相关试卷

1、如图1，一次函数 $y = k x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{12}{x} (x > 0)$ 的图象交于点 $A (a, 3)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B (0, 1)$ ．

(1)、求直线 $A B$ 的解析式；

(2)、在 $x$ 轴上有一点 $D (6, 0)$ ，直线 $A D$ 与反比例函数图象交于点 $C$ ，连接 $C B$ ．求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、如图2，以线段 $A B$ 为对角线作正方形 $A E B F$ ，点 $G$ 是线段 $B F$ 上的一动点，点 $N$ 是线段 $A B$ 上的一动点，连接 $G N$ 、 $F N$ ，使 $∠ G N F = 2 ∠ A F N$ ，当点 $G$ 运动到 $B F$ 的三等分点时，求点 $N$ 的坐标．

(4)、如图3，在（3）的条件下，在正方形 $A E B F$ 外部，以 $A F$ 为边向外作正方形 $A F M N$ ，连接 $A M$ ，点 $P$ 是线段 $A M$ 上的一个动点，过点 $P$ 作 $P M^{'} ⊥ x$ 轴，交直线 $A B$ 于点 $Q$ ．当 $△ B P Q$ 的面积取得最大值时，过点 $Q$ 作直线 $l$ ，使得直线 $l$ 与反比例函数 $y = \frac{12}{x}$ 的图象有且只有一个交点．请直接写出直线 $l$ 的解析式．

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2、如图1，在四边形 $A B C D$ 中，已知 $∠ B A D = ∠ A B C = ∠ B D C = 90 °, A D = 2, A B = 4$ ．

(1)、求 $C D$ 的长；

(2)、在线段 $C D$ 上取一点 $E$ ，连接 $B E$ ．将四边形 $A B E D$ 沿 $B E$ 翻折得到四边形 $A^{'} B E D^{'}$ ，其中 $A^{'}, D^{'}$ 分别是 $A, D$ 的对应点．
①当点 $D^{'}$ 恰好落在边 $B C$ 上，延长 $A^{'} D^{'}$ 交 $C D$ 于点 $F$ ，如图2．判断四边形 $D B A^{'} F$ 的形状，并说明理由；
②请在图3用尺规作图画出点 $A^{'}$ 恰好落在边 $B C$ 上时 $E$ 的位置，并求出此时 $D E$ 的长度．

(3)、如图4，连接 $D D^{'}$ 交 $B E$ 于点 $P$ ， $M$ 为 $C D$ 中点，连接 $M P$ ．当点 $E$ 在线段 $C D$ 上运动时，直接写出当 $∠ D M P$ 最大时 $\tan ∠ D M P$ 的值为___________．

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3、综合与实践
代数推理指设定一定的条件下，依据代数的定义、公式、运算法则、等式与不等式的性质等证明已知结论．
【感知问题】小明计算的时候，发现对于任意两个连续的正奇数m和n，它们的乘积 $q =$ 较小数的平方+较小数的2倍．
【举例验证】为验证猜想的正确与否，小明又例举了几组数据：
当 $m = 1, n = 3$ 时， $q = m n = 1^{2} + 2 \times 1 = 3$ ；
当 $m = 3, n = 5$ 时， $q = m n = 3^{2} + 2 \times 3 = 15$ ；
当 $m = 5, n = 7$ 时， $q = m n = 5^{2} + 2 \times 5 = 35$ ；
……
【推理证明】小明做了如下证明：
设两个连续的正奇数分别为 $m = 2 k - 1$ （ $k > 0$ ， k为整数）和 $n = 2 k + 1$ ，则 $m < n, q = m n = (2 k - 1) (2 k + 1) = (2 k - 1) (2 k - 1 + 2) = {(2 k - 1)}^{2} + 2 (2 k - 1) = m^{2} + 2 m, m < n$ ，两个连续的正奇数m和n的乘积 $q =$ 较小数的平方+较小数的2倍．

(1)、【类比猜想】小红提出：任意两个连续的正奇数m和n，它们的乘积 $q =$ 较大数的平方 $-$ 较大数的2倍．请举例验证并推理证明．

(2)、【深入思考】若 $p = \sqrt{q + 2 n} + \sqrt{q - 2 m}$ （m，n为连续的正奇数，q为它们的乘积），求证p能被4整除．

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4、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C, D$ 是半圆 $O$ 的三等分点，过点 $C$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $A D$ 的延长线于点 $E$ ，过点 $D$ 作 $D F ⊥ A B$ 于点 $F$ ，交 $⊙ O$ 于点 $H$ ，连接 $D C, A C$ ．

(1)、求证： $∠ A E C = 90 °$ ；

(2)、若 $D C = 2$ ，求 $D H$ 的长．

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5、某大型超市为优化停车收费标准，需了解车辆在本超市的停车场内停车一次的时长（简称：停车时长）的情况．超市的管理部门随机采集了该停车场的60个停车时长数据（单位：分钟），并将数据整理，绘制了统计图表：
组别
停车时长x/分钟
组内平均停车时长/分钟
A
$0 < x \leq 30$
15
B
$30 < x \leq 60$
47
C
$60 < x \leq 90$
80
D
$90 < x \leq 120$
105
E
$x > 120$
200
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、请补全条形统计图；这60个数据的中位数落在______组；

(2)、求本次采集的这60个数据的平均数；

(3)、如果超市想对停车时长不超过60分钟的车辆免收停车费，试估计该停车场内1000辆车中，有多少辆车免收停车费？

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6、快递仓库使用某型号机器人分拣货物，已知一台机器人的工作效率相当于一名工人的工作效率的15倍，用这台机器人分拣6000件货物比20名工人分拣6000件货物慢 $\frac{1}{2}$ 小时．求一名工人和这台机器人每小时分别可分拣多少件货物？

