相关试卷

1、若 $\sqrt{x - 4} + {(y + 5)}^{2} = 0$ ，则 $x y$ 的值为．

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2、若代数式 $\frac{x - 2}{x + 1}$ 的值为0，则实数 $x$ 的值是．

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3、关于x的一元二次方程 $x^{2} + 3 x + 2 k = 0$ 有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）

A、 $k < \frac{9}{8}$ B、 $k \leq \frac{9}{8}$ C、 $k \geq \frac{9}{8}$ D、 $k < - \frac{9}{8}$

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4、在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A B C = α$ ，点 $D$ 在射线 $B C$ 上，连接 $A D$ ，将线段 $A D$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $(180 ° - 2 α)$ 得到线段 $A E$ ，且点 $E$ 不在直线 $A B$ 上，过点 $E$ 作 $E F ∥ A B$ ，交直线 $B C$ 于点 $F$ ．

(1)、如图1，若点 $D$ 与点 $C$ 重合， $α = 45 °$ ，求证： $B F = A C$ ；

(2)、如图2，点 $D$ ， $F$ 都在 $B C$ 的延长线上，连接 $B D$ ．
①尺规作图：线段 $D F$ 上取点 $G$ ，使 $△ A D G ≌ △ A E B$ ；（保留作图痕迹，不写作法）
②证明： $△ A D G ≌ △ A E B$ ；

(3)、在（2）的情况下，判断 $D F$ 与 $B C$ 的数量关系，并证明．

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5、综合与实践
图1是某高铁二等座小桌板，它的设计需兼顾空间利用、结构稳定与乘客安全．图2是小桌板展开后的左视图，其中 $O A$ 为支架， $A B$ 为桌面的宽，调节椅背 $O P$ 不会改变 $O A$ 与 $A B$ 的位置， $A B$ 与地面保持平行且 $∠ O A B = 128 °$ ．当椅背垂直于地面时， $O A$ 与 $O P$ 的夹角为 $θ$ ．（ $sin 38 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $cos 38 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $tan 38 ° \approx \frac{3}{4}$ ， $sin 52 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $cos 52 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $tan 52 ° \approx \frac{4}{3}$ ）

(1)、求 $θ$ 的度数；

(2)、为保证小桌板结构稳定，小桌板能放置物体的最大质量为 $24 kg$ ， $F$ 是支架的承受力，且 $F$ 与 $θ$ 满足 $F = \frac{m g}{2 sin θ}$ ，其中 $m$ 是物体的质量， $g = 10 N/kg$ ．求支架承受力的最大值；

(3)、图3是一圆柱形水杯放置于小桌板 $A B C D$ 上的俯视图，底面圆心为点 $Q$ ，点 $Q$ 到 $A D$ 的距离 $Q H$ 为 $5cm$ ；图4是此时小桌板的侧面示意图，水杯半径 $Q E = 3 cm$ ，支架 $O A = 40 c m$ ，当椅背 $O P$ 向后调节 $30 °$ 至 $O P^{'}$ 处时，在水杯不被碰倒的情况下，求 $E F$ 的最大高度？

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6、如图， $⊙ O$ 是 $Rt △ A B C$ 的外接圆，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，延长 $C B$ 至点 $D$ ，使 $C B = B D$ ．过点 $B$ 作 $B E ⊥ A D$ ，垂足为 $E$ ．

(1)、求证： $B E$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A E = 2$ ， $B E = 2 \sqrt{2}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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7、为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，某校大课间共开展6项体育活动，每名学生均参加了其中一项活动．为了解该校学生参与大课间体育活动情况，随机抽取了该校50名学生进行调查，得到如下未完成的统计表．
体育活动
足球
篮球
排球
乒乓球
跳绳
啦啦操
人数
6
12
$a$
9
8
5

(1)、表格中 $a$ 的值为_____________；

(2)、若该校有1000名学生，请估计该校参加乒乓球活动的学生人数；

(3)、为备战校际篮球联赛，学校计划从参加篮球活动的甲、乙两名同学中选拔一人加入校篮球队．已知甲、乙两名同学近六周定点投篮测试成绩（每次测试共有10次投篮机会，以命中次数作为测试成绩）如图所示．你建议选拔哪名同学，请说明理由．

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8、计算与解不等式：

(1)、计算： ${(- 3)}^{2} + (- 8) \div 4 - 2$

(2)、解不等式： $2 (3 x + 1) > 5$

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9、如图，平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ，直线 $l$ 过点 $O$ ，且与边 $A D$ ， $B C$ 分别交于点 $E$ ， $F$ ， $A E = \frac{15}{8} E D$ ．若在平行四边形 $A B C D$ 内随机取点，则点落在 $△ A O E$ 内的概率是．

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10、如图，直线 $a ∥ b$ ，正六边形 $A B C D E F$ 的顶点 $A$ ， $C$ 分别在直线 $a$ ， $b$ 上，若 $∠ 1 = 44 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数是（）

A、 $16 °$ B、 $18 °$ C、 $22 °$ D、 $44 °$

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11、如图，有一个底部呈球形的烧瓶，瓶内液体已经过半，截面圆中弦 $A B$ 的长为 $2 \sqrt{21} cm$ ，最大深度 $C D = 7 cm$ ，则球的半径为（）

