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1、2026年长沙市市级重点项目总投资约13330亿元，数据13330亿用科学记数法表示正确的是（）

A、 $13330 \times 10^{8}$ B、 $133.3 \times 10^{10}$ C、 $1.333 \times 10^{11}$ D、 $1.333 \times 10^{12}$

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2、下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3、如图，BD 为正方形ABCD 的对角线，过点 $C$ 作 $C F ∥ B D$ ，在CF 上取点 $E$ ，连接BE，且 $B E = B D$ ，过点 $D$ 作 $D F ∥ B E$ 交CF 于点 $F$ .

(1)、求证：四边形BDFE为菱形；

(2)、求 $∠ E B C$ 的度数；

(3)、当 $A B = t$ 时，求代数式 $\sqrt{\frac{1}{t + \sqrt{3}}}$ 的值.

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4、如图，四边形ABCD中，AC、BD为对角线， $∠ A C B = ∠ A B D = ∠ A D B = 4 5^{°}$

(1)、当 $A B = 2$ 时，BD的长为；

(2)、求证： $\sqrt{2} A C = B C + C D$ ；

(3)、若 $△ A B C$ 关于直线AB 的对称图形为 $△ A B M$ ，连接DM，试探究 $D M^{2}$ 、 $A M^{2}$ 、 $B M^{2}$ 三者之间满足的等量关系，并证明你的结论.

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5、在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合” 是解决数学问题的一种重要的思想方法.

(1)、【应用场景1】
①如图1，在数轴上分别找出表示数0 的点 $O$ ，表示数2 的点 $A$ ， $A B ⊥ O A$ ， $A B = 1$ ，以点 $O$ 为圆心，OB 的长为半径作弧，则弧与数轴的交点 $P$ 表示的数是.
②直接写出 $△ A B P$ 的面积=.

(2)、【应用场景2】
在图2中，设 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ， $A C ∥ y$ 轴， $B C ∥ x$ 轴， $A C ⊥ B C$ 于点 $C$ ，则 $A C = y_{1} - y_{2}$ ， $B C = x_{1} - x_{2}$ ，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式：
$A B = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$
①平面直角坐标系中有两点 $M (- 3, 2)$ ， $N (- 5, 1)$ ， $P$ 为 $x$ 轴上任一点，则 $P M + P N$ 的最小值为_▲_；
②求代数式 $\sqrt{x^{2} - 6 x + 18} - \sqrt{x^{2} + 2 x + 5}$ 的最大值.

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6、观察下列各式：① $\sqrt{1 + \frac{1}{3}} = 2 \sqrt{\frac{1}{3}}$ ② $\sqrt{2 + \frac{1}{4}} = 3 \sqrt{\frac{1}{4}}$ ③ $\sqrt{3 + \frac{1}{5}} = 4 \sqrt{\frac{1}{5}}$

(1)、请观察规律，并写出第④个等式：；

(2)、请用含 $n (n \geq 1)$ 的式子写出你猜想的规律：

(3)、请证明(2)中的结论.

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7、如图所示，折叠矩形ABCD 的一边AD，使点 $D$ 落在BC 边上的点 $F$ 处，已知 $A B = 6$ ， $B C = 10$ ，求BF和EC的长.

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8、如图，四边形ABCD中，BD为对角线， $∠ A B D = 9 0^{°}$ ， $∠ A D B = 3 0^{°}$ ， $A D = 2$ ， $C D = \sqrt{6}$ ， $B C = 3$ ，求证： $A B ∥ C D$ .

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9、如图，在 $▱ A B C D$ 中，点E，F分别在AD，BC上，且 $∠ A E B = ∠ C F D$ .求证：四边形BFDE 是平行四边形.

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10、计算：

(1)、 $\sqrt{2} + \sqrt{8} - \sqrt{32}$ ；

(2)、 $\sqrt{15} \div \sqrt{3} \times \sqrt{\frac{1}{2}} \times \sqrt{10}$

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11、如图，正方形ABCD 的边长为6， $E$ 、 $F$ 分别为AB、AD 边上的动点，且 $A F = B E$ ，连接 EF，将EF 绕点 $E$ 顺时针旋转 $6 0^{°}$ 得到EG，连接CG，则CG 的最小值为.

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12、古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦-秦九韶公式，如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记 $p = \frac{a + b + c}{2}$ ，那么三角形的面积为 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ .在 $△ A B C$ 中， $∠ A$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ 所对的边长分别为a，b，c，若 $a = 8$ ， $b = 4$ ， $c = 6$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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13、当 $2 < x < 3$ 时，化简： $| x - 3 | + \sqrt{(x - 2)^{2}} =$ .

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14、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{°}$ ，点 $D$ 是AB的中点， $A C = 2$ ， $B C = 4$ ，则 $C D =$ .

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15、已知 $n = \sqrt{7} - 1$ ，则代数式 $n^{2} + 2 n + 1$ 的值是.

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16、若 $\sqrt{x - 2}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是.

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17、如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 9 0^{°}$ ， $∠ B A C = 3 0^{°}$ . $A C = 4$ ，分别以三边为直径画半圆，则两个月形图案的面积之和(阴影部分的面积)是( )

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3 π}$ D、 $2 \sqrt{3 π}$

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18、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点 $O$ ，点P为AB边上一动点(不与点A、B重合)， $P E ⊥ O A$ 于点 $E$ ， $P F ⊥ O B$ 于点 $F$ ，若 $A C = 8$ ， $B D = 6$ ，则EF的最小值为 ( )

A、3 B、2 C、 $\frac{12}{5}$ D、 $\frac{5}{2}$

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19、如图，在矩形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点 $O$ ，点 $E$ 是边AD 的中点，点 $F$ 在对角线AC 上，且 $A F = \frac{1}{2} A O$ ，连接EF，若 $A C = 8$ ，则EF 的长为( )

A、1 B、2 C、4 D、3

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20、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别等于5cm，3cm 和1cm， $A$ 和 $B$ 是这个台阶的两个相对的端点， $A$ 点上有一只蚂蚁，想到 $B$ 点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从 $A$ 点出发，沿着台阶面爬到 $B$ 点，最短线路是( )

A、12 B、13 C、14 D、15

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