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相关试卷

1、某校“综合与实践”活动小组的同学要测量 $A B$ ， $C D$ 两座楼之间的距离，他们设计如下方案：无人机在 $A B$ ， $C D$ 两楼之间上方的点 $O$ 处，点 $O$ 距地面 $A C$ 的高度为 $30 m$ ，此时观测到楼 $A B$ 底部点 $A$ 处的俯角为 $70 °$ ，楼 $C D$ 上点 $E$ 处的俯角为 $30 °$ ，沿水平方向由点 $O$ 飞行 $24 m$ 到达点 $F$ ，测得点 $E$ 处俯角为 $60 °$ ，其中点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ ， $O$ 均在同一竖直平面内．根据以上数据求楼 $A B$ 与 $C D$ 之间的距离 $A C$ 的长．（结果精确到 $1 m$ ．参考数据： $\sin 70 ° \approx 0.94$ ， $\cos 70 ° \approx 0.34$ ， $\tan 70 ° \approx 2.75$ ）
．

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2、数学综合实践研究小组用自制测角仪，完成了对榕树高度的测量．具体操作方案如下：

课题	制作测角仪，测量榕树的高度
制作及测量过程	（1）把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图1；（2）将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达榕树的最高点，如图2；（3）得出仰角 $α$ 的度数；（4）测出眼睛离地面的高度以及人到榕树底部的距离；（5）计算这棵榕树的高度．
测量示意图
测量数据	如图3，经测量眼睛离地面的高度 $A M = 1.6 m$ ，人到榕树底部的距离 $M N = 10 m$ ，测角仪上细线所对应的刻度为 $63^{\circ}$

请根据“方案”完成下列任务：

【任务一】（1） $α$ 的度数是________；

【任务二】（2）计算这棵榕树高度 $D N$ （结果保留整数）．

（参考数据： $sin 27^{\circ} \approx 0.45$ ， $cos 27^{\circ} \approx 0.89$ ， $tan 27^{\circ} \approx 0.51$ ）

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3、【阅读理解】在平行线的学习中，“两条平行线被第三条直线所截”是一个重要的“基本图形”．在这个“基本图形”中，所有与平行线有关的角都存在其中，并都分布在“第三条直线”的两侧．例如：如图，已知 $A B // C D$ ，点 $E$ 在直线 $A B$ 、 $C D$ 之间，当发现题目的图形“不完整”时，可通过添加适当的辅助线，将“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了“转化思想”．请解决下面的问题．
【学以致用】

(1)、如图，已知 $A B ∥ C D$ ，当 $∠ B = 30 °, ∠ D = 35 °$ ，求出 $∠ B E D$ 的度数．

(2)、如图1，若 $∠ A = 135 °, ∠ C = 130 °$ ，则 $∠ A E C =$ ___________ $°$ ；

(3)、①如图2，若 $A F$ 、 $C F$ 分别平分 $∠ B A E$ 和 $∠ D C E$ ，直接写出 $∠ E$ 与 $∠ F$ 的数量关系为___________；
②如图3，设 $∠ E = 135 °, ∠ B A F = \frac{1}{3} ∠ B A E, ∠ D C F = \frac{1}{3} ∠ D C E$ ，则 $∠ F =$ ___________ $°$ ．

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4、综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们“借助两条平行线 $P Q ， M N$ 和一副直角三角板”开展数学探究活动．即：已知直线 $P Q ∥ M N$ 和一副直角三角板．

(1)、如图1，小亮把一个三角板的直角顶点 $B$ 放在直线 $M N$ 上， $30^{°}$ 角的顶点 $C$ 放在直线 $P Q$ 上，若 $B O$ 平分 $∠ A B C$ ，求 $∠ C O N$ 的度数；

(2)、小明把一副三角板按如图2摆放，延长 $E D$ 交 $M N$ 于 $G ， D G$ 是 $∠ A D Q$ 的角平分线，则 $∠ A D Q =$ ______________ $^{°}$ ， $∠ D B G =$ ______________ $^{°}$ ．

