相关试卷

1、若 $a < b$ ，则下列式子中正确的是（）

A、 $a - 2 > b - 2$ B、 $3 a > 3 b$ C、 $- 2 a > - 2 b$ D、 $\frac{a}{7} > \frac{b}{7}$

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2、学科实践
驱动任务：用数学的眼光观察现实世界
研究步骤：
a．某同学观察道路上的隔离栏（如图1）发现，各个竖杆上涂有颜色部分的顶端及点A、B所在曲线呈抛物线形（如图2，栏杆宽度忽略不计）；
b．隔离栏 $A B$ 长为 $2.6 m$ ，隔离栏顶端G距竖杆底部A的距离 $A G = 0.7 m$ ，隔离栏 $A B$ 被12根竖杆等分成13份，左起第5根涂色竖杆涂色部分的高度 $C D = 0.4 m$ ；
c．以点A为坐标原点， $A B$ 所在直线为x轴， $A G$ 所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
问题解决：请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务：

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、若从隔离栏的顶端G处向点H沿水平方向拉一条长为 $2.6 m$ 的矩形横幅，横幅上边缘沿水平方向与点G平齐，为了不遮挡隔离栏上的涂色部分，则横幅的最大宽度为多少米？

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3、已知 $△ A B C$ 是等边三角形，点D在射线 $B C$ 上（与点B，C不重合），点D关于直线 $A C$ 的对称点为点E，连接 $A D ， A E ， C E ， D E$ ．

(1)、如图1，当点D为线段 $B C$ 的中点时，求证： $△ A D E$ 是等边三角形；

(2)、当点D在线段 $B C$ 的延长线上时，连接 $B E$ ， F为线段 $B E$ 的中点，连接 $C F$ ．根据题意在图2中补全图形，用等式表示线段 $A D$ 与 $C F$ 的数量关系，并证明．

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4、如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ，以边 $B C$ 为直径作 $⊙ O$ 交 $A B$ 于点 $D$ ， $D E$ 为 $⊙ O$ 的切线交 $A C$ 于点 $E$ ．

(1)、求证： $A C ⊥ D E$ ；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为 $5 c m$ ， $A D = 8 c m$ ，求 $C E$ 的长．

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5、某体育用品商店计划购进乒乓球拍和羽毛球拍共200套进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过120套；已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费105元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费255元，乒乓球拍售价为50元/套，羽毛球拍售价为80元/套．

(1)、分别求出每套乒乓球拍和羽毛球拍的进价是多少元；

(2)、商店根据以往销售经验，决定购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的一半，请你求出购进乒乓球拍数量的范围，以及如何进货才能使这批体育用品全部售完时，获利最大？

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6、某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A.5G通讯：B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济；E．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了统计图．请结合图中的信息解决下列问题：

(1)、在这次活动中，调查的居民共有 ___________人；

(2)、将条形统计图补充完整；

(3)、扇形统计图中的 $a =$ ___________，D所在扇形的圆心角是 ___________度．

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7、计算：

(1)、 $|\sqrt{8} - 2| + {(π - 2026)}^{0} + {(- \frac{1}{2})}^{- 2} - 2 \cos 60 °$ ；

(2)、先化简，再求值： $(1 - \frac{5}{x + 4}) \div \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x + 4}$ ，其中 $x$ 满足 $x^{2} - 2 x - 24 = 0$ ．

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8、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ D C$ ， $A D ⊥ D C$ ， $A B = 4$ ， $A D = D C = 2$ ， $E$ 是线段 $A D$ 的中点， $F$ 是线段 $A B$ 上的一个动点．现将 $△ A E F$ 沿 $E F$ 所在直线翻折得到 $△ A^{'} E F$ （如图的所有点在同一平面内），连接 $A B$ ， $A C$ ，则 $△ A^{'} B C$ 面积的最小值为．

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9、如图是装满了液体的高脚杯示意图（如图①），用去一部分液体后如图②所示，此时液面 $A B$ 的宽度是 $cm$ ．

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10、如图，平行光线 $A B$ 和 $C D$ 经过凹面镜反射后汇聚于点E，若 $∠ A B E = 50 °$ ， $∠ C D E = 35 °$ ，则 $∠ B E D$ 的度数是

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11、如图，点 $A ， B ， C$ 在 $⊙ O$ 上，点 $D$ 为 $⊙ O$ 外一点， $∠ A O B = 50 °$ ， $B C = \sqrt{2} O A$ ，则 $∠ D$ 的度数可能是（）

