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1、如图， $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 边的中点， $B E ⊥ A C$ ， $C F ⊥ A B$ ，垂足分别是点 $E$ ， $F$ ，连结 $D E$ ， $D F$ ．

(1)、求证： $D E = D F$ ．

(2)、若 $∠ A = 75 °$ ， $B C = 8$ ，连接 $E F$ ，求 $△ D E F$ 的面积．

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2、先化简，再求值： $(\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2}) \div \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2 x}$ ，其中 $x$ 是一元二次方程 $2 {(x - 1)}^{2} = (1 - x)$ 的实数根．

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3、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (2 m + 1) x + m^{2} - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{1} x_{2} - 6 = 0$ ，则 $m$ 的值为．

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4、如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ，以点 $A$ 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $A B 、 A C$ 于点 $M 、 N$ ；再分别以 $M 、 N$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 长为半径作弧，两弧在 $∠ B A C$ 内交于点 $G$ ，作射线 $A G$ 交 $O B$ 于点 $H$ ，连接 $C H$ ，若菱形 $A B C D$ 的周长为 $24 ， O H = 2$ ，则 $△ B C H$ 的面积为．

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5、“赵爽弦图”利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{29}$ ， $A E : E F = 2 : 3$ ，假设可在弦图区域内随机取点，则这个点落在阴影部分的概率为．

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6、将 $3 \times 3$ 方格表中的每个小方格随机的用如下图左侧所示的 $4$ 个灰白双色方块之一嵌入．有一个大灰色菱形将出现在某个 $2 \times 2$ 子方格表中的概率是多少？一个这样的镶嵌方案的例子如图右侧所示．

A、 $\frac{1}{1024}$ B、 $\frac{1}{256}$ C、 $\frac{1}{64}$ D、 $\frac{1}{16}$ E、 $\frac{1}{4}$

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7、有理数 $a$ ， $b$ ， $c$ 对应的点在数轴上的位置如图所示，则下列关于 $x$ 的方程 $(a - b) x^{2} + b x + (c - b) = 0$ 的根的情况说法正确的是（）

A、有两个相等的实数根 B、有两个不相等的实数根 C、无实数根 D、无法确定

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8、阅读理解：把数用大括号围起来，如： $\{2\}$ 、 $\{- 1.5, 0\}$ ，我们称之为“集”，其中大括号内的数称其为“集”的元素．如果一个“集”满足：只要其中有一个元素a，使得 $a^{2} + a$ 还是这个“集”的元素，这样的“集”我们称之为“回归集”．若“集” $\{2, n\}$ 是“回归集”，则n的值个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9、如图， $A B C D$ 是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（）

A、仅甲正确 B、仅乙正确 C、甲、乙均正确 D、甲、乙均错误

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10、如图，正方形 $A B C D$ 和正方形 $C E F G$ 中，点D在 $C G$ 上， $B C = 1, C E = 3$ ， C到直线 $A F$ 的距离是（）

A、 $\frac{3}{2} \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{3}{5} \sqrt{5}$ D、2

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11、为表彰文明有礼好少年，七、八年级分别选出两名同学和校长合影，校长坐在最中间，四名同学随机就座，则七年级两名同学均与校长相邻的概率为（）．

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{8}$

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12、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 8 cm$ ， $B C = 6 cm$ ，动点 $P$ ， $Q$ 分别从点 $A$ ， $B$ 同时开始移动，点 $P$ 的速度为 $1 cm / s$ ，点 $Q$ 的速度为 $2 cm / s$ ．当点 $Q$ 移动到点 $C$ 时，点 $P$ 也随之停止移动．若 $△ P B Q$ 和 $△ A B C$ 相似，则点 $P$ 移动的时间为（）

A、 $\frac{24}{11}$ B、 $\frac{8}{5}$ C、 $\frac{24}{11}$ 或 $\frac{16}{5}$ D、 $\frac{8}{5}$ 或 $\frac{16}{5}$

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13、若关于 $x$ 的一元二次方程 $(k - 1) x^{2} - \sqrt{2 + 3 k} x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k < 6$ B、 $k < 6$ 且 $k \neq 1$ C、 $- \frac{2}{3} \leq k < 6$ D、 $- \frac{2}{3} \leq k < 6$ 且 $k \neq 1$

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14、先化简，再求值： $\frac{1}{2} x - 2 (x - \frac{1}{3} y^{2}) + (- \frac{3}{2} x + \frac{1}{3} y^{2})$ ，其中 $x = - 2$ ， $y = \frac{2}{3}$ ．

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15、在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $D$ 是射线 $C B$ 上一动点（不与点 $B$ ， $C$ 重合），以 $A D$ 为一边在 $A D$ 的右侧作 $△ A D E$ ，使 $A D = A E$ ， $∠ D A E = ∠ B A C$ ，连接 $C E$ ．

(1)、如图1，当点D在线段 $C B$ 上时， $B D$ 与 $C E$ 的数量关系是．

(2)、在（1）的条件下，当 $∠ B A C = 90 °$ 时，那么 $∠ D C E =$ 度．

(3)、设 $∠ B A C = α$ ， $∠ D C E = β$ ．
①如图2，当点D在线段 $C B$ 上， $∠ B A C \neq 90 °$ 时，请探究 $α$ 与 $β$ 之间的数量关系．并证明你的结论；
②如图3，当点D在线段 $C B$ 的延长线上， $∠ B A C \neq 90 °$ 时，请将图3补充完整并直接写出此时 $α$ 与 $β$ 之间的数量关系．

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16、已知 $△ A B C$ 和 $△ D E F$ ， $∠ A = 45 °$ ， $∠ E + ∠ F = 105 °$ ，将 $△ D E F$ 按一定方式摆放，使 $∠ D$ 的两条边分别经过点 $B$ 和点 $C$ ．

(1)、若将 $△ D E F$ 按如图1所示方式摆放，则 $∠ A B D + ∠ A C D$ 的度数；

(2)、若将 $△ D E F$ 按如图2所示方式摆放，求 $∠ A B D + ∠ A C D$ 的度数．

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17、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 40 °$ ， $∠ A B C$ 的平分线 $B D$ 交 $A C$ 于点 $D$ ， $∠ B D C = 70 °$ ．

(1)、求 $∠ A B D$ 的度数；

(2)、求 $∠ C$ 的度数．

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18、已知：如图， $A B ∥ E D, A B = D E$ ，点 $F$ ，点 $C$ 在 $A D$ 上， $A F = D C$ ．求证： $B C ∥ E F$ ．

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19、如图， $A$ 点坐标为 $(- 2, 5)$ ．

(1)、在平面直角坐标系中作出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、直接写出点 $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ 的坐标， $A_{1}$ ______， $B_{1}$ ______， $C_{1}$ ______；

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20、如图，在 $△ A C B$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $△ A B C$ 的角平分线 $A D$ 、 $B E$ 相交于点 $P$ ，过 $P$ 作 $P F ⊥ A D$ 交 $B C$ 的延长线于点 $F$ ，交 $A C$ 于点 $H$ ．现有下列结论：① $∠ A P B = 135 °$ ；② $△ A B P ≌ △ F B P$ ；③ $∠ A H P = ∠ A B C$ ；④ $A H + B D = A B$ ．其中所有正确结论的序号为．

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