(3)、在（2）的条件下，直角三角板 $△ A B C$ 和 $D G$ 固定不动，如图3，将直角三角板 $△ E D F$ 绕点 $D$ 以每秒 $5^{°}$ 的速度顺时针旋转，设旋转时间为 $t$ 秒 $(0 < t < 18)$ ，作DK平分 $∠ G D F$ ，当 $∠ A D K = 10^{°}$ 时，求 $t$ 的值．

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5、【阅读材料】
配方法是数学中一种重要的思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
①用配方法分解因式
例1：分解因式 $x^{2} + 4 x - 5$ ．
解： $x^{2} + 4 x - 5 = x^{2} + 4 x + 2^{2} - 2^{2} - 5$
$= {(x + 2)}^{2} - 9$
$= (x + 2 + 3) (x + 2 - 3)$
$= (x + 5) (x - 1)$
②用配方法求值
例2：已知 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 5 = 0$ ，求 $x + y$ 的值．
解：原方程可化为： $x^{2} - 2 x + 1 + y^{2} + 4 y + 4 = 0$ ，即 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 0$ ．
$∵ {(x - 1)}^{2} \geq 0$ ， ${(y + 2)}^{2} \geq 0$ ，
$∴ x = 1$ ， $y = - 2$ ，
$∴ x + y = - 1$ ．
请根据上述材料解决下列问题：

(1)、用配方法分解因式 $a^{2} - 2 a - 3$ ；

(2)、已知 $△ A B C$ 的三边长分别为 $a ， b ， c$ ，且 $a ， b$ 满足 $a^{2} + b^{2} - 8 a - 10 b + 41 = 0$ ，求边c的取值范围．

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6、综合与实践：

课题

制作一个尽可能大的无盖长方体形收纳盒

知识准备

（1）下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是；（填字母）

实践探索

嘉嘉在边长为 $a cm$ 的正方形纸板四个角各剪去一个边长为 $b cm$ 的小正方形并沿虚线折叠成一个无盖的长方体形收纳盒（图1）

b/ $cm$	1	2	3	4	5	6
V/ ${cm}^{3}$	324	512	588	576	500	384

图2

（2）任务1：当 $a = 10 cm$ ， $b = 2 cm$ 时，求这个盒子的容积．

（3）任务2：当 $a = 20 cm$ ，将相应长方体形盒子的容积V与高度b之间的关系建立如图2表格，若b取整数，观察表格特点，当 $b =$ 时V最大？当 $b =$ 时 $V = 0$ ？

（4）任务3：经证明：当 $b = \frac{1}{6} a$ 时，V取得最大值，求当 $a = 20 cm$ 时V的最大值（结果保留整数）

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7、某校进行阅读角书架设计活动，如图是其中一种书架平面设计图，它是由6个大小不同的正方形①～⑥号和1个长方形⑦号组成的大正方形．若正方形③与⑥的周长之和是 $25.2 dm$ ，则长方形⑦号的周长为（）

A、 $9.8 dm$ B、 $11.2 dm$ C、 $12.6 dm$ D、 $14 dm$

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8、阅读材料并解答下列问题：

“整体思想”是中学数学的一种重要思想方法，运用其解决问题，可以使复杂问题简单化．我们知道， $5 x - 3 x + x = (5 - 3 + 1) x = 3 x$ ，类似地，我们把 $(a + b)$ 看成一个整体，则 $5 (a + b) - 3 (a + b) + (a + b) = (5 - 3 + 1) (a + b) = 3 (a + b)$ ．

(1)、把

(a - b)

看成一个整体，合并

4 (a - b) + 3 (a - b) - 2 (a - b)

的结果是．

(2)、已知

a - b = - 3, b - c = 2

，求代数式

{(a - b)}^{2} + 2 {(b - c)}^{2} - 3 {(a - c)}^{2}

的值．

(3)、把

(2 x - 1)

