相关试卷

1、对于下列结论：① $x$ 为正数，则 $x > 0$ ；② $x$ 为自然数，则 $x > 1$ ；③ $x$ 不大于5，则 $x \leq 5$ ；正确的有．（填所有正确的序号）

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2、下面的式子：① $3 > 0$ ；② $3 x + y < 0$ ；③ $x + 3 = 0$ ；④ $x - 7$ ；⑤ $m - 3 < 2$ ；其中是不等式的是：；（填序号）

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3、下列选项中，不能用不等式表示的是（）

A、 $- b$ 小于0 B、 $x^{2} + 2$ 是正数 C、 $m - n$ 等于零 D、a比b大

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4、如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，在 $△ A B C$ 的外部作等边三角形 $△ A C D$ ，点 $E$ 为 $A C$ 的中点，射线 $D E$ 交 $B C$ 于点 $F$ ，连接 $B D$ ．

(1)、如图 $①$ ，若 $∠ B A C = 100 °$ ，求 $∠ B D F$ 的度数；

(2)、如图 $②$ ， $∠ A C B$ 的平分线交 $A B$ 于点 $M$ ，交 $E F$ 于点 $N$ ，分别连接 $A N 、 B N$ ，若 $B N = D N$ ，求 $∠ B A C$ 的度数．

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5、如图，在 $△ A B C$ 中，点E是 $B C$ 边上的一点，连接 $A E$ ， $B D$ 垂直平分 $A E$ ，垂足为F ，交 $A C$ 于点D ．连接 $D E$ ．

(1)、若 $△ A B C$ 的周长为19， $△ D E C$ 的周长为7，求 $A B$ 的长；

(2)、若 $∠ A B C = 30 °$ ， $∠ C = 45 °$ ，
①求 $∠ E A C$ 的度数；
②若 $D F = 3$ ，求 $A D$ 的长．

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6、【教材呈现】以下是人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容．
如图1，在四边形 $A B C D$ 中， $A D = C D$ ， $A B = C B$ ．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．

(1)、【性质探究】
如图1，连接筝形 $A B C D$ 的对角线 $A C 、 B D$ 交于点 $O$ ，试探究筝形 $A B C D$ 的性质，并填空：对角线 $A C 、 B D$ 的位置关系是：； $A O$ 与 $C O$ 的数量关系是：．

(2)、【知识应用】
秀秀想要做一个“筝形”风筝，她先固定中间的“十字架”，再确定四周．
①从数学的角度看，秀秀确定“十字架”对角线 $E G$ 和 $H F$ 时应满足的条件是．
②借助图2以及①中所写条件，说明四边形 $E H G F$ 是个“筝形”．

(3)、【应用拓展】
在“筝形”风筝 $E H G F$ 中，已知 $E G = 60 cm$ ， $H F = 40 cm$ ，求“筝形”风筝 $E H G F$ 的面积．

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7、【阅读】
如图1，在 $△ A B C$ 中， $A B = 8$ ， $A C = 6$ ， $A D$ 是中线，求 $A D$ 的取值范围．小明同学的做法是：延长 $A D$ 到 $E$ ，使 $D E = A D$ ，连接 $B E$ ，证明 $△ B D E ≌ △ C D A$ ．得到 $B E = A C$ ，在 $△ A B E$ 中． $A B - B E < A E < A B + B E$ ，即 $8 - 6 < 2 A D < 8 + 6$ ，所以 $1 < A D < 7$ ；
【理解】
如图2． $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线，在 $A D$ 上取一点 $E$ ，连接 $B E$ ，使得 $B E = A C$ ，延长 $B E$ 交 $A C$ 于点 $F$ ．求证： $A F = E F$ ；
【运用】
如图3．在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点， $∠ E D F = 90 °$ ，求证： $B E^{2} + C F^{2} = E F^{2}$ ．