A、 $4 cm$ B、 $5 cm$ C、 $4 \sqrt{6} cm$ D、 $2 \sqrt{29} cm$

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12、二次函数 $y = {(x - 1)}^{2} + 2$ 图象的对称轴是直线（）

A、 $x = 1$ B、 $x = - 1$ C、 $x = 2$ D、 $x = - 2$

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13、如图，A，B两点被池塘隔开，过点A，B分别作直线 $A C$ ， $B C$ 相交于点C，点D，E分别是线段 $A C$ ， $B C$ 的中点，现测得 $D E = 6 m$ ，则 $A B =$ （）

A、 $3m$ B、 $6m$ C、 $9m$ D、 $12m$

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14、若式子 $\sqrt{x - 2}$ 有意义，则x的取值范围是（　　）

A、x≠2 B、x＞2 C、x≥2 D、x≥﹣2

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15、下列人工智能大模型图标是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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16、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 8 cm$ ， $B C = 6 cm$ ． $B D$ 是中线，作点 $B$ 关于 $A C$ 的对称点 $E$ ，连接 $D E$ ．动点 $P$ 从 $E$ 点出发，以 $2 cm/s$ 的速度沿 $E \to C \to A$ 向终点 $A$ 运动，设点 $P$ 运动的时间为 $t (s)$ ， $△ P D B$ 的面积为 $S ({cm}^{2})$ ，规定线段是特殊的三角形．

(1)、当 $t =$ ______时，点 $P$ 运动到点 $C$ ；

(2)、当点 $P$ 在 $A C$ 上运动，且点 $P$ 在点 $D$ 下方时， $P D$ 的长度为______ $cm$ （用含 $t$ 的代数式表示）；

(3)、在点 $P$ 运动过程中，请用含 $t$ 的代数式表示 $S$ ；

(4)、当 $S < 8$ 时，请直接写出 $t$ 的取值范围．

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17、下列方程是一元一次方程的是（）

A、 $5 x + 2 = 0$ B、 $5 x - 2 y = 0$ C、 $x^{2} - 2 = 5$ D、 $\frac{2}{x} = 5$

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18、【模型呈现】

(1)、如图1，点A在直线l上，∠BAD=90°，AB=AD，过点B作BC⊥l于点C，过点D作DE⊥l于点E，由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D，又∠ACB=∠DEA=90°，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC= ， BC=.我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；

(2)、【模型体验】
如图2，在△ABC中，点D为AB上一点，DE=DF=3，∠A=∠EDF=∠B，四边形CEDF的周长为10，△ABC的周长为18.小诚同学发现根据模型可以推理得到△ADE≌△BFD，进而得到AE=BD，AD=BF，那么AB=AE+BF，再根据题目中周长信息就可得AB=；

(3)、【模型拓展】
如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E.请猜想线段DE，AD，BE之间的数量关系，并写出证明过程：

(4)、【模型应用】
如图4，已知在矩形ABCD中，AB=14，BC=7，点E在CD边上，且DE=4.P是对角线AC上一动点，Q是边AD上一动点，且满足 $s i n ∠ E P Q = \frac{2}{5} \sqrt{5},$ 当P在AC上运动时，请求线段AQ的最大值，并求出此时线段AP的长度.

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19、代数推理
我们约定：若一个点的纵坐标是横坐标的一半，则称这个点为“减半点”，若一个函数图象上至少存在一个“减半点”，则称该函数为“减半函数”.

(1)、函数 $y = \frac{1}{2} x + 5$ 是“减半函数”吗?如果是，请求出它的一对“减半点”，如果不是，请说明理由；

(2)、求函数 $y = \frac{18}{x}$ 图象上的“减半点”；

(3)、若抛物线G： $y = m x^{2} + (m + 1) x + \frac{1}{4} m$ 图象上存在唯一的“减半点”.
①求抛物线G的解析式；
②若抛物线G向上平移 $\frac{5}{16}$ 个单位长度，得到抛物线H，作直线x=t交抛物线H于点A，作直线x=2t+1交抛物线H于点B，连接AB，若直线AB的“减半点”恰好为线段AB的中点，求t的值.

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20、综合与实践

【问题情境】熙春塔坐落于恩平市恩城街道锦江河畔，是当地标志性古建筑。某校数学实践小组利用所学数学知识测量熙春塔的高度

【实践探究】下面是两个方案及测量数据：

项目	测量熙春塔的高度
方案	方案一：借助太阳光线构成相似三角形.测量：标杆长CD，影长ED，塔影长DB.				方案二：利用锐角三角函数.测量：距离CD，仰角α，仰角β.
测量示意图
测量数据	测量项目	第一次	第二次	平均值	测量项目	第一次	第二次	平均值
	CD	1.61m	1.59m	1.6m	β	26.4°	26.6°	26.5°
	ED	1.18m	1.22m	1.2m	α	37.1°	36.9°	37°
	DB	38.9m	39.1m	39m	CD	34.8m	35.2m	35m

【问题解决】

(1)、根据“方案一”的测量数据，直接写出熙春塔AB的高度；

(2)、根据“方案二”的测量数据，求出熙春塔AB的高度；（参考数据：

s i n 3 7^{\circ} \approx 0.60,

cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50）

(3)、请对本次实践活动进行评价（一条即可）.

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体育活动	足球	篮球	排球	乒乓球	跳绳	啦啦操
人数	6	12	$a$	9	8	5