相关试卷

1、阅读材料：如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点M是AB边上的一点，过点M分别作ME $∥$ BD，MF $∥$ AC交直线AC，BD于点E，F，显然四边形OEMF是平行四边形．

(1)、当对角线 $A C$ ， $B D$ 满足______时，四边形 $O E M F$ 是矩形．

(2)、如图 $2$ ，若四边形 $A B C D$ 是矩形，且 $M$ 是 $A B$ 的中点，判断四边形 $O E M F$ 是什么特殊的平行四边形，并写出证明过程．

(3)、如图 $3$ ，在四边形 $A B C D$ 为矩形的条件下，若点 $M$ 是边 $A B$ 延长线上的一点，此时 $O A$ ， $M E$ ， $M F$ 三条线段之间存在怎样的数量关系？并说明理由．

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2、如图，直线 $l_{1}$ 的函数表达式为 $y = 3 x - 2$ ，且直线 $l_{1}$ 与x轴交于点D．直线 $l_{2}$ 与x轴交于点A，且经过点 $B (4 ， 1)$ ，直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 交于点 $C (m, 3)$ ．

(1)、求点D和点C的坐标；

(2)、求直线 $l_{2}$ 的函数表达式；

(3)、利用函数图象写出关于x，y的二元一次方程组 $\{\begin{array}{l} y = 3 x - 2 \\ 6 x + 7 y = 31 \end{array}$ 的解．

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3、某校八年级（1）班在引体向上体育测试中，甲、乙两名男生在5次引体向上测试中有效次数如下：甲：8，8，7，8，9；乙：5，9，7，10，9．
       体委于洋将二人的测试成绩绘制成如下统计表：
平均数
众数
中位数
方差
甲
8
m
8
0.4
乙
n
9
p
3.2
根据以上信息，回答下列问题：

(1)、n＝              ， m＝              ， p＝             ；

(2)、体育老师根据这5次的成绩，决定选择甲同学代表班级参加年级引体向上比赛；班主任李老师根据去年比赛的成绩（至少9次才能获胜），决定选择乙同学代表班级参加年级引体向上比赛，请你分别说明两位老师这样选择的理由；

(3)、如果乙同学再做一次引体向上，有效次数为8，那么乙同学6次引体向上成绩的平均数              ，中位数              ．（填“变大”、“变小”或“不变”）

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4、如图，四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C 、 B D$ 相交于点 $O$ ，且 $B O = O D$ ， $A O = O C$ ， $A B = A D$ ， $B E ∥ A C$ ， $C E ∥ D B$ ．求证：四边形 $O B E C$ 是矩形．

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5、如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 、 $E$ 分别是边 $A B$ 、 $A C$ 的中点，延长 $B C$ 至点 $F$ ，使得 $C F = \frac{1}{2} B C$ ，连结 $C D$ 、 $D E$ 、 $E F$ ．

(1)、求证：四边形 $C D E F$ 是平行四边形．

(2)、若四边形 $C D E F$ 的面积为 $8$ ，则 $△ A B C$ 的面积为______ ．

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6、在 $4 \times 4$ 正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．图1中的线段 $A B$ 的两个端点都在格点上．
（1）在图1中，线段 $A B$ 的长为______；
（2）在图1中，画一个等腰直角三角形 $A B C$ ，且三角形的顶点都在格点上；
（3）在图2中，画一个面积为10的正方形 $D E F G$ ，且正方形的顶点都在格点上．

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7、已知一次函数的图象经过A（0，3），B（2，9）两点．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）试判断点P（﹣1，1）是否在这个一次函数的图象上．

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8、若二次根式 $\sqrt{3 x - 6}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是．

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9、如图，在平面直角坐标系中，正方形 $A B C D$ 的顶点 $D$ 在 $y$ 轴上，且 $A (- 3, 0)$ ， $B (2, - 3)$ ，则正方形 $A B C D$ 的面积是（）

A、13 B、20 C、25 D、34

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10、若 $y = x + 3 - b$ 是正比例函数，则 $b$ 的值是（）

