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1、汾河是黄河的第二大支流，自北向南，纵贯山西，被山西人称为母亲河，对山西省的历史文化有着深远的影响．某项目学习小组的同学想要测量某段汾河的宽度，他们设计了如下测量方案：如图，在该段汾河的对岸岸边任取一点 $A$ ，再在河的这边取两点 $B, C$ ，在点 $B$ 处测得 $A B$ 与河岸的夹角 $α$ 为 $2 0^{∘}$ ，在点 $C$ 处测得 $A C$ 与河岸的夹角 $β$ 为 $4 5^{∘}, B, C$ 两点间的距离为 $300 m$ ．

(1)、求该段汾河的宽度（即 $△ A B C$ 中 $B C$ 边上的高）；（结果精确到 $0.1 m$ ；参考数据： $s i n 2 0^{∘} \approx 0.34, c o s 2 0^{∘} \approx 0.94, t a n 2 0^{∘} \approx 0.36$ ）

(2)、请再设计一种测量该段汾河宽度的方案．（要求：画出测量示意图，并简要说明测量方案及测量数据）

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2、如图，在 $△ A B C$ 中， $C D ⊥ A B$ 于 $D$ 点， $A B = 11$ ， $C D = 6$ ， $t a n A = 2$ ，求：

(1)、 $B D$ 的长；

(2)、 $s i n B$ 的值．

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3、图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱 $C D$ （与桌面 $M N$ 垂直）的高为 $6 c m$ ，支架 $B C$ 长为 $20 c m$ ，支架 $A B$ 长为 $25 c m$ ．若支架 $A B$ ， $B C$ 的夹角为 $106 °$ ，支架 $B C$ 与底部立柱 $C D$ 的夹角为 $150 °$ ，求台灯的旋钮A到桌面 $M N$ 的距离（精确到 $1 c m$ ）．（参考数据： $s i n 46 ° ＝ c o s 44 ° \approx 0.72$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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4、计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 2} - \sqrt{27} + 2 c o s 30 ° - {(π - 2025)}^{0}$ ；

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5、在 $△ A B C$ 中，若 $| t a n A - \sqrt{3} | + (c o s B - \frac{\sqrt{2}}{2})^{2} = 0$ ，则 $∠ C =$ ．

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6、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， s i n B = \frac{1}{2}$ ， $C D$ 是高．若 $A D = 2$ ，则 $B D$ = ．

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7、沿一斜坡向上走3米，高度上升1米，那么这个斜坡的坡度 $i =$ ．

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8、若 $∠ A$ 为锐角， $c o s A = \frac{1}{2}$ ，则 $∠ A =$ ．

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9、计算： $1 - 2 s i n 30 ° =$ ．

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10、如图，在 $R t △ A B C$ 中，延长斜边 $A B$ 到点D ，使 $B D = \frac{1}{3} A B$ ，连接 $C D$ ．若 $t a n A = \frac{4}{3}$ ，则 $t a n ∠ B C D$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{16}$ B、 $\frac{3}{16}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{8}$ D、 $\frac{3}{8}$

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11、如图，在边长为1的小正方形网格中，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 都在这些小正方形的格点上，则 $t a n ∠ B A C$ 的值为（）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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12、如果 $α$ 是锐角，且 $s i n α = \frac{4}{5}$ ，那么 $s i n (90 ° - α)$ 的值等于（）

A、 $\frac{9}{25}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{16}{25}$

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13、在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °, A C = 1, B C = 2$ ，那么下列锐角三角比中，正确的是（）

A、 $s i n A = \frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $t a n A = \frac{1}{2}$ C、 $c o s B = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $t a n B = 2$

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14、春秋时期，鲁班来到楚国为楚王制作了攻城用的云梯，如图所示，云梯 $A B$ 与水平面 $B C$ 的夹角为 $40 °$ ，若楚国欲攻打宋国，已知宋国城墙 $A C$ 高为10丈，则云梯梯身长 $A B$ 约为（）

A、 $\frac{10}{s i n 40 °}$ 丈 B、 $\frac{10}{c o s 40 °}$ 丈 C、 $10 s i n 40 °$ 丈 D、 $10 c o s 40 °$ 丈

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15、如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线 $O M$ 交于点A ，再以点A为圆心， $A O$ 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线 $O B$ ，则 $t a n ∠ A O B$ 的值为（）．

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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16、计算 $6 t a n 45 ° - 2 c o s 60 °$ 的结果是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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17、若 $c o s 60 ° = \frac{□}{2}$ ，则“□”表示的数是（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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18、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，则 $\frac{A C}{B C} =$ （）

A、 $t a n A$ B、 $t a n B$ C、 $s i n A$ D、 $c o s B$

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19、 $s i n 30 ° =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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20、目前数学家已经发现了三角形的“心”已经超过4万个，其中我们初中阶段对以下4个“心”比较熟悉，即：垂心、重心、外心和内心．在苏科版的初中数学教材中对三角形的“内心”给出的定义是“三角形内切圆的圆心叫作三角形的内心”．

(1)、【初步认识】已知 $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆，点 $I$ 是 $△ A B C$ 的内心．
①请在图1中利用直尺和圆规作出内心 $I$ ，若连接 $A I$ ，并延长交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $B D$ ，请猜想 $B D$ 与 $I D$ 的数量关系，并说明理由；
②若点 $A$ 是优弧 $\overset{⌢}{B A C}$ 上（不与 $B$ 、 $C$ 重合）的动点， $⊙ O$ 的半径为5， $B C = 8$ ，求 $A I$ 最大值为 ▲ ；

(2)、【深入探究】在题（1）条件下，如图2，如果 $O I ⊥ A D$ ， $I M ⊥ A B$ 于 $M$ ．求证： $B C = 2 A M$ ；

(3)、【灵活运用】如图3，在 $B A C$ 中， $A B = A C$ ，过点 $C$ 作 $C P ⊥ A B$ ，垂足为 $G$ ，且 $C P = A B$ ，点 $E$ 和点 $F$ 分别是 $△ A G C$ 的内心和外心，试判断 $E F$ 与 $P B$ 的数量关系，并说明理由．

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