相关试卷

1、定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角.如图①所示，若. $∠ C O D = \frac{1}{2} ∠ A O B,$ 则 $∠ C O D$ 是 $∠ A O B$ 的内半角.

(1)、如图①所示，已知. $∠ A O B = 7 0^{\circ}, ∠ A O C = 1 5^{\circ}, ∠ C O D$ 是 $∠ A O B$ 的内半角，则 $∠ B O D =$ .

(2)、如图②，已知 $∠ A O B = 6 3^{\circ},$ 将 $∠ A O B$ 绕点O按顺时针方向旋转一个角度( $α (0 < α < 6 3^{\circ})$ 至 $∠ C O D,$ 当旋转的角度α为何值时， $∠ C O B$ 是 $∠ A O D$ 的内半角?

(3)、已知 $∠ A O B = 3 0^{\circ},$ 把一块含有 $3 0^{\circ}$ 角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以： $3^{\circ}$ /秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线OD 始终在 $∠ A O B$ 的外部，射线OA， OB， OC， OD能否构成内半角?若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由.

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2、为了更好地落实“双减”政策，丰富学生课后托管服务内容，某校决定购买一批足球运动装备.经市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等.

(1)、求每套队服和每个足球的价格各是多少?

(2)、甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买足球打八折.若该校购买100套队服和a个足球(其中( $a \geq 10$ 且为整数)，请通过计算说明，学校采用哪种优惠方案更省钱?
① 请用含a的式子表示：
甲商城所花的费用，乙商城所花的费用；
② 当购买的足球数a为何值时在两家商场购买所花的费用一样?

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3、重庆市 2023 年体育中考已经结束，现从某校初三年级随机抽取部分学生的成绩进行统计分析(成绩得分用x表示，共分成4个等级， A： 30≤x<35， B： 35≤x<40， C： 40≤x<45， D： 45≤x≤50)，绘制了如下的统计图，请根据统计图信息解答下列问题：

(1)、本次共调查了名学生；

(2)、请补全条形统计图；

(3)、在扇形统计图中，m的值是；B对应的扇形圆心角的度数是；

(4)、若该校初三年级共有2000名学生，估计此次测试成绩优秀 $(45 \leq x \leq 50)$ 的学生共有多少人?

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4、先化简再求值： $7 x^{2} y - [2 x y - 3 (\frac{1}{3} x y - 5) + 6 x^{2} y] - 2 x^{2} y,$ 其中 $x^{2} y + x y = 2 .$

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5、计算：

(1)、 $(\frac{5}{6} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3}) \div (- \frac{1}{12});$

(2)、 $- 3^{2} \times ∣ \frac{1}{3} - 1 ∣ - (- 7) + 5 .$

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6、如图， ∠AOB=90°，直线CD过点O，且射线OC 在∠AOB的内部， OE是 $∠ A O D$ 的平分线，若∠BOC=α， ∠DOE=β，则 $β - \frac{α}{2} =$ 度.

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7、半径为4cm的扇形，它的圆心角为50°，则该扇形的面积为 cm².(结果保留π)

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8、若单式项 $- 4 x^{m} y^{2}$ 与 $7 x^{7} y^{n}$ 是同类项，则mⁿ的值是 .

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9、如图，将三个大小不同的正方形的一个顶点重合放置，则α，β，γ三个角的数量关系为（）

A、α+β+γ=90° B、α+β-γ=90° C、α-β+γ=90° D、α+2β-γ=90°

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10、已知 $(a + 3) \cdot x^{∣ a ∣ - 2} - 2 = 0$ 是关于x的一元一次方程，则a是（）

A、±3 B、- 3 C、3 D、±2

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11、下列说法不正确的是（）

A、“神舟十三号”载人飞船发射前对重要零部件的检查适合普查 B、钟表的时间是9点30分，此时时针与分针所成的夹角是105° C、n边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出(n-3)条对角线，这些对角线把这个n边形分成了(n-2)个三角形 D、从1500名学生中抽取100名学生调查了解寒假阅读情况，抽取的样本容量是1500