看成一个整体，运用“整体思想”解方程：

\frac{1}{3} (2 x - 1) + \frac{1}{6} (2 x - 1) = - \frac{1}{2} (2 x - 1) + 6

．

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9、【综合与实践】：根据表中的事件背景和素材，完成问题任务．

背景	中国“低空经济”作为战略新动能迅猛崛起，彰显高质量发展新活力．依托自主创新的科技突破，国产无人机正深度赋能社会治理与公共服务，以前沿技术切实提升人民生活品质．
素材1		我市某生态农业公司欲购进 $A$ ， $B$ 两种型号的植保无人机用来喷洒农药， $A$ 型机比 $B$ 型机平均每小时少喷洒2公顷农田， $A$ 型机喷洒 $40$ 公顷农田所用时间与 $B$ 型机喷洒 $50$ 公顷农田所用时间相等．
素材2	若该生态农业公司共购进 $20$ 架无人机， $A$ 型无人机5万元/架， $B$ 型无人机6万元/架．
问题解决
任务1	$A ， B$ 两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？
任务2	若公司要求这批无人机每小时至少喷洒 $180$ 公顷农田，那么该公司如何购买 $A$ 型和 $B$ 型无人机，才能使总成本最低？并求出最低成本．

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10、兰州白塔山，是兰州市的文化地标，建于元代，重建于明代．白塔居白塔寺中，塔身为八面七级，上有绿顶，下有圆基，通体洁白，挺拔秀丽．白塔与兰州黄河铁桥构成雄浑壮丽的画面，成为兰州市的象征之一．某校九年级“综合与实践”小组开展了“白塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如表不完整的项目报告：

测量对象	兰州白塔山塔高
测量目的	1．学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； 2．培养学生动手操作能力，增强团队合作精神
测量工具	无人机、测角仪等
测量方案	1．先将无人机垂直上升至距水平地面 $50 m$ 的P点，测得白塔的顶端A的俯角为 $22 °$ ， 2．再将无人机沿水平方向飞行 $50 m$ 到达点Q，测得塔的顶端A的俯角为 $45 °$ ．
测量示意图

请根据以上测量数据，求白塔 $A B$ 的高度．（结果精确到 $1 m$ ，参考数据： $sin 22 ° \approx 0.4$ ， $cos 22 ° \approx 0.9$ ， $tan 22 ° \approx 0.4$ ）．

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11、若 $a < b$ ，则下列不等式中一定成立的是（）

A、 $- a < - b$ B、 $\frac{a}{2} > \frac{b}{2}$ C、 $3 a > 3 b$ D、 $a + 1 < b + 1$

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12、综合与探究
数学活动课上，老师进行了如下操作：如图1，将三角尺 $C O D$ 的直角顶点O放在直线 $A B$ 上，过点O作 $∠ B O C$ 平分线 $O E$ ．
【操作发现】
（1）“勤奋小组”通过画图度量，得到了如下数值：
$∠ A O C$
$10 °$
$24 °$
$50 °$
$66 °$
$∠ D O E$
$5 °$
$12 °$
$25 °$
$33 °$
请依据上表，写出 $∠ A O C$ 与 $∠ D O E$ 的数量关系__________．
【思考论证】
（2）老师进一步提出了如下问题：当三角尺 $C O D$ 在直线 $A B$ 上方绕顶点O旋转时（ $O D$ 到达 $O B$ 边时停止旋转）， $∠ A O C$ 与 $∠ D O E$ 是否还满足（1）中的数量关系，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）“创新小组”又提出如下问题：将图1中 $∠ C O D$ 的边 $O C$ 与 $O A$ 重合的位置开始，绕顶点O顺时针旋转，旋转的速度为每秒9度，旋转时间t秒（ $0 < t < 20$ ）， $O F$ 为 $∠ C O D$ 的角平分线，当 $∠ E O F = 30 °$ 时，求t的值．

