相关试卷

1、将x²+2x﹣35分解因式，我们可以按下面方法：
①竖分二次项与常数项：x²＝x•x ， ﹣35＝（﹣5）×（+7）．
②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）：
③横向写出两因式：x²+2x﹣35＝（x+7）（x﹣5）．
我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫“十字相乘法”．
根据乘法原理：若ab＝0，则a＝0或b＝0．所以方程x²+2x﹣35＝0可以这样求解：方程左边因式分解得（x+7）（x﹣5）＝0，所以原方程的解为x₁＝﹣7，x₂＝5．
【解决问题】

(1)、分解因式：x²+5x+4＝（x+（x+

(2)、试用上述方法和原理解下列方程：
①x²﹣10x+21＝0；
②2024x²+2019x﹣5＝0．

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2、甲、乙两组的测试成绩（单位：分）如下：
甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98；
乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95．

(1)、求甲组成绩的四分位数。
$m_{25} =$ $m_{50} =$ $m_{75} =$

(2)、请结合箱线图，写出两条你对这两组测试成绩的分析结论。

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3、小明同学解一元二次方程2x²﹣8x﹣18＝0的过程如下：
解；移项，得2x²﹣8x＝18①
两边同除以2，得x²﹣4x＝9②
配方，得x²﹣4x+4＝9③
即（x﹣2）²＝9④
∴x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3⑤
∴x₁＝5，x₂＝﹣1⑥

(1)、小明解方程的方法是 ▲ ．（填字母）
A ．直接开平方法，B ．配方法，C ．公式法，D ．因式分解法．

(2)、他的求解过程从步骤（填序号）开始出现错误；请你写出正确的解答过程．

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4、解下列方程：

(1)、x²﹣5x＝0；

(2)、x²+x﹣1＝0．

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5、如图，把一副三角板按照图1摆放（点C与点E重合），点B ， C（E），F在同一直线上．∠ACB＝∠DFE＝90°，∠A＝30°，∠DEF＝45°，BC＝EF＝6cm ， BM $= \frac{1}{3}$ AB ． △DEF从图1的位置出发，以2cm/s的速度沿CB方向匀速运动，如图2，DE与AC相交于点N ，连结MN ．当点D运动到AC边上时，△DEF停止运动．设运动时间为t秒，当△AMN是等腰三角形时，t的值为．

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6、如图，把面积为50和18的两个正方形放入长方形ABCD中，若S₁﹣S₂＝8，则AB＝．

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7、已知关于x的一元二次方程x²+（2k﹣1）x+k²﹣1＝0有两个实数根x₁ ， x₂ ，若x₁ ， x₂满足x₁x₂+x₁+x₂＝0，则k的值为

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8、已知x＝m是一元二次方程x²﹣4x+1＝0的根，则24﹣4m+m²的值为．

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9、若 $\sqrt{x + 7}$ 有意义，则x的取值范围为．

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10、我们称形如 ${k (x - h)}^{2} + p = 0$ （ $k \neq 0$ ）的方程为关于x的“标准二次方程”。若两个一元二次方程可以写成 ${k_{1} (x - h)}^{2} + p = 0$ 和 ${k_{2} (x - h)}^{2} + p = 0$ 的形式（ $h$ 和 $p$ 相同， $k_{1} \neq k_{2}$ ），则称它们是“伙伴方程”．如2（x﹣3）²﹣4＝0与3（x﹣3）²﹣4＝0就是“伙伴方程”．已知2（x﹣1）²﹣1＝0与（a+1）x²+（b﹣2）x﹣2＝0是伙伴方程，那么代数式ax²+bx+2026能取的最大值是（　　）

A、2025 B、2026 C、2027 D、2028

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11、我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程x²+2x﹣35＝0即x（x+2）＝35为例，记载的方法如下：构造如图所示的正方形，大正方形的面积是（x+x+2）² ，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+2² ，因此x＝5，在下面四个选项中，能正确说明方程x²﹣5x﹣6＝0解法的构图是（　　）

A、 B、 C、D．

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12、在对一组样本数据进行分析时，小明列出了方差的计算公式： $s^{2} = \frac{1}{5} [{(8 - \bar{x})}^{2} + {(6 - \bar{x})}^{2} + {(9 - \bar{x})}^{2} + {(6 - \bar{x})}^{2} + {(11 - \bar{x})}^{2}]$ ，由公式提供的信息，判断下列关于样本的说法错误的是（）

