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1、配方法是数学中重要的一种思想方法，它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法.这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题.

(1)、解决问题：
若 $x^{2} - 4 x + 3$ 可配方成( ${(x - m)}^{2} + n (m,$ n均为常数)，求m，n的值；

(2)、探究问题：
①已知 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 6 y + 10 = 0,$ 求x+y的值；
②已知 $s = x^{2} + 9 y^{2} + 4 x - 12 y + k$ (x，y都是整数，k是常数)，要使s的最小值为2，试求出 k的值.

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2、关于x 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a c \neq 0)$ 有以下命题：
①若a--b+c=0，则 $b^{2} - 4 a c \geq 0;$
②若该方程的两根分别为-3和1，则3a+c=0；
③若该方程有两个相等的实数根，则方程 $a x^{2} + b x + c = - 1$ 必有实数根；
④若r是该方程的一个根，则 $\frac{1}{7}$ 一定是方程 $c x^{2} + b x + a = 0$ 的一个根.
其中真命题是.(只需填写序号)

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3、实数m，n分别满足 $m^{2} - 3 m + 2 = 0, n^{2} - 3 n + 2 = 0,$ 且m≠n，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的值是.

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4、已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + b x + c = 0 .$

(1)、当c=b-2时，利用根的判别式判断方程根的情况；

(2)、若方程有两个相等的非零实数根，写出一组满足条件的b，c的值，并求此时方程的根.

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5、下面是杨老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的板书过程，请认真阅读并完成任务. $2 x^{2} - 3 x - 5 = 0 .$
解： $x^{2} - \frac{3}{2} x = \frac{5}{2},$ 第一步
$x^{2} - \frac{3}{2} x + {(\frac{3}{4})}^{2} = \frac{5}{2} + {(\frac{3}{4})}^{2},$ 第二步
${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{49}{16},$ 第三步
$x - \frac{3}{4} = \pm \frac{7}{4},$ 第四步
$x_{1} = \frac{5}{2}, x_{2} = - 1 .$ 第五步

(1)、任务一：①上述解方程的方法是(    )
A.直接开平方法  B.配方法
C.公式法  D.因式分解法
②第二步变形的依据是   ▲   .

(2)、任务二：请你按要求解下列方程：
① $x^{2} + 2 x - 3 = 0;$ (公式法)
② $3 {(x - 2)}^{2} = x^{2} - 4 .$ (因式分解法)

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6、在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为a※b=3(a+b)-5ab.根据这个规则，方程x※(x+1)=-1的解是( )

A、 $x = \frac{4}{5}$ B、x=1 C、 $x = - \frac{4}{5}$ 或. x=1 D、 $x = \frac{4}{5}$ 或x=1

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7、用配方法解一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 2 = 0,$ 可将方程变形为 ${(x - 2)}^{2} = n$ 的形式，则n的值是( )

A、0 B、2 C、4 D、6

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8、方程 $\frac{1}{2} x^{2} - 2 = 0$ 的根为( )

A、x=±1 B、x=±2 C、 $x = \pm \sqrt{2}$ D、 $x = \pm 2 \sqrt{2}$

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9、如图所示，AB 是⊙O的直径，BC，BD 是⊙O的两条弦，点 C 与点 D 在AB的两侧，E 是OB 上一点（ $(O E⟩ B E ）,$ 连结 OC，CE，且 $∠ B O C =$ $2 ∠ B C E .$

(1)、如图甲，若 $B E = 1, C E = \sqrt{5},$ 求⊙O的半径；

(2)、如图乙，若 $B D = 2 O E,$ 求证： $B D ‖ O C .$

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10、如图所示，已知正六边形ABCDEF 内接于⊙O，点M 在的边EF 上运动，若 $A B = 1,$ ，则线段 BM 的长度的取值范围是.

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11、如图所示，在⊙O中，AB 为直径，C 为圆上一点，将劣弧AC 沿弦AC 翻折交AB 于点D，连结CD.如果∠BAC=20°，那么∠BDC 的度数为（）

A、80° B、70° C、60° D、50°

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12、如图所示，抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2} - 4$ 与x轴交于A，B 两点，P 是以点C（0，3）为圆心、2为半径的圆上的动点，Q是线段PA 的中点，连结OQ，则线段OQ长的最大值是（）

A、3 B、 $\frac{\sqrt{41}}{2}$ C、 $\frac{7}{2}$ D、4

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13、如图所示，AD 是⊙O的直径，AB 是⊙O 的弦，半径OC⊥AB，连结CD，交OB 于点E，∠BOC=42°，则∠OED 的度数是（）

A、61° B、63° C、65° D、67

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14、如图所示，在⊙O中，弦AB 与CD 相交于点E， $A B = C D,$ ，连结AD，BC.求证：

(1)、 $\hat{A D} = \hat{B C} .$

(2)、AE=CE.

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15、已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，若∠OBC=28°，则∠A 的度数为.

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16、如图所示，一把三角尺的30°角的顶点 P 落在⊙O上，两边分别交⊙O于A，B 两点，若⊙O 的直径为8，则弦AB 的长为.

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17、如图所示为一个指纹锁的实物图和部分设计图，则AB 所在圆的半径为.

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18、如图所示，在平面直角坐标系中，过点 A（1，2），B（3，2），C（4，1）作一圆弧，则该弧所在圆的圆心坐标为.

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19、如图所示，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C 和点 D，则tan∠ADC=.

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20、如图所示，⊙O 的圆心O与正方形的中心重合，已知⊙O 的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $4 + 2 \sqrt{2}$ D、 $4 - 2 \sqrt{2}$

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