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1、如图，点 $P$ 在 $∠ A O B$ 内， $M$ ， $N$ 分别是点 $P$ 关于 $A O$ ， $B O$ 的对称点， $M N$ 分别交 $A O$ ， $B O$ 于点 $E$ ， $F$ .若 $△ P E F$ 的周长等于 $20 c m$ ，求 $M N$ 的长.

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2、请按下列要求画图（每小问各画出一种即可）.

(1)、在图①中添加1个正方形，使它是轴对称图形但不是中心对称图形.

(2)、在图②中添加1个正方形，使它是中心对称图形但不是轴对称图形.

(3)、在图③中改变1个正方形的位置，从而得到一个新图形，使它既是中心对称图形，又是轴对称图形，在图④中画出符合条件的图形.

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3、如图，在直角三角形 $A B C$ 中， $∠ C = 90^{\circ}$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ， $A B = 5$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $B C$ ， $A C$ 边上的动点，则 $D E + E F + D F$ 的最小值是.

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4、已知直线 $l$ 是线段 $A B$ 的垂直平分线，点 $M$ ， $N$ 是直线 $l$ 上的两点，如果 $∠ N B A = 15^{\circ}$ ， $∠ M B A = 45^{\circ}$ ，那么 $∠ M A N =$ .

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5、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $D E ⊥ A B$ ， $△ A B C$ 的面积为 $S$ ， $A B + A C = a$ ，如果 $S = \frac{5}{2} a$ ，那么 $D E =$ .

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6、如图， $A B$ 左边是计算器上的数字“5”，若以直线 $A B$ 为对称轴，则它的轴对称图形是数字.

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7、如图，已知 $△ A B C$ ， $∠ A B C$ ， $∠ E A C$ 的平分线 $B P$ ， $A P$ 交于点 $P$ ，过点 $P$ 分别作 $P M ⊥ B E$ 于点 $M$ ， $P N ⊥ B F$ 于点 $N$ ，则下列结论中正确的有（）
$① C P$ 平分 $∠ A C F$ ； $② ∠ A B C + 2 ∠ A P C = 180^{\circ}$ ； $③ ∠ A C B = 2 ∠ A P B$ ； $④ S_{△ P A C} = S_{△ M A P} + S_{△ N C P}$ .

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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8、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A = 90^{\circ}$ ，点 $M$ 是 $B C$ 上一点， $A C = 3$ ， $A B = 4$ ， $B C = 5$ ，若点 $M_{1}$ 和点 $M$ 关于 $A B$ 对称，点 $M_{2}$ 和点 $M$ 关于 $A C$ 对称，则点 $M_{1}$ ， $M_{2}$ 之间的最小距离是（）

A、6 B、2.4 C、4.8 D、4

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9、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 90^{\circ}$ ，依据尺规作图痕迹，有如下三种说法：甲： $B D = D E$ ；乙： $∠ C D E = ∠ C A B$ ；丙： $A B + E C = A C$ .下列判断正确的是（）

A、只有甲对 B、只有乙对 C、只有丙对 D、三种都对

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10、如图， $△ A B C$ 中， $∠ C A B$ 和 $∠ C B A$ 的平分线交于点 $P$ ，若 $A B : B C : A C = 3 : 3 : 2$ ，则 $△ P A B$ ， $△ P B C$ ， $△ P A C$ 的面积之比为（）

A、 $2 : 3 : 3$ B、 $3 : 3 : 2$ C、 $4 : 9 : 9$ D、 $9 : 9 : 4$

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11、如图，已知 $△ A B C$ 与 $△ C D A$ 关于点 $O$ 成中心对称，过点 $O$ 作 $E F$ 分别交 $A D$ ， $B C$ 于点 $E$ ， $F$ .下面的结论：①点 $E$ 和点 $F$ ，点 $B$ 和点 $D$ 是关于点 $O$ 的对应点；②过点 $B$ ， $D$ 的直线必经过点 $O$ ；③四边形 $A B C D$ 是中心对称图形；④四边形 $D E O C$ 与四边形 $B F O A$ 的面积必相等； $⑤ △ A O E$ 与 $△ C O F$ 成中心对称.其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、5个