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12、若a的相反数是 2026，则 a的倒数是（）

A、2026 B、- 2026 C、 $\frac{1}{2026}$ D、 $- \frac{1}{2026}$

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13、阅读理解：
著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料1：已知 $x + \frac{1}{x} = 3$ ，求分式 $\frac{x}{x^{2} - 4 x + 1}$ 的值．
解：∵ $x + \frac{1}{x} = 3$ ，
∴ $\frac{x^{2} - 4 x + 1}{x} = x - 4 + \frac{1}{x} = x + \frac{1}{x} - 4 = 3 - 4 = - 1$ ，
∴ $\frac{x}{x^{2} - 4 x + 1} = \frac{1}{\frac{x^{2} - 4 x + 1}{x}} = \frac{1}{- 1} = - 1$
解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以将这种方法称为倒数法．
材料2：将分式 $\frac{x^{2} - 2 x + 3}{x - 1}$ 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解： $\frac{x^{2} - 2 x + 3}{x - 1} = \frac{x (x - 1) + x - 2 x + 3}{x - 1} = x + \frac{- (x - 1) + 2}{x - 1} = x - 1 + \frac{2}{x - 1}$ ．
解析：这种方法可以称为分离常数法．
根据材料，解答下面问题：

(1)、请将分式 $\frac{x^{2} + 4 x + 9}{x + 2}$ 分离常数；

(2)、已知 $a + \frac{1}{a} = 3$ ，求分式 $\frac{a}{2 a^{2} + 2}$ 的值：

(3)、若分式 $\frac{2 b^{2} + 7}{b^{2} + 1}$ 的值为整数，整数b的值为．

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14、【一般概念】如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D = C D$ ， $A B = C B$ ．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
【问题解决】

(1)、尺规作图：如图，已知 $△ A B D$ ，求作一点 $C$ ，使得四边形 $A B C D$ 是筝形．（保留作图痕迹，不要求写作法）

(2)、已知：如图，在筝形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $C B = C D$ ．证明： $∠ B = ∠ D$ ．

(3)、如图，连接筝形 $A B C D$ 的对角线 $A C, B D$ 相交于点 $O$ ，猜想 $O B$ 与 $O D$ 的数量关系，请说明理由．

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15、2025数字中国创新大赛 $-$ 中小学生赛道，决赛是用电脑程序控制智能赛车进行30米比赛，“天元号”和“朝阳号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“天元号”到达终点时，“朝阳号”才行驶到全程的 $\frac{4}{5}$ ， “天元号”比“朝阳号”每秒多行0.8米．

(1)、求“朝阳号”的行驶速度；

(2)、如果将“天元号”的行驶路程增加 $\frac{1}{5}$ ， “朝阳号”的行驶路程不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达吗？通过计算说明；

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16、如图， $△ A B C$ 的顶点都在正方形网格的格点上，小方格的边长为 $1$ ．

(1)、请画出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ （其中 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ 分别是点 $A, B, C$ 的对应点）；

(2)、写出 $A_{1}$ 的坐标；

(3)、求 $△ A B C$ 的面积．

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17、（1）计算： ${(π - 3)}^{0} + 2^{- 2} \times \sqrt{16}$
（2）先化简，再求值： $(\frac{2 x}{x + 1} - \frac{x}{x + 1}) \div \frac{x}{x^{2} - 1}$ ，其中 $x = 3$ ．

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18、在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 、 $F$ 分别为边 $A C$ 、 $A B$ 的中点， $F G ⊥ B C$ 于点 $G$ ， $E D ⊥ A C$ 交 $F G$ 于点 $E$ ， $D E = D C$ ，若 $B G = 3$ ， $G C = 7$ ，则 $E F =$ ．

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19、当 $x =$ 时，分式 $\frac{x - 8}{x - 3}$ 的值为0．

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20、烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，…按照这一规律，第11种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（　　）

A、20 B、22 C、24 D、26

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