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1、如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点 D 恰好落在AB上，则∠ADO的度数为（ )。

A、30° B、60° C、75° D、80°

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2、下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ )。

A、3（a+b)=3a+3b B、 $a^{2} - a + 1 = a (a - 1) + 1$ C、 $a^{2} + 2 a + 4 = {(a + 2)}^{2}$ D、 $a^{2} - 9 = (a + 3) (a - 3)$

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3、如果分式 $\frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ 有意义，则x的取值范围是（ )。

A、一切实数 B、x≠1 C、x≠-1 D、x≠±1

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4、若2a>1，两边都除以2，得（ )。

A、a<2 B、a>2 C、 $a < \frac{1}{2}$ D、 $a > \frac{1}{2}$

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5、如图，在直角△ABC 中，∠ACB =90°，AB =2BC =8，将△ABC 绕 B 点逆时针旋转得到△EBD，连接AE，CD，直线AE 与直线CD 相交于点 P.

(1)、若点 P 为射线 CD 与线段AE 的交点时.
①求∠APC 的度数；
②求证：AP=PE；

(2)、当 $D C = \sqrt{2} B C$ 时，求 PD 的长.

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6、根据多项式的乘法法则，可知 $(x + p) (x + q) = x^{2} + p x + q x + p q = x^{2} + (p + q) x + p q .$ 那么，反过来，也有 $x^{2} + (p + q) x + p q = (x + p) (x + q) .$
这就是将某些二次项系数是1 的二次三项式进行的因式分解.
例如，因式分解 $x^{2} + 3 x + 2 .$ 这个式子的二次项系数是1，常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，符合 $x^{2} + (p + q) x + p q$ 类型，于是有 $x^{2} + 3 x + 2 = (x + 1) (x + 2) .$
如图，这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数.
这样，我们也可以得到 $x^{2} + 3 x + 2 = (x + 1) (x + 2) .$
利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1 的二次三项式因式分解.

(1)、因式分解： $① x^{2} - 5 x - 24 =$ ； $② x^{2} + 8 x y + 12 y^{2} =$ .

(2)、【知识应用】
请用上述方法，因式分解： ${(x^{2} + x)}^{2} - (x^{2} + x) - 2;$

(3)、【拓展提升】
因式分解： $x^{2} y + x^{2} - 3 x y + x y^{2} - 4 y^{2} .$

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7、某公园为了美化环境，预备购进A，B两种花卉，已知A 种花卉的单价是 B 种花卉的1.4倍，若花费 14 000 元购买A种花卉和 7 000 元购买B种花卉，可购买A种花卉比B种花卉多300株.

(1)、A，B两种花卉的单价分别是多少元?

(2)、该公园有 12 480元预备款，在不超出预备款的前提下，准备购进A，B两种花卉共 1000株，其中B种花卉的数量不超过400株，该公园购买花卉的最低总费用为多少?

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8、如图，在 $R t △ A B C$ 与 $R t △ D E F$ 中， $∠ A B C = ∠ D E F = 9 0^{\circ}, B C = E F,$ ，线段 AC 与线段 DF 在一条直线上，且.AF=CD，连接EC，BF，BE，BE与AD 相交于点 G.

(1)、求证： $△ A B F ≅ △ D E C;$

(2)、若CE=CD时， $△ A B C$ 的面积为24，求 $△ B C E$ 的面积.

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9、如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点坐标分别为A（-4，2)，B（-2，1)，C（-1，4).

(1)、若将 $△ A B C$ 关于原点对称得到. $△ A_{1} B_{1} C_{1},$ 请在图中画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1},$ 并写出各个顶点的坐标；

(2)、若将 $△ A B C$ 绕着 P 点顺时针旋转 $9 0^{\circ}$ 得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2},$ 若 $A_{2} (3, 5)$ ，直接写出旋转中心P， $B_{2}, C_{2}$ 的坐标.

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10、如图，小明家装修后剩有一块损坏的四边形ABCD瓷砖，他想从中取一块长方形瓷砖二次使用，于是在瓷砖的D点向边AB，CB作垂线，垂足分别为M，N，沿着垂线割出长方形瓷砖MBND，其余部分视为损耗部分，他想通过测量一些数据了解该损坏瓷砖的损耗面积，于是测得如下数据： $∠ A B C = 9 0^{\circ}, ∠ D A B = 6 0^{\circ}, ∠ D C B = 4 5^{\circ}, A D = D C = 1 m$ ，请问小明根据以上数据能否计算出这块损坏瓷砖的损耗面积.若能，请求出损耗面积；若不能，请说明理由.

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11、先化简： $(\frac{3}{x + 2} + x - 2) \div \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 4 x + 4},$ 再从不等式组 ${\begin{matrix} 2 x + 3 > - 3, \\ \frac{x + 4}{2} < 3 \end{matrix}$ 的解集中选一个你喜欢的整数代入求值.

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12、

(1)、分解因式： $x^{2} (x - 2 y) + 4 y^{2} (2 y - x);$

(2)、解分式方程： $\frac{1 - x}{x - 2} + 2 = \frac{3}{2 - x} .$

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13、如图，在四边形ABCD中， $∠ D A B = ∠ D C B = 6 0^{\circ},$ ，连接对角线BD，AC，若AC平分 $∠ D A B, A C = 6 .$

(1)、若 $∠ A D B = 6 0^{\circ}$ 时，则BD的长为；

(2)、若 $∠ A D B = 9 0^{\circ}$ 时，则BD的长为.

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14、如图，在平面直角坐标系中，直线AC：y=x+5与直线 AB：y=-2x+8交于点A，若 -2<k<0，请根据图象判断，不等式kx+8>-2x+8>x+5的解集为.

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15、如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB 是边长为2 的正方形，A，C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，点P 坐标为（-1，1)，将点 P 关于A 点对称得到点. $P_{1},$ 将点关于O点对称得到点P₂ ，将点P₂关于C点对称得到点. $P_{1}$ $P_{3},$ ，将点 $P_{3}$ 关于B点对称得到点 P₄ ，将点 P₄关于A点对称得到点 P₅ ， ……，按照顺序以此类推，则点. $P_{2023}$ 的坐标为.

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16、已知关于x的不等式组 ${\begin{matrix} x - m \geq 0, \\ 3 x - 3 < x + 5 \end{matrix}$ 有解，则所有满足条件的正整数m的和为.

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17、如图，在△ABC中，AB=2AC，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线AP交边 BC 于点 D.若 $S_{△ A B D} = 12,$ 则△ABC的面积是.

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18、若a<b，则2-3a2-3b.

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19、若 $4 x^{2} - 12 x + m$ 可以用完全平方公式来分解因式，则m的值为.

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20、若数a使关于x的不等式组 ${\begin{matrix} \frac{x - 2}{2} \leq \frac{2 x - 1}{6} + 1, \\ 3 x - a > x + a \end{matrix}$ 至少有五个整数解，且关于y的分式方程 $\frac{1}{y - a} + \frac{1}{y - 1}$ =0有非负整数解，则满足条件的所有整数a之和是（ ).

A、10 B、9 C、8 D、7

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