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12、如图，将 $△ A B C$ 沿直线 $D E$ 折叠后，使得点 $B$ 与点 $A$ 重合.已知 $A C = 5 c m$ ， $△ A D C$ 的周长为 $18 c m$ ，则 $B C$ 的长为（）

A、 $7 c m$ B、 $10 c m$ C、 $13 c m$ D、 $22 c m$

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13、如图所示，六边形 $A B C D E O$ 是以虚线 $l$ 为对称轴的轴对称图形，连接 $A E$ ，以下结论可能错误的是（）

A、 $A O = E O$ B、 $∠ 1 = ∠ 2$ C、 $A B = E D$ D、 $A E$ 垂直平分 $O C$

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14、如图，线段 $A B$ 外有两点 $C$ ， $D$ （在 $A B$ 同侧）使 $C A = C B$ ， $D A = D B$ ， $∠ A D B = 80^{\circ}$ ， $∠ C A D = 10^{\circ}$ ，则 $∠ A C B$ 等于（）

A、 $80^{\circ}$ B、 $90^{\circ}$ C、 $100^{\circ}$ D、 $110^{\circ}$

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15、如图，由图案①到图案②再到图案③的变化过程中，不可能用到的图形变化是（）

A、轴对称 B、旋转 C、中心对称 D、平移

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16、如图，要在一块三角形草坪上修建一个凉亭，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则位置应选在（）

A、三角形三条边的垂直平分线的交点处 B、三角形三条高的交点处 C、三角形三条中线的交点处 D、三角形三个内角的平分线的交点处

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17、下列以数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、科克曲线 B、赵爽弦图 C、莱洛三角形 D、笛卡尔心形线

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18、阅读与思考：配方思想，是初中数学重要的思想方法之一，用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式有 $a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 a b$ ， $a^{2} + b^{2} = (a - b)^{2} + 2 a b$ .用配方思想方法，解答下面问题：

(1)、已知 $x + \frac{1}{x} = 5$ ，求 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ 的值；

(2)、已知 $x = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$ ， $y = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$ ，求 $3 x^{2} - 2 x y + 3 y^{2}$ 的值；

(3)、已知 $\sqrt{a} - \sqrt{2 b} = 3$ ， $\sqrt{a b} = 2 (a \geq 0, b \geq 0)$ ，求 $a + 2 b$ 的值.

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19、观察下列算式：
$\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} = 1 + \frac{1}{1} - \frac{1}{2} = 1 \frac{1}{2}$ ，
$\sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = 1 \frac{1}{6}$ ，
$\sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} = 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = 1 \frac{1}{12}$ .
请你根据上面三个等式提供的信息，解决下列问题.

(1)、 $\sqrt{1 + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{5^{2}}} =$ ；

(2)、请你按照上面每个等式反映的规律，写出用 $n (n$ 为正整数 $)$ 表示的等式：；

(3)、利用上述规律计算： $\sqrt{\frac{50}{49} + \frac{1}{64}}$ （仿照上式写出过程）.

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20、石家庄市2024年口袋公园建设成效显著，推动完善“推窗见绿，出门进园”的绿化空间，提升了市民绿化感受度和获得感.在打造口袋公园的过程中，筛选出一块形状为长方形的空闲地块 $A B C D$ ，长 $A B$ 为 $8 \sqrt{2} m$ ，宽 $B C$ 为 $5 \sqrt{2} m$ ，现要在其上修建两块形状大小相同的长方形绿地（图中阴影部分），每块长方形绿地的长为 $(\sqrt{13} + 1) m$ ，宽为 $(\sqrt{13} - 1) m$ .

(1)、求长方形空闲地块 $A B C D$ 的周长.

(2)、除去修建绿地的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为25元/ $m^{2}$ 的地砖，要铺满整个通道，则购买地砖需要花费多少元?

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