相关试卷

1、下列命题中，属于真命题的是（）

A、两直线被第三条直线所截，内错角相等 B、若 $a^{2} = b^{2}$ ，则 $a = b$ C、若 $a < b$ ，则 $- 2 a > - 2 b$ D、一个数能被3整除，则也一定能被6整除

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2、直线 $l_{1} : y = k x + b$ 分别与 $x$ 轴， $y$ 轴交于点 $D$ 、 $C$ ，与反比例函数 $y = \frac{a}{x} (x > 0)$ 的图象交于点 $A (1, 3)$ 、 $B (3, m)$ ．

(1)、求 $a$ 的值及直线 $l_{1}$ 的解析式；

(2)、若点 $P$ 是反比例函数在第一象限直线 $A B$ 上方一点， $△ A B P$ 面积为4时，求点 $P$ 坐标；

(3)、如图2，将反比例函数 $y = \frac{a}{x}$ 的图象沿直线 $l_{1}$ 翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线 $l_{2} : y = - x + t$ 与此封闭图形有交点，请直接写出满足条件的 $t$ 的取值范围．

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3、在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = 2$ ，点 $D$ 在 $B C$ 所在的直线上运动，作 $∠ A D E = 45 °$ （ $A$ 、 $D$ 、 $E$ 按逆时针方向）．

(1)、如图 $1$ ，若点 $D$ 在线段 $B C$ 上运动， $D E$ 交 $A C$ 于 $E$ ．
$①$ 求证： $△ A B D ∽ △ D C E$ ；
$②$ 当 $△ A D E$ 是等腰三角形时，求 $A E$ 的长．

(2)、如图 $2$ ，若点 $D$ 在 $B C$ 的延长线上运动， $D E$ 的反向延长线与 $A C$ 的延长线相交于点 $E^{'}$ ，是否存在点 $D$ ，使 $△ A D E^{'}$ 是等腰三角形？若存在，写出所有点 $D$ 的位置；若不存在，请简要说明理由；

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4、如图， $Rt △ A B C$ 的两条直角边 $A B = 8 cm$ ， $A C = 6 cm$ ，点D沿 $A B$ 从A向B运动，速度是 $1cm$ /秒，同时，点E沿 $B C$ 从B向C运动，速度为 $2cm$ /秒．动点E到达点C时运动终止连接 $D E$ 、 $C D$ 、 $A E$ ．

(1)、若 $△ B D E$ 与 $△ A B C$ 相似，求动点的运动时间；

(2)、在运动过程中，当 $C D ⊥ D E$ 时，求动点的运动时间；

(3)、在运动的过程中， $D E$ 能否为 $△ A B C$ 的中位线？说明理由．

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5、请阅读下列材料：
问题：已知方程 $x^{2} + x - 1 = 0$ ，求一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为 $y$ ，则 $y = 2 x$ ，所以 $x = \frac{y}{2}$ ．
把 $x = \frac{y}{2}$ 代入已知方程，得 ${(\frac{y}{2})}^{2} + \frac{y}{2} - 1 = 0$
化简，得 $y^{2} + 2 y - 4 = 0$
故所求方程为 $y^{2} + 2 y - 4 = 0$ ．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）．
（1）已知方程 $x^{2} + x - 1 = 0$ ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：．
（2）已知关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；
（3）已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - m x + n = 0$ 有两个实数根，求一个方程，使它的根分别是已知方程根的平方．

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6、如图△ABC中，D、E是AB、AC上点，AB＝7.8，AD＝3，AC＝6，AE＝3.9，求证：△ADE与△ACB相似.

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7、如图，在 $△ A B C$ 中，D，F是 $A B$ 边上的三等分点，E，G是 $A C$ 边上的三等分点．若 $D E = 2$ ，则 $B C =$ ．

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8、如图，一次函数与反比例的图象相交于A、B两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是．

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9、已知反比例函数 $y = \frac{2 m + 1}{x}$ ，当 $x > 0$ 时，y的值随x值的增大而减小，则m取值范围是．

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10、已知点 $A (x_{1}, - 2)$ ， $B (x_{2}, - 1)$ ， $C (x_{3}, 1)$ 都在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k < 0)$ 的图像上，则 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $x_{3} < x_{1} < x_{2}$ B、 $x_{2} < x_{1} < x_{3}$ C、 $x_{1} < x_{3} < x_{2}$ D、 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$

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11、下列方程是一元二次方程的是（）

A、 $x + 1 = 0$ B、 $\frac{1}{x} + x = 2$ C、 $x + 2 y = 3$ D、 $x^{2} + 4 x + 5 = 0$