A、平均数是8 B、众数是6 C、中位数是9 D、方差是3.6

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13、已知关于 $x$ 的方程 $2 x^{2} + p x + q = 0$ 的两个根分别为 $x_{1} = 3 ， x_{2} = - 4$ ，则二次三项式 $2 x^{2} + p x + q$ 可因式分解为（　　）

A、 $（ x + 3 ）（ x ﹣ 4 ）$ B、 $（ x ﹣ 3 ）（ x + 4 ）$ C、 $2 （ x + 3 ）（ x ﹣ 4 ）$ D、 $2 （ x ﹣ 3 ）（ x + 4 ）$

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14、我市某校为增强学生的身体素质，特在全校开展足球赛，赛制为单循环形式（各年级自行组队，且每两个队之间赛一场），已知计划安排10场比赛，设应邀参加的足球队有x个，则可列方程为（　　）

A、x（x﹣1）＝10 B、x（x+1）＝10 C、x（x﹣1）＝10×2 D、x（x+1）＝10×2

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15、2026年绍兴市举办“古城新韵”文化传承主题演讲比赛，将选手的“形象、表达、内容”三项得分按1：3：6的比例计入最终成绩。选手小越三项得分分别为9分、8分、10分，则小越的最终成绩为（　　）

A、9.3分 B、8.9分 C、9分 D、9.6分

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16、已知关于x的一元二次方程x²﹣mx﹣2＝0，则该方程解的情况是（　　）

A、有两个相等的实数根 B、有两个不相等的实数根 C、没有实数根 D、只有一个解

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17、下列方程是一元二次方程的是（　　）

A、ax²+bx+c＝0 B、x²+3x＝x²﹣1 C、x²+3x＝0 D、 $x + \frac{1}{x} = 2$

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18、定义：对于一元二次方程。 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0),$ 设其两个实数根为 x₁ ， X₂。若存在正实数 k，使得|x₁|+|x₂|=k|x₁+x₂|，则称该方程为“和谐方程”，k称为“和谐系数”。

(1)、已知关于 x的方程 $x^{2} - (m^{2} + 1) x + (m^{2} - 1) = 0$ 是“和谐方程”，其中 m为实数，设两个实数根为 X1，X2。
①当m=2时，则 k=    ▲        。
②若 k=1，记 $S = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 1},$ 求S的最小值，并求此时m的值。
③以下是对该和谐方程的判断，其中正确的有    ▲            。（多选题)
A. 若 $k = \sqrt{5},$ 则 m=0.     B. 当k=1时，则. $x_{1} \cdot X_{2} > 0 .$
C. 当k>1时，则. $x_{1} \cdot x_{2} < 0 .$
D. 存在一个实数 m，使得该方程和谐系数 k=1和 $k = \sqrt{3}$ 同时满足.
E. 对于任意实数 m，总存在正实数 k，使方程是“和谐方程”.

(2)、设关于 x的一元二次方程（ $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0^{'})$ 是“和谐方程”，k为“和谐系数”，且k>1。试探究 a，b，c，k之间的关系式，并予以证明。

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19、如图，在四边形 ABCD中，AB∥CD，∠B=∠D，AB<BC，AE⊥BC于点 E，点 P是 BC上的动点，连接AP.

(1)、证明：四边形 ABCD是平行四边形；

(2)、若 $B P = 3, A P = \sqrt{5}, C D = 2 \sqrt{2},$ 求 PE的长；

(3)、在题（2）的基础上，如图2，过点 P作 PF⊥AP交 CD于点 F，过点 B作 BH⊥AP于点 H，交 AE于点 N，若 BC=4，求 CF的长。

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20、随着"科技兴农，智慧农业"理念的普及，农业无人机正逐渐成为现代农业的重要装备。

(1)、某品牌农业无人机2026年1月份销售量为3千架。随着春耕备耕需求激增，该品牌无人机的销售量逐月递增，3月份的销售量达到4. 32千架。求从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长率。

(2)、某农业科技服务公司购进一批农业无人机进行出售，进价为1. 5万元/架，出售一段时间后发现：当售价为 2. 5万元/架时，平均每周售出80架；售价每降低0. 05万元，平均每周多售出1架，若该公司计划下调售价使平均每周的利润达到 45万元。求下调后每架无人机的售价。

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