A、 $80 °$ B、 $75 °$ C、 $70 °$ D、 $67 °$

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12、抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a$ ， $b$ ， $c$ 为常数， $a < 0$ ）经过 $A (2, 0)$ ， $B (- 4, 0)$ 两点，下列四个结论：
①一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根为 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = - 4$ ；
②若点 $C (- 5, y_{1})$ ， $D (π, y_{2})$ 在该抛物线上，则 $y_{1} < y_{2}$ ；
③对于任意实数 $t$ ，总有 $a t^{2} + b t \leq a - b$ ；
④对于 $a$ 的每一个确定值，若一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = p$ （ $p$ 为常数， $p > 0$ ）的根为整数，则 $p$ 的值只有两个．其中正确的结论有几个（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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13、赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形组成），如图（1）类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设 $D F = 3 A F$ ，则图中阴影部分与空白部分面积之比为（　　）

A、 $\frac{7}{9}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{3}{7}$

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14、某校课后服务期间开展 $AI$ 大模型体验活动，老师在电脑上下载了：豆包、千问、元宝、文心一言四个不同的软件，小美和小好两位同学各自任选其中一个体验，则他们选择同一个 $AI$ 的概率是（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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15、若关于 $x$ 的方程 $k x^{2} - 2 x + 3 = 0$ 有实数根，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $k \leq \frac{1}{3}$ B、 $0 < k \leq \frac{1}{3}$ C、 $k \leq \frac{1}{3}$ 且 $k \neq 0$ D、 $k \geq 3$

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16、对于一些立体图形的问题，常把它们转化为平面图形来研究．从不同方向看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形．如图是一个工件的立体图，从前面看它得到的平面图形是（）

A、 B、 C、 D、

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17、一个数的相反数是它本身，这个数是（）

A、1 B、 $- 1$ C、0 D、无法确定

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18、综合与实践
为践行五育融合，提升学生实践能力，某校开展了“劳动周”主题实践活动．如图是该学校劳动实践园地截面示意图，其中 $A B$ 为该园地斜坡坡面所在直线， $O B$ ， $O A$ 分别表示斜坡在竖直平面内的铅直高度和水平宽度．斜坡顶部 $B$ 处有一竖立的喷灌 $B C$ ， $C$ 处喷头可以沿斜坡向下喷水（喷出的水流成抛物线状），用于浇灌园地内种植的植物．当喷灌喷射最远时，喷出的水流正好能喷到坡脚． $A$ 处，此时水流最高点 $P$ 距 $B C$ 的水平距离为1米．现已知 $B O = 3$ 米． $O A = 7$ 米， $B C = 1$ 米．
数学建模：
（1）如图，以点 $O$ 为原点， $O A$ 所在直线为 $x$ 轴， $O B$ 所在直线为 $y$ 轴，建立平面直角坐标系．当喷出的水流刚好喷到坡脚 $A$ 处时，设水流某处距离 $O A$ 的高度为 $y$ 米，该处距离 $O B$ 的水平距离为 $x$ 米，求 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式：
问题解决：
（2）“智慧小组”提出问题：若点 $M$ 为（1）中抛物线上任意一点，过点 $M$ 作 $O A$ 的垂线，与 $A B$ 相交于 $N$ ，设点 $M$ 的横坐标为 $m$ ，求线段 $M N$ 长度的最大值．

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19、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，过点A作 $A E ⊥ B C$ 交 $B C$ 边于点E，点F在边 $A D$ 上，且 $D F = B E$ ．

(1)、求证：四边形 $A E C F$ 是矩形；

(2)、若 $B F$ 平分 $∠ A B C$ ，且 $B E = 3$ ， $A B = 7$ ，求线段 $B F$ 的长．

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20、如图，某小区内有一条南北方向的小路 $M N$ ，某快递员从小路旁的 $A$ 处出发沿南偏东 $53 °$ 方向行走 $200 m$ 将快递送至 $B$ 楼，又继续从 $B$ 楼沿南偏西 $30 °$ 方向行走 $120 m$ 将快递送至 $C$ 楼，求此时快递员到小路 $M N$ 的距离（参考数据： $sin 53 ° \approx 0.80, cos 53 ° \approx 0.60, tan 53 ° \approx 1.33, \sqrt{3} \approx 1.73$ ）．

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