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12、已知方程 $2 x + y = 4$ 的一个解是 $\{\begin{array}{l} x = m \\ y = - 1 \end{array}$ ，则m的值为（）

A、2 B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、1

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13、如图，三条线段的长度分别为a、b、c，其中 $a < b < c$ ，且这三条线段首尾顺次连接能构成三角形．

(1)、a、b、c只需要满足条件______即可．（只填一个序号）
① $a + b > c$ ② $a + c > b$ ③ $b + c > a$

(2)、若 $a = 2$ ， $c = 5$ ， b为整数，求构成的三角形的周长．

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14、我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（）

A、7，8，9 B、4，5，6 C、5，12，13 D、8，9，10

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15、综合与实践
如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ，将线段 $B C$ 绕点B顺时针旋转 $90 °$ 得到线段 $B D$ ，作 $D E ⊥ A B$ 交 $A B$ 的延长线于点E．

(1)、【观察感知】
如图2，通过观察，线段 $A B$ 与 $D E$ 的数量关系是；

(2)、【问题解决】
如图3，连接 $C D$ 并延长交 $A B$ 的延长线于点F，若 $A B = 2$ ， $A C = 6$ ，求 $△ B D F$ 的面积；

(3)、【类比迁移】
在（2）的条件下，连接 $C E$ 交 $B D$ 于点N，则 $\frac{B N}{B C} =$ ；

(4)、【拓展延伸】
在（2）的条件下，在直线 $A B$ 上找点P，使 $\tan ∠ B C P = \frac{1}{3}$ ，请直接写出线段 $B P$ 的长度．

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16、阅读下列材料，并完成相应学习任务：
古希腊著名的毕达哥拉斯学派发现，一定数目的点或圆在等距离排列下可以形成一个等边三角形，他们把这样的数称之为三角形数．如用1，3，6，10，15，21，…数目的石子就可以排成如图1所示的等边三角形，因而这样的数就是三角形数．所有的三角形数都具有如图2所示的规律．

学习任务：请用一元二次方程的有关知识，解决下列问题：

(1)、根据此规律可知第 $n$ 个三角形数是____________；（用含 $n$ 的代数式表示）

(2)、请判断 $78$ 是第几个三角形数？写出解答过程；

(3)、若相邻两个三角形数的和是 $121$ ，则这两个三角形数分别是多少？请直接写出结果．

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17、已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (2 k + 1) x + k^{2} + k = 0$ ．

(1)、求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)、若 $△ A B C$ 的两边 $A B$ ， $A C$ 的长是这个方程的两个实数根，第三边 $B C$ 的长为5，
①若 $k = 3$ 时，请判断 $△ A B C$ 的形状并说明理由；
②若 $△ A B C$ 是等腰三角形，求等腰三角形的周长．

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18、如图6个大小相同的小正方形，恰好放置在三角形 $A B C$ 中，若小正方形的边长为1，则：（1） $\tan B =$ ；（2） $B C =$ ．

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19、关于x的方程

x (x - 1) = 3 (x - 1)

，下列解法完全正确的是（）

甲

乙

丙

丁

两边同时除以 $(x - 1)$ 得到 $x = 3$ ．

移项得：

$x (x - 1) - 3 (x - 1) = 0$ ，

∴ $(x - 1) (x - 3) = 0$ ，

∴ $x - 1 = 0$ 或 $x - 3 = 0$ ，

∴ $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 3$ ．

整理得 $x^{2} - 4 x = - 3$

∵ $a = 1$ ， $b = - 4$ ， $c = - 3$ ，

∴ $Δ = b^{2} - 4 a c = 28$

∴ $x = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2} = 2 \pm \sqrt{7}$

∴ $x_{1} = 2 + \sqrt{7}$ ， $x_{2} = 2 - \sqrt{7}$ ．

整理得 $x^{2} - 4 x = - 3$

配方得：

$x^{2} - 4 x + 4 = 1$ ，

∴ ${(x - 2)}^{2} = 1$ ，

∴ $x - 2 = \pm 1$ ，

∴ $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 3$ ．

A、甲和乙 B、乙和丙 C、乙和丁 D、甲和丁

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20、如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅垂高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长 $5 m$ 的竹竿 $A C$ 斜靠在石坝旁，量出杆长 $1 m$ 处的 $D$ 点离地面的高度 $D E = 0.6 m$ ，又量得杆底与坝脚的距离 $A B = 3 m$ ，则石坝的坡度为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、3 C、 $\frac{3}{5}$ D、4

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