ A O B$ 的“量尺金线”．
【问题感知】
（1）一个角的平分线__________这个角的“量尺金线”；（填“是”或“不是”）
【问题初探】
（2）如图2， $∠ M P N = 60^{°}$ ．若射线 $P Q$ 是 $∠ M P N$ 的“量尺金线”，求 $∠ Q P N$ 的度数．
【问题推广】
（3）在（2）中，若 $∠ M P N = x^{°}$ ， $0^{°} < x \leq 60^{°}$ ，射线 $P F$ 从 $P N$ 位置开始，以每秒旋转 $3 °$ 的速度绕点 $P$ 按逆时针方向旋转，当 $∠ F P N$ 首次等于 $180^{°}$ 时停止旋转，设旋转的时间为 $t (s)$ ．请直接写出当 $t$ 为何值时，射线 $P M$ 是 $∠ F P N$ 的“量尺金线”？（用含 $x$ 的式子表示出 $t$ 即可）

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13、小明不小心将作业本上一个正确的演算过程擦掉了一块，且擦掉的部分是多项式，过程如下所示，设擦掉的多项式为 $M$ ．
$2 (x - 5) -$ （） $= x^{2} + 8 x - 7$

(1)、求多项式 $M$ ；

(2)、已知 $N = 2 x^{2} + 3 a x$ ，若 $M + N$ 的结果中不含 $x$ 的一次项，求 $a$ 的值．

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14、 $2025$ 年粤港澳大湾区跨境交通升级，深港两条跨境专线巴士分别从深圳龙岗候机楼和香港尖沙咀同时出发、相向而行，两地相距 $90$ 公里．已知深圳出发的巴士速度比香港出发的巴士快 $10$ 千米 $/$ 时，经过 $1.5$ 小时两车在莲塘口岸相遇．求香港出发的巴士和深圳出发的巴士的速度各是多少？

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15、已知关于 $x$ 的方程 $(k - 2) x^{|k| - 1} + 2 m - 2 = 0$ 是一元一次方程．

(1)、求 $k$ 的值．

(2)、若关于 $x$ 的方程 $(k - 2) x^{|k| - 1} + 2 m - 2 = 0$ 与方程 $2 x = 6 - x$ 的解相同，求 $m$ 的值．

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16、为了解学生周末两天的读书时间，校团委随机调查了部分学生的读书时间x（单位：min），把统计数据分为四组A（ $30 \leq x < 60$ ），B（ $60 \leq x < 90$ ），C（ $90 \leq x < 120$ ），D（ $120 \leq x < 150$ ）．其中落在B组的数据为：85，60，70，75，65，78，80，62，75，78，85，76，80，70，65，72．根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图：
请根据以上信息，回答下列问题：

(1)、这次抽样调查的样本容量是______；

(2)、补全频数分布直方图；

(3)、扇形统计图中C组所对应的扇形圆心角度数为______度；

(4)、若本校七年级共有400人，请估计阅读时间（ $90 \leq x < 150$ ）的学生共有多少人？

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17、按要求完成作图

(1)、尺规作图：已知 $∠ α, ∠ β$ ，求作 $∠ A B C$ ，使得 $∠ A B C = ∠ α - ∠ β$ ．（不写作法，但要保留作图痕迹）

(2)、如图，延长线段 $A B$ 到点C，使得 $A C = 3 A B$ ．（保留作图痕迹，不写作法）

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18、解方程：

(1)、 $5 x = 3 (x - 4)$ ；

(2)、 $\frac{3 x + 2}{2} - \frac{2 x - 1}{4} = 1$ ．

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19、计算：

(1)、 $(\frac{1}{12} - \frac{1}{6} + \frac{3}{4}) \times 36$

(2)、 ${(- 2)}^{2} - | - 7 | + 3 - 2 \times (- \frac{1}{2})$

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20、如图 $1$ ，在长方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在 $A D$ 上，且 $∠ B E A = 55 °$ ，分别以 $B E$ 、 $C E$ 为折痕进行折叠并压平．如图 $2$ ，若 $∠ A^{'} E D^{'} = 16 °$ ，则 $∠ D E C$ 的度数为．

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