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13、如图，在锐角三角形 $A B C$ 中， $A B < A C$ ， $A D$ 是角平分线， $D M ， D N$ 分别是 $△ A B D$ ， $△ A C D$ 的高，点E在 $D C$ 上，且 $D E = D B$ ，动点F在边 $A C$ 上（不包括两端点），连接 $F E ， F D$ ．
【问题感知】

(1)、填空： $D M$ $D N$ （填“ $>$ ”，“ $=$ ”或“ $<$ ”）；
【探究发现】

(2)、若 $∠ F E B = ∠ B$ ，小杰经过探究，得到结论： $∠ A F D = ∠ E F D$ ．请你帮小杰证明此结论；
【类比探究】

(3)、若 $∠ F E B + ∠ B = 180 °$ ，请判断上述结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
【拓展提升】

(4)、已知 $A B = 5$ ， $B M = 1$ ， $D M = 3$ ，若点E关于DF的对称点 $E^{'}$ 落在边AC上，连接 $D E^{'}$ ，请直接写出 $△ A E^{'} D$ 的面积．

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14、九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践到应用的过程．

(1)、实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得一隧道的路面宽为 $10 m$ ．隧道顶部最高处距地面 $6.25 m$ ，并画出了隧道截面图．建立了如图所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式；

(2)、应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为 $0.5 m$ ．为了确保安全，问该隧道能否让最宽 $3 m$ ，最高 $3.5 m$ 的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？并说明理由．

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15、定义：在 $Rt △ A B C$ 中，若斜边长为c，则称 $Rt △ A B C$ 是c系直角三角形．
例：如图1，在 $Rt △ A B C$ 中， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ， $A B = 5$ ，则称 $Rt △ A B C$ 是5系直角三角形．
【任务一：概念理解】①若 $A C = B C = 1$ ， $A B = \sqrt{2}$ ，则 $△ A B C$ 是_____________系直角三角形；
②若 $△ A B C$ 是 $\sqrt{5}$ 系直角三角形， $A B = 1$ ，请在图2中画出一个满足条件的 $△ A B C$ ；
【任务二：实践应用】如图3，在以O为原点的平面直角坐标系中， $M (1, 1)$ ，点N在直线 $y = 2 x + 4$ 上， $Rt △ O M N$ 是以M为直角顶点的a系直角三角形，求a的值；
【任务三：拓展提升】已知 $D (- 1, - 1)$ ， $E (1, 3)$ ， $Rt △ D E F$ 是 $2 \sqrt{10}$ 系直角三角形，直线 $l : y = k x + b (k \neq 0)$ 上有且仅有两个满足条件的点F，请在图4中画出一个符合题意的 $Rt △ D E F$ ，并求出k所有可能的取值．

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16、综合与实践
【问题背景】为了对体育节 $4 \times 100$ 米接力项目的成绩进行分析研究，某班同学进行了数据统计分析．已知全校有3个年级，每个年级 $10$ 个班，分男、女子组进行比赛．
【数据统计】
A．八年级男子组 $4 \times 100$ 米接力成绩统计如下：（单位：秒）
$55.7 、 54.7 、 56.5 、 55.5 、 56 、 56.3 、 54.4 、 56.4 、 56.6 、 54.9$
B．三个年级男子 $4 \times 100$ 米接力成绩的箱线图如下：
【数据分析】
（1）箱线图中x的值为_____________；
（2）比较三个年级男子 $4 \times 100$ 米接力成绩的集中趋势或离散程度，你有什么发现？结合生活实际，你觉得原因可能是什么？（写出一条即可）
发现：_______________________________________________________
原因：_______________________________________________________
【进阶分析】在 $4 \times 100$ 米接力比赛中，后三棒选手可在跑动中进行交接棒，从而减少起跑加速所带来的时间损耗．因此 $4 \times 100$ 米接力比赛的时间通常小于四名参赛选手各自的 $100$ 米单项用时之和．
（3）在赛前训练过程中，同学们发现平均每次交接棒节约时间t（单位：秒）与交接棒训练时长x（单位：小时）满足一次函数关系（其中 $0 \leq x \leq 16$ ），已知当 $x = 8$ 时， $t = 1.0$ ；当 $x = 12$ 时， $t = 1.4$ ．并且接力比赛用时满足：
$4 \times 100$ 米接力成绩 $=$ 四人 $100$ 米单项时间总和 $-$ 三次交接棒总节约时间
①求t关于x的函数表达式；
②已知九（1）班四名选手的 $100$ 米单项用时总和为 $56.4$ 秒，则九（1）班 $4 \times 100$ 米接力成绩y（单位：秒）与交接棒训练时长x（单位：小时）之间的函数表达式为_____________；（化简为 $\underset{˙}{y} \underset{˙}{=} \underset{˙}{k} \underset{˙}{x} \underset{˙}{+} \underset{˙}{b}$ 的形式）
③九（2）班四名男子选手的 $100$ 米单项用时总和比九（3）班快 $1.4$ 秒，但 $4 \times 100$ 米接力成绩比九（3）班慢 $1.3$ 秒，且两个班的交接棒训练时间之和为 $13$ 小时．求九（3）班的交接棒训练时长．

