相关试卷

1、第十四届国际数学教育大会在上海举办，大会标识（如图）蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行融合，体现了我国传统文化的博大精深．八卦符号可以用于记数，每卦均可由一个二进制的数来表示，其中阳爻和阴爻分别对应数字1和0．若二进制数为 ${(011)}_{2}$ ，则它对应的十进制数为： $0 \times 2^{2} + 1 \times 2^{1} + 1 \times 2^{0} = 3$ ．二进制数 ${(101)}_{2}$ 对应的十进制数为．

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2、已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2．则﹣ $\frac{| a + b |}{2 m^{2} + 1}$ ﹣3cd的值为．

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3、程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图所示，在这个数据运算程序中，如果第1次输入的a值为6，那么此次的输出结果是2．把第1次输出的结果当作a值返回进行第2次运算，那么第2次输出的结果是7，…，以此类推，第2025次输出的结果是（）

A、1 B、2 C、7 D、9

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4、下列说法：①若 $\frac{a}{b} = - 1$ ，则a、b互为相反数；②若 $\frac{b}{a} > 0$ ，且 $a + b < 0$ ，则 $| a | + | b | = - a - b$ ；③一个数的立方是它本身，则这个数为0或1或 $- 1$ ；④若 $- 1 < a < 0$ ，则 $a$ 的倒数小于 $- 1$ ．其中正确的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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5、数轴上表示数a ， b的点如图所示．把a ， $- a$ ， b ， $- b$ 按照从小到大的顺序排列，正确的是（）．

A、 $- b < - a < a < b$ B、 $- a < - b < a < b$ C、 $- b < a < - a < b$ D、 $- b < b < - a < a$

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6、把算式 $- 10 + (- 12) - (- 16) - 4$ ，写成省略括号和加号的形式是（）

A、 $- 10 - 12 - 16 - 4$ B、 $- 10 - 12 + 16 - 4$ C、 $10 - 12 + 16 - 4$ D、 $- 10 + 12 + 16 - 4$

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7、今年国庆中秋假期，五湖四海的游客纷纷奔赴珠海，城市火出新高度．据初步测算，10月1日至10月8日，珠海全市实现旅游收入约2400000000元，数据2400000000用科学记数法表示为（）

A、 $0.24 \times 1 0^{10}$ B、 $2.4 \times 1 0^{9}$ C、 $2.4 \times 1 0^{8}$ D、 $24 \times 1 0^{7}$

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8、下列各数中，最小的数是（）

A、0 B、 $- 3$ C、 $- 3.5$ D、4

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9、《九章算术》中记载“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．若气温为零上 $10 ℃$ 记作 $+ 10 ℃$ ，则 $- 8 ℃$ 表示气温为（）

A、零下 $8 ℃$ B、零下 $10 ℃$ C、零上 $8 ℃$ D、零下 $2 ℃$

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10、在现在的信息化时代，密码为保护我们的个人隐私起到了不可或缺的作用．诸如“1234”或生日等简单密码非常容易被破解，因此利用数学产生一组容易记忆又不好破解的密码十分有必要．有一种“因式分解”法可以获得便于记忆的密码，其原理就是：将多项式分解因式，如多项式 $x^{2} - 4$ 就可以分解成 $(x + 2) (x - 2)$ ，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，比如某人的年龄为16，取 $x = 16$ ，那么 $x + 2 = 18$ ， $x - 2 = 14$ ， 14和18就是因式码，将因式码进行排列就形成密码1418或密码1814，如果分解因式的结果有单项式，如 $x^{2} (x + 2)$ ，我们取 $x^{2}$ 和 $(x + 2)$ 的值作为两个因式码．

(1)、根据上述方法，若多项式为 $x^{2} - 16$ ，当 $x = 15$ 时，请直接写出密码为_____．

(2)、若王老师想用年龄生成锁屏密码，选取的多项式为 $x^{3} - x$ ，已知王老师手机的锁屏密码是6位数字313032，请尝试分析王老师当前年龄是多少岁，并说明理由．

(3)、已知多项式 $4 x^{4} - x^{2}$ ，当 $x$ 取正整数时，用上述方法生成密码，若密码中最小的因式码为15，你能求出其他两个因式码吗？并说明理由．

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11、宇树公司设计的人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某快递公司采用A、B两种型号的数控机器人分拣快递．已知A型数控机器人每小时分拣快递件数是B型数控机器人每小时分拣快递件数的1.5倍．一项分拣600件快递的任务中，一台B型数控机器人分拣了420件后，由一台A型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成．两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？