A、0 B、3 C、 $- 3$ D、 $- 1$

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11、【问题背景】
如图①， $⊙ O$ 的直径 $A B = 16 cm$ ， $A M$ ， $B N$ 是 $⊙ O$ 的两条切线，切点分别为点A、点B，直线 $C D$ 与 $⊙ O$ 相切于点E，并与 $A M$ 、 $B N$ 分别交于点D、C两点．
【问题探究】
（1）如果设 $A D = x cm$ ， $B C = y cm$ ，小明和小华同学在探究过程中，发现线段 $A D$ 与线段 $B C$ 的乘积为一个定值，他们在探究过程中采取了两种不同的思路方法，请你按照这两位同学的思路方法完成他们探究所得出的结论．
①小明同学的思路是：如图②，过点D作 $D F ⊥ B C$ 于点F，请完成解答过程．
②小华同学的思路是：如图③，连接 $O D$ 、 $O C$ 、 $O E$ ，也顺利的完成了探究，请补全图形，并完成解答过程．
【问题解决】
（2）请结合图形解决下列问题：如图③，若 $△ C O D$ 的面积是 $80 {cm}^{2}$ ，求此时线段 $A D$ 的长度；
（3）在（1）的条件下，令 $A D = x$ ， $B C = y$ ， $a = \frac{64}{64 + x} + \frac{64}{64 + y}$ ， $b = \frac{x}{1 + x} + \frac{y}{1 + y}$ ，请比较a、b的大小，并说明理由．

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12、【情境建模】学校数学社团活动时遇到下面一个问题：
（ $1$ ）如图①，点 $P$ 在 $∠ M A N$ 的角平分线上，过点 $P$ 作 $A Q$ 的垂线分别交 $A M 、 A N$ 于点 $B 、 C$ ．求证： $A B = A C$ ．请你帮助完成此证明．
【应用实践】请尝试直接应用“情境建模”中的结论解决下列问题：
（ $2$ ）将图①沿着过点 $B$ 的直线 $l$ 折叠，得到图②，使点 $C$ 正好与边 $A M$ 上的点 $D$ 重合，此时测得 $∠ A C D = 90 °$ ．求 $∠ D A C$ 的度数．
【拓展提升】
（ $3$ ）如图③， $△ A B C$ 是某小区绿化施工的一块区域示意图，其中 $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 50$ 米， $B C = 120$ 米， $A B = 130$ 米．该绿化带中修建了健身步道 $O A 、 O B 、 O M 、 O N 、 M N$ ，其中入口 $M 、 N$ 分别在 $A C 、 B C$ 上，步道 $O A 、 O B$ 分别平分 $∠ B A C$ 和 $∠ A B C$ ， $O M ⊥ O A$ ， $O N ⊥ O B$ ．现要用围栏完全封闭 $△ C M N$ 区域，修建地下排水和地上公益广告等设施，试求至少需要围栏多少米？（步道宽度忽略不计）

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13、数学课上，张老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课．
【提出问题】
问题 $1$ 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图①，将军从山脚下的点 $A$ 出发，到一条笔直的河岸 $l$ 上的点 $C$ 饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？
【分析问题】
小亮：作点 $A$ 关于 $l$ 的对称点 $A^{'}$ ，连接 $A^{'} B$ 与 $l$ 交于点 $C$ ，点 $C$ 就是饮马的地方，此时按路线 $A C - C B$ 走的路程就是最短的．
小慧：你能详细解释原因吗？
小亮：在 $l$ 上另取一点 $C^{'}$ ，连接 $A C^{'}$ ， $B C^{'}$ ，只要证明 $A C + C B < A C^{'} + C^{'} B$ 即可．
问题 $2$ 如图②，要在河岸 $l$ 上建一座水泵房 $Q$ ，修建引水渠 $P Q$ ；使得 $Q$ 到村庄 $P$ 的距离最短．施工人员的做法是：过点 $P$ 作 $P Q ⊥ l$ 于点 $Q$ ，将水泵房建在 $Q$ 处，这样修建引水渠 $P Q$ 最短，既省人力又省物力．
（ $1$ ）请在图①中标出河岸 $l$ 中点 $C$ 的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（ $2$ ）问题 $2$ 中所隐含的数学原理是_______．
【感悟方法，尝试应用】
（ $3$ ）如图③，在等边三角形 $A B C$ 中， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线．
①直接写出 $B D$ 与 $A B$ 的数量关系________．
②若 $A D = 4$ ，点 $E$ 为 $A B$ 边的中点，点 $F$ 为 $A D$ 上一点，当 $B F + E F$ 的值最小时，在如图③上标注点 $F$ 的位置，并求出 $B F + E F$ 的最小值．
【迁移拓展，综合应用】
（ $4$ ）如图④，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B = 30 °$ ，点 $D$ 在斜边 $B C$ 上，且 $B C = 4 C D = 4$ ， $A E$ 是 $△ B A C$ 的角平分线，点 $F$ 、点 $G$ 分别为 $A C 、 A E$ 上一点，求 $D G + F G$ 的最小值．