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17、2025年11月2日，人形机器人“夸父”成为全运会历史上首个人形机器人火炬手．下图是“夸父”在传递火炬时某瞬间的姿势及其平面示意图．其中， $∠ G H N : ∠ F G E = 2 : 1$ ， $∠ H G F = 140 °$ ， $G E ∥ M N$ ．

(1)、求 $∠ G H M$ 的度数；

(2)、若 $G H ∥ D E$ ， $∠ A B C = 150 °$ ， $∠ B C E = 68 °$ ， $∠ G E C = 118 °$ ，求证： $G H ∥ A B$ ．

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18、如图，点M，N的坐标分别为： $M (- 2, 1)$ ， $N (6, 2)$ ．

(1)、请在网格中作出平面直角坐标系 $x O y$ ；

(2)、若第一象限内的点P到x轴的距离为4，且 $N P ∥ y$ 轴，请在图中描出点P，并写出点P的坐标；

(3)、在（2）的基础上，作出 $△ M N P$ ，再在图中画出 $△ M N P$ 关于x轴对称的图形 $△ M^{'} N^{'} P^{'}$ （点 $M^{'}$ ， $N^{'}$ ， $P^{'}$ 分别对应点M，N，P）．通过分析两个三角形对应点间的横、纵坐标之间的关系，你能得出什么结论？

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19、小明解关于x，y的二元一次方程组

\{\begin{array}{l} 4 x - 3 y = 9 ① \\ 3 x - 4 y = 5 ② \end{array}

时的过程如下：

第1步： $① - ②$ 得 $x - y = 4$ ③

第2步： $③ \times 3$ 得 $3 x - 3 y = 12$ ④

第3步： $① - ④$ 得 $x = - 3$

第4步：将 $x = - 3$ 代入③得 $- 3 - y = 4$ ，即 $y = - 7$

所以原方程组的解为 $\{\begin{array}{l} x = - 3 \\ y = - 7 \end{array}$

(1)、你认为小明的做法从第_____________步开始出现错误；

(2)、请写出正确的解法．

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20、定义两种新运算： $[a, b, c]$ 为 $a, b, c$ 的中位数； $(a, b, c)$ 为 $a, b, c$ 的算术平均数．
例如：①因为 $2 \leq 3 \leq 5$ ，所以 $[3, 2, 5] = 3$ ；② $(3, 4, 8) = \frac{3 + 4 + 8}{3} = 5$ ．
则函数 $y_{1} = [x + 2, - \frac{1}{3} x + \frac{2}{3}, - 2 x + 4]$ 与 $y_{2} = (3 x + 6, - x + 2, - 6 x + 12)$ 的交点坐标为．

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$∠ A O C$	$10 °$	$24 °$	$50 °$	$66 °$
$∠ D O E$	$5 °$	$12 °$	$25 °$	$33 °$