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1、若a，b，c满足 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a + b + c}$ ，则a，b，c中( ).

A、必有两个数相等 B、必有两个数互为相反数 C、必有两个数互为倒数 D、每两个数都不相等

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2、已知正实数a，b，c 满足 $x = \frac{a}{2 b + 3 c}$ ， $y = \frac{2 b}{3 c + a}$ ， $z = \frac{3 c}{a + 2 b}$ ，则 $\frac{x}{1 + x} + \frac{y}{1 + y} + \frac{z}{1 + z}$ 的值为( ).

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、3

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3、已知 $\frac{a b}{a + b} = \frac{1}{15}$ ， $\frac{b c}{b + c} = \frac{1}{17}$ ， $\frac{c a}{c + a} = \frac{1}{16}$ ，则 $\frac{a b c}{a b + b c + c a}$ 的值是( ).

A、 $\frac{1}{21}$ B、 $\frac{1}{22}$ C、 $\frac{1}{23}$ D、 $\frac{1}{24}$

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4、已知 $a^{2} + 4 a + 1 = 0 ，$ 且 $\frac{a^{4} + m a^{2} + 1}{3 a^{3} + m a^{2} + 3 a} = 5 ，$ 则m=.

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5、已知实数x，y满足. $x - y - 3 = 0 ， 2 y^{3} + y - 6 = 0 ，$ 则 $\frac{x}{y} - y^{2}$ 的值为.

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6、若abc≠0，且 $\frac{a + b}{c} = \frac{b + c}{a} = \frac{c + a}{b} ，$ 则 $\frac{(a + b) (b + c) (c + a)}{a b c} =$ .

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7、已知 $\frac{y + z - x}{x + y + z} = \frac{z + x - y}{y + z - x} = \frac{x + y - z}{z + x - y} = p$ ，求 $p + p^{2} + p^{3}$ 的值.

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8、由 $(\frac{1 + c}{2 + c} - \frac{1}{2})$ 的值的正负性可以比较 $A = \frac{1 + c}{2 + c} - \frac{1}{2}$ 的大小，下列说法正确的是( ).

A、当c=-2时， $A = \frac{1}{2}$ B、当c=0时， $A \neq \frac{1}{2}$ C、当c<-2时， $A > \frac{1}{2}$ D、当c<0时， $A < \frac{1}{2}$

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9、若 $\frac{2}{2 y^{2} + 3 y + 7}$ 的值为 $\frac{1}{4}$ ，则 $\frac{1}{4 y^{2} + 6 y - 1}$ 的值为( ).

A、1 B、-1 C、 $- \frac{1}{7}$ D、 $\frac{1}{5}$

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10、若 $x + \frac{1}{x} = 3 ，$ 则 $\frac{x^{2}}{x^{4} + x^{2} + 1}$ 的值为( ).

A、10 B、8 C、 $\frac{1}{10}$ D、 $\frac{1}{8}$

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11、已知实数a，b满足 $a^{2} + 1 = \frac{1}{a} ， b^{2} + 1 = \frac{1}{b} ，$ 则 $201 5^{∣ a - b ∣} =$ .

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12、若 $x + \frac{1}{x} = \frac{13}{6}$ 且0<x<1，则 $x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$ 的值为.

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13、已知实数 $4 x^{2} - 4 x + 1 = 0 ，$ 则代数式 $2 x + \frac{1}{2 x}$ 的值为.

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14、已知实数a，b，c满足条件 $\frac{a}{{(b - c)}^{2}} + \frac{b}{{(c - a)}^{2}} + \frac{c}{{(a - b)}^{2}} = 0 ，$ 求代数式 $\frac{a}{b - c} + \frac{b}{c - a} + \frac{c}{a - b}$ 的值.

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15、已知 ab=1，求证： $\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} = 1 .$

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16、如果a，b，c是正数，且满足 $a + b + c = 9$ ， $\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a} = \frac{10}{9}$ ，求 $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b}$ 的值.

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17、 a，b，c 为非零实数，且a+b+c≠0，若 $\frac{a + b - c}{c} =$ $\frac{a - b + c}{b} = \frac{- a + b + c}{a} ，$ 则 $\frac{(a + b) (b + c) (c + a)}{a b c}$ 等于( ).

A、8 B、4 C、2 D、1

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18、已知 $x^{2} - x - 1 = 0 ，$ 则 $\frac{x^{4} + 2 x + 1}{x^{5}} =$ .

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19、

(1)、证明：奇数的平方被8除余1.

(2)、请你进一步证明：2006不能表示为10个奇数的平方之和.

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20、已知正整数x，y 满足 $2^{2 x} - 3^{2 y} = 55 ，$ 求x的最大值.

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