相关试卷

1、
【定义理解】
材料1：一个点把一条线段分为两段，如果其中较短线段与较长线段的比等于较长线段与整条线段的比，我们就说这个点是这条线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金比，这个比值为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ．
例如：如图1， $\frac{C B}{A C} = \frac{A C}{A B} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$
材料2：我们把宽与长的比是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．例如：如图2，矩形 $A B C D$ 的宽为 $A B$ ，长为 $B C$ ，如果 $\frac{A B}{B C} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，那么矩形 $A B C D$ 为黄金矩形．
【操作发现】
下面，我们用一张矩形纸片折叠黄金矩形
第一步：如图①，将矩形纸片 $M N P Q$ 折叠，使得 $M N$ 与 $M B$ 重合，折痕为 $M C$ ，展开．
第二步：如图②，将纸片折叠，使得 $M N$ 与 $B C$ 重合，折痕为 $F A$ ，展开．
第三步：如图③，连接 $N F$ ，再将矩形沿过点 $N$ 的直线 $N E$ 折叠，使得 $N F$ 的对应边 $N G$ 落在边 $N P$ 上，展开．
第四步：如图④，过点 $E$ 作 $E D ⊥ N P$ 于点 $D$ ，得到矩形 $B C D E$ ．
【初步应用】
（1）如图2，若黄金矩形 $A B C D$ 的长 $B C = \sqrt{5} + 1$ ，请直接写出它的宽 $A B =$ ___________．
（2）在矩形 $M N P Q$ 中， $M N = 2$ ．请判断图④中矩形 $M N D E$ 是不是黄金矩形，并说明理由．
【迁移拓展】
（3）小明用一张宽为 $n$ 的矩形纸片，按照【操作发现】的折纸步骤进行操作折叠黄金矩形，在探究中发现点 $E$ 恰好是线段 $B Q$ 的黄金分割点，请直接写出长 $M Q$ 的长度___________．

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2、问题情境：
勾股定理是几何学中的明珠，充满着无穷魅力．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．古希腊数学家毕达哥拉斯利用勾股定理在初始的大正方形上，作出了两个小正方形（如图1），再以此类推无限重复地作出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”，也叫“勾股树”．解决问题：

(1)、如图2，是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形的 $A, B, C, D$ 面积分别是6，10，3，6，则正方形 $E$ 的面积是_____，正方形 $G$ 的边长是_______；

(2)、如图3，在一株最简单的“勾股树”中，连接 $B E$ ， $C M$ ．
①求证： $B E = C M$
②若正方形 $A C D E$ ，正方形 $B C G F$ 的面积分别为16，9，请直接写出 $C M$ 的长为______．

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3、【综合实践】如图，学校劳动基地有一个不规则的封闭菜地

A B C

，为求得它的面积，学习小组设计了如下的一个方案：

①在此封闭图形内画出一个半径为 1米的圆．

②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点) ，记录如下：

掷小石子落在不规则图形内的总次数(含外沿)	100	200	500	1000	……
小石子落在圆内(含圆上)的次数 m	32	63	153	305	……
小石子落在圆外的阴影部分(含外沿)的次数 n	68	137	347	695	……
小石子落在圆内(含圆上)的频率	0.320	0.315	0.306	x	……

【数学发现】（1）若以小石子所落的有效区域为总数(即 $m + n$ )，则表格中的数据x = ；随着投掷次数增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在附近(结果精确到 $0.1$ )；

【结论应用】（2）请你利用（1）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？(结果保留 $π$ )

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4、如图，将三角形 $A B C$ 平移一定的距离得到三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则下列结论中不一定正确的是（）

A、 $A A^{'} ∥ B B^{'}$ B、 $A A^{'} = B B^{'}$ C、 $∠ A C B = ∠ A^{'} B^{'} C^{'}$ D、 $B C = B^{'} C^{'}$

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5、如图，在数轴上点A表示的实数是．

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6、随着教育教学改革的不断深入，数学教学如何改革和发展，如何从“重教轻学”向自主学习探索为主的方向发展，是一个值得思考的问题．从数学的产生和发展历程来看分析，不外乎就是三个环节：【观察猜想】-【探究证明】-【拓展延伸】．下面同学们从这三个方面试看解决下列问题：
已知：如图1所示将一块等腰三角板 $B M N$ 放置与正方形 $A B C D$ 的 $∠ B$ 重含，连接 $A N$ 、 $C M$ ， E是 $A N$ 的中点，连接 $B E$ ．

【观察猜想】
（1） $C M$ 与 $B E$ 的数量关系是________， $C M$ 与 $B E$ 的位置关系是___________；
【探究证明】
（2）如图2所示，把三角板 $B M N$ 绕点B逆时针旋转 $α (0 < α < 90)$ ，其他条件不变，线段 $C M$ 与 $B E$ 的关系是否仍然成立，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）若旋转角 $α = 45 °$ ，且 $∠ N B E = 2 ∠ A B E$ ，求 $\frac{B C}{B N}$ 的值．

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7、我国著名的数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．在中学数学中，体现数形结合思想的内容较多，本学期学习的“数轴”就是体现数形结合思想的一个有力工具，利用数轴常常可以使一些复杂问题变得容易解决．例如，式子|x﹣2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离；再比如 $|x + 1| = |x - (- 1)|$ ，所以 $|x + 1|$ 的几何意义就是数轴上x所对应的点与 $- 1$ 所对应的点之间的距离．
发现问题： $|x + 1| + |x - 2|$ 的最小值是多少？
探究问题：如图，点A，B，P分别表示数 $- 1$ ， 2，x， $A B = 3$ ．