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14、知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，如图1可以得到 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ，等式变形可得 $a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b$ ，基于此，请解答下列问题：

(1)、直接应用：若 $a b = 3, a + b = 3$ ，直接写出 $a^{2} + b^{2}$ 的值为______；

(2)、类比应用：若 $x (2 - x) = 1$ ，则 $x^{2} + {(2 - x)}^{2} =$ _______；（直接写结果）

(3)、知识迁移：两个全等的直角三角形， $Rt △ A B D ≌ Rt △ C B E$ ，其中 $∠ A B D = ∠ C B E = 90 °$ ．如图2所示放置，其中 $C$ ， $B$ ， $D$ 在一直线上，连接 $A C$ ， $D E$ ，若 $A E = 4$ ， $S_{△ A B D} = 10$ ，设 $A B = B C = a, B D = B E = b$ ，求四边形 $A C D E$ 的面积 $S$ 的大小．

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15、春天是放风筝的季节，清朝诗人高鼎在《村居》中用两句诗描绘了春天放风筝的场景：“草长莺飞二月天”，“忙趁东风放纸鸢”．我们研究的四边形中有一种叫筝形，如图1所示．
【筝形的定义】
两组邻边分别相等的四边形．即：若四边形 $A B C D$ 满足 $A B = A D$ 且 $C B = C D$ ，则四边形 $A B C D$ 为筝形．
（ $1$ ）【任务 $1$ 】如图2是由小正方形组成的 $10 \times 5$ 网格图，在网格中仅用无刻度的直尺和笔，画出一个顶点在格点的筝形 $E F G H$ ；
【任务 $2$ 】某数学活动小组在探究筝形的角、对角线的性质过程中，得出以下命题：
命题 $1$ ：筝形有一组对角相等．
命题 $2$ ：筝形一条对角线垂直平分另一条对角线．
命题 $3$ ：筝形的每一条对角线平分一组对角．
（ $2$ ）以上命题是真命题的有______个．
（ $3$ ）选择其中的一个真命题，结合图1写出已知求证并对这个命题进行证明．

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16、2025年第十五届全国运动会吉祥物“雄雄”和“和和”以中华白海豚为设计原型，头顶三色水柱，融合了广东木棉红、香港紫荆紫、澳门莲花绿，象征着粤港澳三地同心同源、交融共生．它们因圆润的造型、憨态可掬的表情，备受广大网友的热捧．某工厂计划加急生产一批该吉祥物，决定选择使用A，B两种材料生产吉祥物．已知使用B材料的吉祥物比A材料每个贵50元，用4500元购买用A材料生产吉祥物的数量是用3000元购买B材料生产吉祥物数量的3倍．求购买一个A材料、一个B材料的吉祥物各需多少元？

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17、如图，在 $△ A B C$ 中，AD是角平分线， $∠ B = 50 °$ ， $∠ C = 62 °$ ， $D E ⊥ A C$ ．

(1)、求 $∠ A D E$ 的度数．

(2)、若 $D E = 3$ ，求点D到AB的距离．

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18、小雅同学计算一道整式除法：
$(a x^{3} y^{2} + b x^{2} y^{3}) \div (2 x y)$ ，由于她把除号错写成了乘号，得到的结果为 $12 x^{4} y^{3} - 8 x^{3} y^{4}$ ．

(1)、直接写出a、b的值： $a =$ ， $b =$ ．

(2)、请写出这道除法计算的过程和正确结果．

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19、一张正方形纸片的边长减少 $2 cm$ ，它的面积就减少 $20 {cm}^{2}$ ，这张正方形纸片的边长是 $cm$ ．

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20、在平面直角坐标系内点 $P (- 3 ， a)$ 与点 $Q (b, - 1)$ 关于y轴对称，则 $a + b$ 的值为.

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	平均数	众数	中位数	方差
甲	8	m	8	0.4
乙	n	9	p	3.2