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1、如图1，边长为 $a$ 的大正方形中有一个边长为 $b$ 的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个平行四边形（如图2所示）．

(1)、上述操作能验证的公式是（填序号）．
① $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$
② $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$
③ $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$

(2)、请应用上面的公式完成下列各题：
①若 $a^{2} - b^{2} = 22$ ， $a + b = 11$ ，则 $a - b =$ ．
②计算： $2025 \times 2027 - 2026^{2}$

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2、如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是1， $△ A B C$ 的三个顶点均在格点上，且坐标分别为点 $A (- 4, 1) 、 B (- 3, 3) 、 C (- 1, 2)$ ．

(1)、根据A、B、C的坐标描点画出 $△ A B C$ ．

(2)、画出 $△ A B C$ 关于x轴对称的 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ．

(3)、求出 $△ A B C$ 的面积．

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3、如图，点 $D$ 是 $△ A B C$ 外一点，连接 $B D$ 、 $A D$ ， $A D$ 与 $B C$ 交于点 $O$ ，下列条件：
$① B C = A D$ ； $② ∠ A B C = ∠ B A D$ ； $③ A C = B D$ ．

(1)、请从 $① ② ③$ 中选取两个合适的作为已知条件，证明余下的一个成立．

(2)、在（1）的条件下，若 $∠ C = 108 °$ ， $∠ B A D = 28 °$ ，求 $∠ O B D$ 的度数．

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4、下列是小明同学对分式 $(1 - \frac{x + 3}{x - 3}) \div \frac{3 x}{x - 3}$ 的化简过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：原式 $= (\frac{x - 3}{x - 3} - \frac{x + 3}{x - 3}) \cdot \frac{x - 3}{3 x}$              第一步
$= \frac{x - 3 - x + 3}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{3 x}$                                  第二步
$= 0 \times \frac{x - 3}{3 x}$                                                第三步
＝0                                                            第四步

(1)、小明的化简过程中第步开始出现错误．

(2)、请写出该分式化简的正确过程，并把x＝2代入求值．

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5、（1）计算： ${(- 1)}^{2026} + {(\frac{1}{3})}^{- 1} - {(\sqrt{2} - 2)}^{0}$
（2）解方程： $\frac{x + 2}{x - 1} + 1 = \frac{2}{x - 1}$

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6、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 75 °$ ， $B C = 6$ ， $S_{△ A B C} = 15$ ， $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别是线段 $A B$ 、 $B C$ 、 $A C$ 上的动点，连接 $D E$ 、 $D F$ 、 $E F$ ，当 $△ D E F$ 的周长最小时， $S_{四边形 A D E F} + S_{△ A D F} =$ ．

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7、如图， $△ A B C$ 中， $A C = 3$ ， $∠ A B C + ∠ C = 45 °$ ，过点 $A$ 作 $A D ⊥ A C$ 交 $B C$ 于 $D$ ，过点 $B$ 作 $B E ⊥ A D$ 交 $A D$ 的延长线于 $E$ ，若 $D$ 恰为 $B C$ 的中点，则 $A D$ 的长为．

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8、红花岗区空气质量监测数据显示， $PM 2.5$ 平均浓度为 $0.000028$ 克/立方米，用科学记数法表示为 $2.8 \times 10^{n}$ 克/立方米，则 $n =$ ．

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9、 $4 x^{2} \div (2 x) =$ ．

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10、如图，把一张长方形纸片 $A B C D$ 沿对角线 $B D$ 折叠，使得点C落在点E处， $B E$ 交 $A D$ 于点F，若 $A F = 5, A B = 12, B F = 13$ ，则 $△ B D F$ 的面积是（）

A、30 B、 $\frac{65}{2}$ C、78 D、 $\frac{169}{2}$

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11、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $D E$ 垂直平分 $A B$ ，若 $∠ D B C = 30 °$ ， $C D = 3$ ，则 $A C$ 的长度为( )

A、6 B、7 C、8 D、9

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12、已知分式 $M$ 满足下列表格中的信息，则分式 $M$ 有可能是（）
$a$ 的值
$0$
$1$
$2$
$3$
$M$ 的值
$n$
$0$
无意义
$4 n$

A、 $\frac{a - 2}{a - 1}$ B、 $\frac{a - 1}{a - 2}$ C、 $\frac{a + 1}{a - 1}$ D、 $\frac{a - 1}{a + 1}$

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13、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A D$ 平分 $∠ C A B$ ， $C D = 2$ ，则点 $D$ 到 $A B$ 的距离是（）

A、 $4$ B、 $3$ C、 $2$ D、 $1$

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14、“油纸伞”承载着千年匠心与东方美学，其伞架结构精巧，蕴含着丰富的几何智慧．如图是油纸伞的展开示意图， $A E = A F, G E = G F$ ，则 $△ A E G ≌ △ A F G$ 的依据是（）

A、 $SSS$ B、 $SAS$ C、 $ASA$ D、 $AAS$

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15、下列运算中正确的是（）

A、 ${(- a)}^{2} = a^{2}$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ C、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ D、 ${(a b)}^{3} = a b^{3}$

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16、化简 $\frac{x^{2} - 9}{x + 3}$ 结果是（）

A、 $\frac{x - 3}{3}$ B、 $x - 3$ C、 $x + 3$ D、 $\frac{x + 3}{x}$

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17、如图，用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是（）

A、三角形三条中线的交点 B、三角形三条内角平分线的交点 C、三角形三条高线的交点 D、三角形三边垂直平分线的交点

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18、物理课上，某同学做探究平面镜成像特点的实验，如图放置平面镜，若蜡烛火焰上点S在平面直角坐标系中的坐标为 $(- 4, 3)$ ，则眼睛看到的镜像 $S^{'}$ 的坐标是（）

A、 $(- 3, 4)$ B、 $(- 4, 3)$ C、 $(- 4, - 3)$ D、 $(4, 3)$

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19、下列四个表示数或式子关系的符号中，可以看作轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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20、
定义：在平面直角坐标系中，若函数 $y_{1}$ 的图象上存在点 $P$ ，函数 $y_{2}$ 的图象上存在点 $Q$ ，且点 $P$ 与点 $Q$ 关于 $y$ 轴对称，则称函数 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 具有“对偶关系”，此时点 $P$ 或点 $Q$ 的纵坐标称为这两个函数的“对偶值”．
【问题探究】
【概念初探】
（1）已知函数 $y_{1} = x + 2$ 与函数 $y_{2} = 3 x + 6$ 具有“对偶关系”，请求它们的“对偶值”；
【模型构建】
（2）如图①，将直线 $l_{1} : y_{1} = x + 2$ 向下平移 $m (m > 0)$ 个单位长度得到直线 $l_{3}$ ．若直线 $l_{1}$ 与 $l_{3}$ 的“对偶值”为 $h$ ，求 $h$ 与 $m$ 满足的关系式；
【深度探索】
（3）如图②，直线 $l_{2} : y_{2} = 3 x + 6$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴相交于A、B两点，直线 $l_{3}$ 与 $y$ 轴相交于点 $D$ ，直线 $l_{3}$ 上是否存在一个点 $M$ ，使得 $∠ M O D = ∠ A B O$ ，且 $△ M O D$ 的面积等于3？若存在，请求出 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．

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$a$ 的值	$0$	$1$	$2$	$3$
$M$ 的值	$n$	$0$	无意义	$4 n$