∵ $|x + 1| + |x - 2|$ 的几何意义是线段 $P A ， P B$ 的长度之和，
∴当点P在线段 $A B$ 上时， $P A + P B = 3$ ；
当点P在点A的左侧或点B的右侧时， $P A + P B > 3$ ，
∴ $|x + 1| + |x - 2|$ 的最小值是3．
解决问题：

(1)、 $|x - 9|$ 表示数轴上x所对应的点与数       所对应的点之间的距离， $|x + n|$ 表示数轴上x所对应的点与数          所对应的点之间的距离；

(2)、 $|x - 1| + |x + 3|$ 的最小值是多少？并利用数轴说明理由；


(3)、若 $|x - 4| + |x + 2| = 2025$ ，则 $x =$ _________________；

(4)、请直接写出所有满足 $|3 a + 7| + |3 a - 2| = 9$ 的整数a的值 _________________．

(5)、若未知数x、y满足 $(|x - 1| + |x - 3|) (|y - 2| + |y + 1|) = 6$ ，则代数式 $x + 2 y$ 的最大值是      ，最小值是         ．

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8、“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
【教材呈现】如上图是苏科版教材七年级上册数学教材的部分内容．

(1)、【问题解决】根据上述方法，请把 $(a + b)$ 和 $(x + y)$ 各看成一个整体，对下列各式进行化简，直接写出结果：
① $4 (a + b) + 2 (a + b) - (a + b) =$ ____________________；
② $3 {(x + y)}^{2} - 7 (x + y) + 8 {(x + y)}^{2} + 6 (x + y) =$ ___________________________．

(2)、【简单应用】
①已知 $m^{2} + 2 m = 5$ ，则 $2 m^{2} + 4 m - 9 =$ ______；
②已知 $m + n = 7$ ，求 $9 (m + n) - 6 m - 6 n + 3$ 的值；

(3)、【拓展提高】
已知 $m^{2} + 3 m n = 2, m n + 3 n^{2} = 1$ ，求整式 $6 m^{2} + 10 m n - 24 n^{2}$ 的值．

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9、已知一组数： $- 3.5$ ， 0， $|- 5|$ ， $- 1^{2}$ ， $- (- 4)$ ．

(1)、把这些数在数轴上表示出来；

(2)、请将这些数按顺序排列（用“ $>$ ”连接）．

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10、（1）化简： $\frac{1}{4} (- 4 x^{2} + 6 x - 8) - (\frac{3}{2} x - 1)$ ；
（2）先化简，再求值： $2 (x^{2} y + x y) - 3 (x^{2} y - x y) - 4 x^{2} y$ ，其中 $x = - 1, y = 1$ ．

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11、计算

(1)、 $(- 72) - (- 37) + 22 - 17$

(2)、 $25 \div 5 \times (- \frac{1}{5}) \div (- \frac{3}{4})$

(3)、 $16 \div |- 8| - {(- 2)}^{2} \times 5$

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12、已知一个含有字母x、y的四次三项式，它最高次项系数为 $- 1$ ， $_____+ 3 x^{2} y - 4$ ，请补充缺失的一项

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13、下列各数：2.5， $- 3.14$ ， 0，21， $- 6$ ， $+ 180$ 中，属于分数的有．（填入符合条件的数）

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14、现有五种说法：① $- a$ 表示负数；②绝对值最小的有理数是0；③ $3 π^{2} x^{2} y$ 是5次单项式；④ $\frac{x - y}{5}$ 是多项式；⑤有理数 $a$ 一定比 $- a$ 大，其中正确的是（）

A、①③ B、②⑤ C、②④ D、①④

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15、有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　）

A、 $a + b < 0$ B、 $a b > 0$ C、 $|a| > |b|$ D、 $- b < 0 < - a$

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16、已知点 $A (- 2, 3)$ ， $B (- 4, - 1)$ ， $C (1, 0)$ ．

(1)、在图中画出 $△ A B C$ ；

(2)、三角形中任意一点 $P (x_{0}, y_{0})$ 经平移后对应点为 $P_{1} (x_{0} + 4, y_{0} - 1)$ ，将 $△ A B C$ 作同样的平移得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，直接写出点 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ 的坐标并在图中画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(3)、若 $B C = \sqrt{26}$ ， $A A_{1} = \sqrt{17}$ ，则 $C C_{1} =$ ___， $B_{1} C_{1} =$ ____；

(4)、若将线段 $A C$ 沿某个方向平移得到线段 $M N$ ，点A的对应点为 $M (0, m)$ ，则点C的对应点N的坐标为______．（用含m的式子表示）

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17、在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴的距离减去点P到y轴的距离称为点P的“横纵距差”，记作 $⟨P⟩$ ．

(1)、若 $A (5, 2)$ ，则 $⟨A⟩ =$ ____；若点B在一、三象限角平分线上，则 $⟨B⟩ =$ ____；

(2)、若点 $C (- 3, a - 1)$ 且 $⟨C⟩ = 2$ ，求点C的坐标

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18、计算、解方程：

(1)、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}} + \sqrt{\frac{9}{4}} + \sqrt[3]{- 8} - |\sqrt{3} - 3| + {(\sqrt{2})}^{2}$ ；

(2)、 $4 {(x - 1)}^{2} = 36$ ．

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19、如图1是长方形纸带 $A B C D$ ， $∠ D E F = 28 °$ ，先将纸带沿 $E F$ 折叠成图2，再沿 $B F$ 折叠成图3，则图3中 $∠ C F E$ 的度数为．

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20、若2026的两个不同的平方根是m和n，则 $m + m n + n$ 的值为．

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