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8、阅读下列材料，并完成相应的任务．
尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题．在初中阶段，我们学习过五种基本尺规作图，并且运用基本尺规作图方法，结合图形性质可以作出更多的数学图形．
如图1，在△ABC中，AB＝AC ．小明用尺规作底边BC的垂直平分线的过程如下：
①以点A为圆心，小于AB长为半径作弧，分别交AB ， AC于点D ， E；
②分别以点D ， E为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ DE的长为半径作弧，两弧交于点P；
③作射线AP ，则AP⊥BC ．

(1)、根据小明的作图方法在图1中作出图形，他得出“AP⊥BC”的依据是_▲_ ．

(2)、如图2，已知在四边形ABCD中，AB＝AD ， ∠ABC＝∠ADC ，求作对角线BD的垂直平分线，小亮只用直尺作直线AC ，就得到对角线BD的垂直平分线．请你帮小亮说明理由．

(3)、如图3，已知在四边形ABCD中，AD∥BC ， ∠B＝∠C ．请你只用直尺作出BC边的垂直平分线．（不写作法，保留作图痕迹）

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9、阅读下列材料，并完成相应的任务．

尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题，在初中阶段，我们学习过五种基本尺规作图，并且运用基本尺规作图方法，结合图形性质可以作出更多的数学图形．

如图①，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，小明用尺规作底边 $B C$ 的垂直平分线的过程如下：

①以点A为圆心，小于 $A B$ 长为半径作弧，分别交 $A B ， A C$ 于点D ， E；

②分别以点D ， E为圆心，大于 $\frac{1}{2} D E$ 的长为半径作弧，两弧交于点P；

③作射线 $A P$ ，则 $A P$ 垂直平分 $B C$ ．

(1)、根据小明的作图方法，如图①，他得出“

A P

垂直平分

B C

”的依据是；

(2)、如图②，已知在四边形

A B C D

中，

A B = A D

，

∠ A B C = ∠ A D C

，求作对角线

B D

的垂直平分线，小明只用无刻度直尺作直线

A C

，就得到对角线

B D

的垂直平分线，请你帮助小明说明理由．

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10、如图， $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线， $D E ⊥ A B$ 于点E ．

(1)、用尺规完成以下基本作图：过点D作 $D F ⊥ A C$ 于点F ，连接 $E F$ 交 $A D$ 于点G ．（不写作法，保留作图痕迹）

(2)、在（1）中所作的图形中，求证： $A D ⊥ E F$ ．小强进行了如下的证明，请你帮小强完成相应的填空．
证明：（2）∵ $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线， $D E ⊥ A B$ ，，
∴ ，
在 $Rt △ A D E$ 和 $Rt △ A D F$ 中， $\{\begin{matrix} ______ \\ D E = D F \end{matrix}$ ，
∴ $Rt △ A D E ≌Rt △ A D F$ （ $HL$ ），
∴ ，而 $D E = D F$ ，
∴ $A D$ 垂直平分线段 $E F$ ，即 $A D ⊥ E F$ ．

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11、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ．

(1)、用尺规在边 $B C$ 上求作一点P ，使 $P A = P B$ （不写作法，保留作图痕迹）；

(2)、连接 $A P$ ，若 $A P$ 平分 $∠ C A B$ ，求 $∠ B =$ ．（直接写出）

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12、在 $△ A B C$ 中， $A B = C B$ ， $∠ A B C = 90 °$ ，点 $D$ 是 $A C$ 上一点， $A D = A B$ ，点 $E$ 是 $A B$ 上一点， $A E = C D$ ．

(1)、如图1，求证： $△ B D E$ 是等腰三角形．

(2)、如图2，过点 $E$ 作 $E F ⊥ A C$ 于点 $F$ ，求证： $E D$ 平分 $∠ F E B$ ．

(3)、如图3，延长 $E D$ ， $B C$ 交于点 $G$ ，求证：点 $C$ 在 $D G$ 的垂直平分线上．

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13、如图，在 $△ A B C$ 中，边 $A B$ 的垂直平分线分别交 $A B$ ， $B C$ 于点 $M$ ， $D$ ，边 $A C$ 的垂直平分线分别交 $A C$ ， $B C$ 于点 $N$ ， $E$ ， $M D$ ， $N E$ 相交于点 $O$ ，连接 $B O$ ， $C O$ ．

