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1、如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”．例如：方程 $2 x - 1 = 1$ 是不等式 $x + 1 > 0$ 的“偏解方程”，因为方程 $2 x - 1 = 1$ 的解 $x = 1$ 可使得 $x + 1 = 2 > 0$ 成立；方程组 ${\begin{array}{l} x + y = 7 \\ x - y = 1 \end{array}$ 是不等式 $2 x + 3 y > 15$ 的“偏解方程组”，因为方程组的解 ${\begin{array}{l} x = 4 \\ y = 3 \end{array}$ 可使得 $2 x + 3 y = 17 > 15$ 成立．

(1)、方程 $3 x + 2 = - 1$ 是下列不等式（组）中（填序号）的“偏解方程”；
① $2 x + 1 < 3 x + 3$ ；② $3 (x + 3) \geq 9$ ；③ ${\begin{array}{l} x + 3 \geq 0 \\ x - 1 < 0 \end{array}$ ；

(2)、已知关于x ， y方程组 ${\begin{array}{l} 2 x - y = - 4 + 3 a \\ 3 x + 2 y = 8 a + 1 \end{array}$ 是不等式 $x - y > 0$ 的“偏解方程组”，求a的取值范围；

(3)、已知关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} x + 10 \geq b \\ x + 9 < 2 b \end{array}$ 恰有6个整数解，且关于x的方程 $x + b = 0$ 是它的“偏解方程”，求b的取值范围．

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2、

(1)、【尝试探索】如图1， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °, C B = C A$ ，直线
$E D$ 经过点 $C$ ，过 $A$ 作 $A D ⊥ E D$ 于点 $D$ ，过 $B$ 作 $B E ⊥ E D$ 于点 $E$ ．求证： $△ B E C ≌ △ C D A$ ．

(2)、【拓展提升】如图2，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 上一点， $∠ C A D = 90 °, A C = A D, ∠ D B A = ∠ D A B$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ，求点 $C$ 到 $A B$ 边的距离．

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3、如图，在线段 $A B$ 的同侧作 $△ P A B$ 和 $△ Q A B$ ， $P B$ 和 $Q A$ 相交于点O ， M、N分别是边 $A Q$ 、 $B P$ 的中点，连结 $P Q$ ， $P M$ ， $M N$ ， $∠ A P Q = ∠ A B Q = 90 °$ ．

(1)、判断 $△ P M N$ 的形状，并说明理由；

(2)、当 $A Q = 26$ ， $B P = 24$ 时，求 $M N$ 的长．

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4、如图，已知 $A D$ ， $B C$ 相交于点 $O$ ，且 $A D = B C$ ， $∠ C = ∠ D = 90 °$ ．

(1)、求证： $△ A B C ≌ △ B A D$ ．

(2)、若 $∠ A O C = 70 °$ ，求 $∠ O A B$ 的度数．

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5、如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度， $△ A B C$ 的三个顶点都在格点上．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于直线 $E F$ 成轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、在直线 $M N$ 上找一点 $P$ ，使 $△ A B P$ 的周长最小，请用画图的方法确定点 $P$ 的位置，并直接写出 $△ P A B$ 周长的最小值为．

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6、解不等式（组）：

(1)、 $4 x - 1 \geq 2 x + 4$ ；

(2)、 ${\begin{array}{l} 2 x - 4 < 0 \\ \frac{1}{2} x < - (2 + x) \end{array}$

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7、若关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{x - 2}{4} < \frac{x - 1}{3} \\ 4 x - m \leq 4 - x \end{array}$ 恰有2个整数解，且关于x ， y的方程组 ${\begin{array}{l} m x + y = 4 \\ 3 x - y = 0 \end{array}$ 也有整数解，则所有符合条件的整数m的和为

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8、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °, ∠ A = 25 °$ ，以 $B$ 为圆心， $B C$ 为半径画弧，交线段 $A B$ 于点 $D$ ；以点 $A$ 为圆心， $A D$ 长为半径画弧，交线段 $A C$ 于点 $E$ ，连接 $C D$ ，则 $∠ E D C =$ 度．

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9、如图，B、E、C、F四点在同一直线上，且 $B E = C F$ ， $A C = D F$ ，添加一个条件，使 $△ A B C ≌ △ D E F$ （写出一个即可）．

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10、x减去y不大于 $- 5$ ，用不等式表示为．

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11、如图， $A D$ 是 $△ A B C$ 的高，以点 $B$ 为圆心，适当长为半径画弧交 $A B$ 于点 $M$ ，交 $B C$ 于点 $N$ ；分别以 $M$ ， $N$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧交于点 $P$ ；作射线 $B P$ 交 $A D$ 于点 $E$ ．若 $∠ A B C = 45 °$ ， $A B ⊥ A C$ ， $D E = 1$ ，则 $C D$ 的长为（　　）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2} + 1$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2} - 1$

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12、如图， $C E$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，过点 $E$ 作 $E F ∥ B C$ ，分别交 $A C$ 及 $△ A B C$ 的外角 $∠ A C D$ 的平分线于点 $M$ ， $F$ ．若 $C M = 3$ ，则 $E F$ 的长为（）

A、4 B、5 C、6 D、8

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13、如图， $△ A B C$ 中边 $A B$ 的垂直平分线分别交 $B C 、 A B$ 于点D、E ， $A E = 3 c m ， △ A D C$ 的周长为 $9 c m$ ，则 $△ A B C$ 的周长是（） $c m$

A、9 B、12 C、15 D、21

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14、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 6$ ， $A C = 9$ ，沿过点 $A$ 的直线折叠这个三角形，使点 $B$ 落在 $A B$ 边上的点 $E$ 处，折痕为 $A D$ ，若 $∠ B = 2 ∠ A D E$ ，则 $D E =$ （　　）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{7}{3}$ C、 $2$ D、 $3$

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15、下列命题为真命题的是（）

A、对顶角相等 B、若 $a^{2} = b^{2}$ ，则 $a = b$ C、无限小数是无理数 D、两个无理数的和一定是无理数

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16、对于命题“若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ ” 能说明它属于假命题的反例是（）．

A、 $a = 2, b = 1$ B、 $a = - 1, b = - 2$ C、 $a = - 2, b = - 1$ D、 $a = 3 ， b = - 2$

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17、若a＜b ，则下列式子中一定成立的是（　　）

A、3+a＞3+b B、 $\frac{a}{3}$ ＞ $\frac{b}{3}$ C、3a＞2b D、a﹣3＜b﹣3

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18、下面四个手机应用图标中属于轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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19、如图①，已知点D在线段AB上， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 是等腰直角三角形， ∠EDA=∠ABC=90°，且M为EC的中点.

(1)、若DM的延长线交BC于点N，求证： CN=AD；

(2)、判断直线BM与DM的位置关系，并说明理由；

(3)、若将△ADE按如图②所示位置放置，使点E在线段CA的延长线上(其它条件不变)，(2)中结论是否仍成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

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20、如图，等腰△ABC 中， AB=AC，点P 是边 BC上的一个动点(不与B，C重合)，连接AP，在边AB上取一点Q，使得AQ=AP，连接PQ.

(1)、若∠C=70°， ∠CAP=20°，求∠BPQ 的度数；

(2)、若∠C=60°， ∠CAP=x°，请用含x的代数式表示∠BPQ的度数；

(3)、由(1)(2)的结论，请猜想∠CAP 与∠BPQ 的数量关系，并证明你的猜想.

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