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12、某校为了解九年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校20名九年级学生进行测试（测试满分为10分），并将这20名学生分成甲、乙两组，每组各10人．对测试成绩进行收集、整理、描述和分析，并制成了如下统计图表：

平均数/分
中位数/分
众数/分
甲组
$a$
8
8
乙组
8.3
$b$
$c$
根据以上信息，回答下列问题．

(1)、填空： $a =$ ________， $b =$ ________， $c =$ _________；

(2)、该校九年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计测试成绩达到9分及以上的人数；

(3)、现在准备从甲、乙两组满分为10分的学生中随机抽取两名学生参加市级竞赛，请用列表法或画树状图法求所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率．

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13、冬季流感频发，某公司有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了 $x$ 个人，则下列结论错误的是（）

A、第1轮后有 $(x + 1)$ 个人患了流感 B、第2轮又增加 $x (x + 1)$ 个人患流感 C、依题意可列方程 ${(x + 1)}^{2} = 49$ D、按照这样的传播速度，三轮后一共会有245人患流感

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14、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A D$ 是 $∠ A$ 的平分线，且 $B D = 3 cm$ ，则点D到 $A C$ 边的距离是 $cm$ ．

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15、请阅读下面的材料．

(1)、问题：如图1，若 $∠ A = 60 °$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D$ 平分 $∠ A C B$ ，探究图中线段 $B C$ ， $A C$ ， $A D$ 之间的数量关系．
小明同学的思路是：如图2，在 $B C$ 上截取 $C E = C A$ ，连接 $D E$ ，先证 $△ A C D ≌ △ E C D$ ，可得 $A D = D E$ ，再证 $B E = D E$ ，可得出结论，他的结论是__________（直接写出结论，不需要证明）．

(2)、变式：如图3，在四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $B C$ 的中点，若 $A E$ 平分 $∠ B A D$ ， $∠ A E D = 90 °$ ，请你探究图中线段 $A B$ ， $A D$ ， $C D$ 之间的数量关系并证明．

(3)、拓展：如图4，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $∠ A B C$ 和 $∠ A C B$ 的平分线交于点 $P$ ，点 $M$ ， $N$ 分别为 $A B$ ， $A C$ 上的点，且点 $P$ 为 $M N$ 中点，若 $B M = 8$ ， $C N = 1.5$ ， $M N = 7$ ，求 $B C$ 的值．

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16、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $A B = 10$ ， $A C = 8$ ，点 $P$ 从点 $A$ 出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线 $A - C - B - A$ 运动，设点 $P$ 的运动时间为 $t (s) (t > 0)$ ．

(1)、若点 $P$ 在 $A C$ 上，则 $A P =$ _____， $C P =$ _____（用含 $t$ 的代数式表示）．

(2)、若点 $P$ 在 $∠ B A C$ 的平分线上（不与点 $A$ 重合），求 $t$ 的值．

(3)、在整个运动过程中，直接写出当 $△ P B C$ 是等腰三角形时 $t$ 的值．

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17、在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C E$ 是斜边 $A B$ 上的中线， $C D$ 是斜边 $A B$ 上的高线， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ．

(1)、如图1，中线 $C E$ 的长为__________，高线 $C D$ 的长为__________．

(2)、如图2，在 $A C$ 的延长线上取一点 $F$ ，使得 $A F = B F$ ，求 $C F$ 的长．

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18、如图，已知 $△ A B C$ 中， $A B = 17$ ， $B C = 13$ ， $D$ 是 $A B$ 上一点，连结 $C D$ ，且 $C D = 12$ ， $B D = 5$ ．

(1)、求证： $C D ⊥ A B$ ．

(2)、求 $∠ A$ 的度数．

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19、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ．

(1)、用直尺和圆规作 $△ A B C$ 的角平分线 $B D$ ．（要求：保留作图痕迹，标注有关字母，不写作法）

(2)、若 $C D = 3$ ， $A B = 10$ ，求 $△ A B D$ 的面积．

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20、如图， $B E = B A$ ， $A B ∥ D E$ ， $B C = D E$ ．

(1)、求证： $△ A B C ≌ △ B E D$ ；

(2)、若 $∠ A = 40 °$ ，求 $∠ D B E$ 的度数．

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	平均数/分	中位数/分	众数/分
甲组	$a$	8	8
乙组	8.3	$b$	$c$