相关试卷

1、一次函数 $y_{1} = a x + b (a \neq 0)$ 的图象恒过定点 $(1, 1)$ ．

(1)、①若图象还经过 $(2, 3)$ ，求该一次函数的表达式．
②若当 $- 3 \leq x \leq 4$ 时，一次函数 $y_{1}$ 的最大值和最小值的差是6．求 $b$ 的值．

(2)、对于一次函数 $y_{2} = 2 x + a$ 当 $x > 0$ 时， $y_{1} < y_{2}$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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2、勾股定理的证明方法多种多样，我国古代数学家赵爽构造“弦图”证明了勾股定理，后人称其为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成．其中 $∠ A G B = ∠ D F A = ∠ C E D = ∠ B H C = 90^{\circ}$ ，连接 $A E$ 交 $B G$ 于点 $P$ ，连接 $B E$ ，得到图1．若 $∠ A B E = ∠ A E B$ ．

(1)、求证： $E F = D F$ ；

(2)、延长 $A E$ ，交 $B C$ 于点 $M$ ，若 $A B = 5$ ，求 $C M$ 的长．

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3、卫生防疫部门规定游泳池必须定期换水、清洗、我区某游泳池周六早上从 $8 : 00$ 打开排水孔开始排水，排水孔的排水速度保持不变，期间因清洗游泳池需要暂停排水，游泳池的水在 $11 : 30$ 全部排完．游泳池内的水量 $Q$ $(m^{3})$ 和开始排水后的时间 $t (h)$ 之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：

(1)、直接写出排水孔的排水速度，并求当 $2 \leq t \leq 3.5$ 时， $Q$ 关于 $t$ 的函数表达式．

(2)、排水多少小时后游泳池内存水量小于300立方米？

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4、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ A < 90 °$ ，点 $D$ ， $E$ ， $F$ 分别在边 $A B 、 B C$ ， $A C$ 上，连接 $D E$ ， $D F$ ， $E F$ ．点 $B$ 和点 $F$ 关于直线 $D E$ 对称，设 $\frac{B C}{A B} = k$ ，若 $A D = B D$ ，则 $\frac{F A}{F C} =$ （结果用含 $k$ 的代数式表示）．

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5、函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图象经过点 $A (1, 2), B (3, 0)$ ，则不等式 $0 < k x + b < 2 x$ 的解集为．

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6、已知 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), (x_{3}, y_{3})$ 为直线 $y = - 2 x + 1$ 上的三个点，且 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ ，则以下判断正确的是（）

A、若 $y_{1} y_{3} < 0$ ，则 $x_{1} x_{2} > 0$ B、若 $y_{1} y_{2} > 0$ ，则 $x_{2} x_{3} > 0$ C、若 $y_{2} y_{3} < 0$ ，则 $x_{1} x_{3} > 0$ D、若 $y_{2} y_{3} < 0$ ，则 $x_{1} x_{2} > 0$

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7、不等式组 $\{\begin{array}{l} x \leq a + 1 \\ x > 2 \end{array}$ 有3个整数解，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $4 \leq a < 5$ B、 $4 < a \leq 5$ C、 $5 < a \leq 6$ D、 $5 \leq a < 6$

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8、具备下列条件的 $△ A B C$ 中，不是直角三角形的是（）

A、 $∠ A + ∠ B = ∠ C$ B、 $∠ A = 2 ∠ B = 3 ∠ C$ C、 $∠ A - ∠ B = ∠ C$ D、 $A B : B C : A C = 5 : 12 : 13$

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9、“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图①，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $B D$ 为 $A C$ 边上的中线．将，其 $△ A B D$ 沿射线 $B C$ 的方向平移，得到 $△ E F G$ ，其中点 $A 、 B 、 D$ 的对应点分别为 $E 、 F 、 G$ ．如图②，当线段 $E F$ 经过点D时，连接 $D G 、 G C$ ，请判断四边形 $D F C G$ 的形状，并说明理由．
数学思考
（1）请回答老师提出的问题；
深入探究
（2）老师将图②中的 $△ E F G$ 绕点F按逆时针方向旋转得到 $△ P F Q$ ，其中点 $E 、 G$ 的对应点分别为 $P 、 Q$ ，线段 $P F 、 Q F$ 分别与边 $B D$ 交于点 $M 、 N$ ．如图③，当 $P Q ∥ B D$ 时，让同学们提出新的问题．“勤学小组”提出问题：试猜想线段 $P M$ 和 $F M$ 的数量关系，并证明．

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10、如图，已知在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 9, B C = 8$ ，点D在 $A B$ 上，且 $A D = 2 B D$ ，点P 在边 $B C$ 上，以每秒2个单位长度的速度由点B向点C运动，点Q在边 $A C$ 上，以每秒a 个单位长度的速度由点C向点A运动．是否存在某一时刻，使 $△ B P D$ 与 $△ C P Q$ 全等，若存在，求出a的值和相应的时刻；若不存在，请说明理由．

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11、2025年春晚《秧 $BOT$ 》的精彩呈现，是一系列关键技术的突破与创新．机器人采用了先进的 $AI$ 驱动全身运动控制技术，某科技公司计划生产 $Alpha$ 和 $Beta$ 两款 $AI$ 机器人，每款机器人主要控制芯片和传感器两种核心零件． $5$ 月 $20$ 日，公司采购部门调研市场后得知，花费 $320$ 元购买的主控芯片比花 $200$ 元购买的传感器模块数量少8片，主控芯片的单价是传感器模块的 $2$ 倍．另一部分人对机器人进行研究后发现：用 $6$ 个主控芯片、 $48$ 个传感器模块恰好能制作 $1$ 个 $Alpha$ 机器人和 $1$ 个 $Beta$ 机器人，制作 $1$ 个 $Alpha$ 机器人所需主控芯片、传感器模块数量之比是 $1 : 7$ ，制作 $1$ 个 $Beta$ 机器人需要的主控芯片、传感器模块数量之比是 $1 : 9$ ．