(1)、试判断点 $O$ 是否在 $B C$ 的垂直平分线上，并说明理由；

(2)、若 $△ A D E$ 的周长为8，求 $B C$ 的长；

(3)、若 $∠ B A C = 105 °$ ，求 $∠ B O C$ 的度数．

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14、如图， $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线， $D E$ ， $D F$ 分别是 $△ A B D$ 和 $△ A C D$ 的高．

(1)、求证： $A D$ 垂直平分 $E F$ ；

(2)、若 $A B = 3$ ， $A C = 2$ ， $△ A B C$ 的面积是 $4$ ，求 $D E$ ．

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15、如图，在 $△ A B C$ 中， $D E$ 是边 $B C$ 的垂直平分线，分别交边 $A C$ ， $B C$ 于点 $D$ ， $E$ ， $B F ⊥ A C$ ，且 $F$ 为线段 $A D$ 的中点，延长 $B F$ 与 $B C$ 的垂直平分线交于 $G$ 点，连接 $C G$ ．

(1)、若 $D$ 是 $A C$ 的中点，求证： $A C = 2 A B$ ；

(2)、若 $∠ A C B = 30 °$ ，求证： $△ B G C$ 为等边三角形．

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16、如图，在 $△ A B C$ 中， $C F$ 垂直平分 $A B$ 于点 $F$ ， $D E$ 是边 $A C$ 的垂直平分线交 $A C$ ， $C F$ ， $C B$ 于点 $D$ ， $O$ ， $E$ ，连接 $O A$ 、 $O B$ ．

(1)、求证： $△ O B C$ 为等腰三角形；

(2)、若 $∠ A C F = 25 °$ ，求 $∠ B O E$ 的度数．

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17、已知直线 $l$ 及位于其两侧的两点 $A$ ， $B$ ，如图

(1)、在图①中的直线 $l$ 上求一点 $P$ ，使 $P A = P B$ ；

(2)、在图②中的直线 $l$ 上求一点 $Q$ ，使直线 $l$ 平分 $∠ A Q B$ ；

(3)、能否在直线 $l$ 上找一点，使该点到点 $A$ ， $B$ 的距离之差的绝对值最大？若能，直接指出该点的位置，若不能，请说明理由．

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18、周末，老师带着同学们去北京植物园中的一二 $\cdot$ 九运动纪念广场游玩，这里有三座侧面为三角形的纪念亭，挺拔的建筑线条象征青年朝气蓬勃、积极向上的精神．基于纪念亭的几何特征，同学们编拟了如下的数学问题：如图，点 A ， B ， C ， D在同一条直线上，在四个论断“ $E A = E D ， E F ⊥ A D ， A B = D C$ ， $F B = F C$ 中选择三个作为已知条件，另一个作为结论，构成真命题（补充已知和求证），并进行证明．
已知：
求证：

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19、如图，村庄A ， B分别在笔直公路 $l$ 的两侧，一辆汽车在公路上行驶到什么位置时，它到A ， B两村庄的距离相等？请指出该位置．

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20、 2024年是新一轮全国文明城区创建工作启动之年，也是我区创城工作接续奋斗，深化之年．然而目前，一些小区内仍存在随意晾晒的现象，影响了小区环境，为解决小区“晾晒难”的问题，某小区物业公司采取如下措施：
如图1，在小区内道路 $l$ 旁设立“公共晾晒点” $O$ ，安装“共享晾衣架”，使得道路 $l$ 附近的两栋住宅楼 $A$ ， $B$ 到“公共晾晒点” $O$ 的距离相等．

(1)、在图2中利用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法），确定点 $O$ 的位置；

(2)、确定点 $O$ 位置的依据为．

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