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7、图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架 $B C$ 连接靠背 $A B$ 和小桌板 $C D$ ，点 $E$ 是杯托处，此时靠背 $A B$ 垂直于地面，小桌板 $C D$ 平行于地面，测得 $B C = 38 cm$ ， $∠ A B C = 24 °$ ．求点 $C$ 到靠背 $A B$ 的距离．（精确到 $0.1 cm$ ）其中 $\sin 24 ° \approx 0.41, \cos 24 ° \approx 0.91, \tan 24 ° \approx 0.45$ ．

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8、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $D$ 在线段 $B C$ 上，且 $∠ B A D = 45 °$ ，若 $A C = 4, C D = 1$ ，则 $B D$ 的长为．

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9、若关于 $x, y$ 的方程组 $\{\begin{cases} 2 x + y = m + 1 \\ x + 2 y = n \end{cases}$ 的解满足 $x + y = 1$ ，则 $3^{m} \times 3^{n}$ 的值为．

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10、计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 1} + 4 cos 45 ° - \sqrt{8} + {(2023 - π)}^{0} =$ ．

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11、多项式 $π r^{2} h + π r^{3}$ 中各项的公因式是．

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12、如图（a），在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C H$ 为边 $A B$ 的高， $A C = 3$ ， $E$ ， $F$ 分别为边 $A C$ ， $B C$ 上的动点，且 $E H ⊥ F H$ ．设 $C E$ 的长为 $x$ ， $△ C E F$ 的面积为 $y$ ，图（b）为点 $E$ 运动时 $y$ 随 $x$ 变化的关系图象，则 $A B$ 的长度为（）

A、4 B、5 C、 $3 \sqrt{2}$ D、6

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13、若正多边形的一个内角是 $160 °$ ，则该多边形的边数是（）

A、十二 B、十八 C、十 D、十六

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14、将不等式 $x + 1 \geq 2$ 的解集表示在数轴上，正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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15、化简 $\sqrt{10} \times \sqrt{40}$ 的结果是（）

A、10 B、20 C、40 D、 $\sqrt{50}$

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16、在一次数学测验中，比平均分高5分记作 $+ 5$ 分，那么比平均分低8分应记作（）

A、 $- 8$ B、 $+ 8$ C、 $- 8$ 分 D、8分

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17、如图1， $A C$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A D$ 是 $⊙ O$ 的弦， $∠ A D C$ 的平分线 $D B$ 交 $⊙ O$ 于点B，交 $A C$ 于M，连接 $A B 、 C B$ ．

(1)、填空： $\frac{A D^{2}}{A B^{2}} + \frac{C D^{2}}{C B^{2}} =$ __________， $\frac{A D}{B D} + \frac{C D}{B D} =$ __________， $\frac{D M}{A D} + \frac{D M}{C D} =$ __________；（直接将结果写在相应的横线上）

(2)、如图2，过点D作 $D N ⊥ A C$ ，垂足为N，若 $A D = 2 \sqrt{5} C N$ ，求 $tan ∠ A B D$ 的值；

(3)、如图3，记 $D C = m$ ， $D A = n$ ，
①试用含m，n的式子表示 $D M \cdot M B$ ；
②若点I是 $△ A C D$ 的内心，试用含m，n的式子表示 $\frac{I M}{I D}$ ．

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18、我们约定：一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 与一元二次方程 $c x^{2} + b x + a = 0 (c \neq 0)$ 互为“轮转对称方程”．二次函数 $y_{1} = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与二次函数 $y_{2} = c x^{2} + b x + a (c \neq 0)$ 互为“轮转对称函数”．

(1)、直接写出 $3 x^{2} - 2 x - 1 = 0$ 的“轮转对称方程”，并解出这个“轮转对称方程”；

(2)、对于任意非零实数m，n，点 $P (m, t)$ 与点 $Q (n, t) (m \neq n)$ 始终在关于x的函数 $y_{1} = x^{2} + m x + n$ 的图象上运动，函数 $y_{2}$ 与 $y_{1}$ 互为“轮转对称函数”．
①求函数 $y_{2}$ 的图象的对称轴；
②函数 $y_{2}$ 的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；

(3)、若关于x的二次函数 $y_{1} = a x^{2} + b x + c$ 的图象经过平面直角坐标系中三个象限， $a + c > 0$ 且 $c \geq a$ ，其“轮转对称函数”的图象与x轴交于A、B两点，顶点为点D，与y轴交于点C，点M是 $A B$ 的中点，点O是坐标原点．已知 $\frac{1}{2 O A} - \frac{1}{2 O B} = \frac{M D}{O C}$ ，试求： $\frac{b^{2} - 2 a^{2}}{c^{2}}$ 的最大值．

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19、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $B C$ 于点E，点D为 $A C$ 的中点，连接 $D E$ ．

(1)、求证： $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $C E = 1$ ， $O A = \sqrt{3}$ ，求 $∠ A C B$ 的度数．

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20、某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．

(1)、求每台电冰箱与空调的进价分别是多少；

(2)、现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13200元，请分析合理的方案共有多少种，并确定获利最大的方案以及最大利润．

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组别	停车时长x/分钟	组内平均停车时长/分钟
A	$0 < x \leq 30$	15
B	$30 < x \leq 60$	47
C	$60 < x \leq 90$	80
D	$90 < x \leq 120$	105
E	$x > 120$	200