(1)、求主控芯片、传感器模块每个单价分别多少元？

(2)、求制作一个 $Alpha$ 机器人和一个 $Beta$ 机器人分别需要主控芯片、传感器模块多少个？

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12、把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
例如：①用配方法分解因式： $a^{2} + 6 a + 5$
原式 $= a^{2} + 6 a + 9 - 4 = {(a + 3)}^{2} - 4 = (a + 3 + 2) (a + 3 - 2) = (a + 5) (a + 1)$
②利用配方法求最小值：求 $a^{2} + 6 a + 5$ 最小值．
解： $a^{2} + 6 a + 5 = a^{2} + 2 a \cdot 3 + 3^{2} - 3^{2} + 5 = {(a + 3)}^{2} - 4$ ，因为不论 $x$ 取何值， ${(a + 3)}^{2}$ 总是非负数，即 ${(a + 3)}^{2} \geq 0$ ，所以 ${(a + 3)}^{2} - 4 \geq - 4$ ，所以当 $a = - 3$ 时， $a^{2} + 6 a + 5$ 有最小值，最小值是 $- 4$ ．
根据上述材料，解答下列问题：

(1)、填空： $x^{2} - 12 x +$ ________ $= (x -$ ________ $)^{2}$ ；

(2)、将 $x^{2} - 16 x + 5$ 变形为 ${(x + m)}^{2} + n$ 的形式，并求出 $x^{2} - 16 x + 5$ 的最小值；

(3)、若 $M = 7 a^{2} + 18 a + 10$ ， $N = 6 a^{2} + 24 a$ ，其中 $a$ 为任意实数，试比较 $M$ 与 $N$ 的大小，并说明理由．

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13、如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A (- 3, 3)$ ， $B (- 4, 0)$ ， $C (- 1, 1)$ ，请回答下列问题：

(1)、将 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点横坐标保持不变，纵坐标分别乘 $- 1$ ，所得的点分别记为 $D$ ， $E$ ， $F$ ；在平面直角坐标系中画出 $△ D E F$ ；并判断 $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 关于谁对称？

(2)、在平面直角坐标系中画出 $△ D E F$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ M N P$ （其中点 $D$ ， $E$ ， $F$ 的对称点分别为点 $M$ ， $N$ ；若点 $G (m, n)$ 是线段 $M N$ 上的任意一点，直接写出点 $G$ 在线段 $D E$ 上的对应点的坐标．

(3)、在 y 轴上确定一点Q，使 $A Q + C Q$ 的值最小．

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14、计算与分解因式

(1)、计算： ${(\frac{1}{4})}^{- 1} - {(π - 3)}^{0} - |- 3| + {(- 1)}^{2022}$

(2)、分解因式： ${(x^{2} + y^{2})}^{2} - 4 x^{2} y^{2}$ ．

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15、如图， $△ A B C$ 是等边三角形， $D$ 为边 $A C$ 的中点， $B D = 12 cm$ ， $P$ 为中线 $B D$ 上的动点，则 $P C + \frac{1}{2} P B$ 的最小值是．

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16、如图， $A M ⊥ M N$ 于 $M$ ，且 $M N : N C = 1 : 2$ ， $A N = A C$ ，若 $∠ N A C = 40 °$ ，则 $∠ M A N =$ ．

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17、如图， $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ ， $∠ A C B$ 的平分线交于点O， $∠ A C B$ 的外角平分线所在直线与 $∠ A B C$ 的平分线相交于点D，与 $∠ A B C$ 的外角平分线相交于点E，则下列4个结论一定正确的有（）个．
① $∠ B O C = 90 ° + \frac{1}{2} ∠ A$ ；② $∠ D = \frac{1}{2} ∠ A$ ；③ $∠ E = ∠ A$ ；④ $∠ E + ∠ D C F = 90 ° + ∠ A B D$ ．

A、1 B、2 C、3 D、4

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18、对于正数 $x$ ，规定 $f (x) = \frac{x}{1 + x}$ ，例如： $f (3) = \frac{3}{1 + 3} = \frac{3}{4}$ ， $f (\frac{1}{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{1}{4}$ ，则 $f (\frac{1}{2025}) + f (\frac{1}{2024}) + \dots + f (\frac{1}{2}) + f (1) + f (2) + \dots + f (2024) + f (2025)$ 的值为（）

A、2025 B、2024 C、 $2023.5$ D、 $2024.5$

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19、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = B C$ ， $D$ 是线段 $B C$ 上一点，连接 $A D$ ，过点 $A$ 作 $A E ⊥ A D$ ，且 $A E = A D$ ，连接 $E C$ 交 $A B$ 于点 $F$ ，若 $B D = 3.3$ ， $B F = 2.5$ ，则 $A B$ 的长度为（）

A、8.3 B、8.5 C、8.7 D、9.1

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20、若三角形的三边长分别为a，b，c，且满足 $a b - a c = b^{2} - b c$ ，则这个三角形一定是（）

A、直角三角形 B、等边三角形 C、锐角三角形 D、等腰三角形

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