相关试卷

1、阅读与思考
下面是小陈同学的数学笔记，请认真阅读并完成相应的任务.
利用函数的变化趋势研究代数式值的变化情况对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式；当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式，有时候，需要把一个假分式化为整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式，例如， $\frac{2 x + 1}{x - 1} = \frac{2 x - 2 + 3}{x - 1} = \frac{2 (x - 1) + 3}{x - 1} = 2 + \frac{3}{x - 1}$ ，观察发现，当部分分式中的分母为一次式时，可以借助反比例函数来研究该分式值的变化情况.我们已知学习过反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ ，当x>0时，y随着x的增大而减小，且随着x的无限增大，y的值无限接近 0.对于部分分式 $b + \frac{k}{x - a} (k > 0, a > 0, b > 0)$ 我们可以令 $y = b + \frac{k}{x - a}$ ，则函数 $y = b + \frac{k}{x - a}$ ，可以看作是由函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 先向右平移a个单位长度，再向上平移b个单位长度得到的新函数.那么当x>a时，y随着x的增大而减小，且随着x的无限增大， $\frac{k}{x - a}$ 的值无限接近 0，此时 $b + \frac{k}{x - a}$ 的值无限接近b.例如，已知部分分式 $2 + \frac{3}{x - 1}$ ，我们令 $y = 2 + \frac{3}{x - 1}$ ，当x>1时，y随着x的增大而减小，且随着x的无限增大， $\frac{3}{x - 1}$ 的值无限接近 0，所以 $2 + \frac{3}{x - 1}$ 的值无限接近 2.……
任务：

(1)、将分式 $\frac{4 x + 3}{2 x + 1}$ 化为部分分式.

(2)、函数 $y = \frac{2}{x + 1} - 1$ 可以由哪个反比例函数经过怎样的平移得到?

(3)、拓展：当x>m时，分式 $\frac{2 x^{2} + x - 1}{x^{2} - 1}$ 的值随着x的增大而减小，且随着x的无限增大， $\frac{2 x^{2} + x - 1}{x^{2} - 1}$ 的值无限接近n，请你直接写出m的最小值以及n的值.

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2、四川是中国茶文化的发源地之一，拥有悠久的种茶、制茶和饮茶历史，其茶文化融合了自然，民俗与人文特色，形成了独具巴蜀风情的茶生活方式.已知每千克甲种茶叶的进价比每千克乙种茶叶的进价少 100元，且 4000元购进甲种茶叶的重量与 5000元购进乙种茶叶的重量相同.

(1)、求甲、乙两种茶叶的进价；

(2)、某商店计划购进两种茶叶共 30千克，且甲种茶叶的重量不低于乙种茶叶重量的 $\frac{2}{3} .$ 求商店至少购进甲种茶叶多少千克?

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3、直线 $y_{1} = k x + b (k \neq 0)$ 与反比例函数 $y_{2} = - \frac{8}{x}$ 的图象相交于点A(-2，m)，B(n，-1)，与y轴交于点C.

(1)、求直线y₁的表达式；

(2)、过点 C作x轴的平行线交反比例函数的图象于点D，求△ACD的面积.

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4、如图，在平面直角坐标系xOy中， △ABC的三个顶点坐标分别为点A(-2，3)， B(-4，-2)，C(1，-1).

(1)、在图中画出△ABC关于y轴对称的图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $C_{1}$ 的坐标；

(2)、在图中，若点 $A_{2} (- 2, - 3)$ 与点A关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是，此时点C关于这条直线的对称点 $C_{2}$ 的坐标为．

(3)、求△A₁B₁C₁的面积.

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5、先化简，再求值： $(\frac{a + 2}{a - 3} + a + 2) \div \frac{a^{2} - 4 a + 4}{a - 3}, 其中 a = 1 .$

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6、计算 $: ∣ - 3 ∣ + {(- 1)}^{2026} - {(π - 3.14)}^{0} + {(\frac{1}{2})}^{- 2};$

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7、如图，△OAB的边OB落在 x轴上，点 C是线段AB的中点，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0, x > 0)$ 的图像经过点 A 和点 C.若△OAB的面积为 9，则 k的值为.

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8、若关于 x的不等式组 ${\begin{matrix} \frac{x + 1}{2} \leq \frac{2 x - 1}{6} \\ 3 x > 2 a - 6 \end{matrix}$ 无解，关于 y的分式方程 $\frac{a - 1}{y + 2} = 2 - \frac{3}{y + 2}$ 有负数解，则符合条件的所有整数 a的和为.

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9、线段MN平行于x轴，且长度为5，若M(2，-2)，则N点的坐标为.

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10、已知 $\frac{3 x + 2}{x^{2}}$ 的值为正数，则x的取值范围为 .

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11、若 $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4} \neq 0,$ 则 $\frac{x + y - z}{2 y} =$ .

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12、如图，正方形 ABCD的顶点 B，C在x轴的正半轴上，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 在第一象限的图象经过顶点 A (m，2)和 CD边上的点 $E (n, \frac{2}{3})$ ，过点 E的直线 l交 x轴于点 F，交 y轴于点 G (0，-2)，则点F的坐标是( )

A、 $(\frac{5}{4}, 0)$ B、 $(\frac{7}{4}, 0)$ C、 $(\frac{9}{4}, 0)$ D、 $(\frac{11}{4}, 0)$

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13、在古代驿站送信问题中，一份文件，若用慢马送到 900里远的城市，所需时间比规定时间多 1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少 3天，已知快马的速度是慢马的 2倍，求规定时间.根据题意，小刚和小强分别列出了尚不完整的方程如图所示.下列说法不正确的是( )
小刚 $： \frac{900}{x - 3} = 2 \times \frac{900}{△}$
小强： $* + 3 = \frac{900}{y} - 1$

A、x表示规定时间 B、y表示慢马的速度 C、*表示 $\frac{900}{2 y}$ D、 $△ 表示 x - 1$

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14、哥弟俩同时从家去同一所学校上学，弟弟步行，哥哥骑自行车，两人都匀速前进，弟弟步行每分钟60m，哥哥骑自行车每分钟行驶160m，如图是两人之间的距离y(m)，与弟弟步行时间x(min)之间的函数图象，已知弟弟从家出发时离上课时间还有12分钟，当他行至快到学校时，发现可能要迟到，于是弟弟加快了步伐，以100米每分钟的速度前进，结果到上课时恰好到校，下列错误的是( )

A、A点表示哥哥已经到达学校 B、哥哥与弟弟相距的最大距离是500米 C、他们家与学校之间的距离为800米 D、BC的函数表达式为y=-100x+1000

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15、一次函数y=ax+b与反比例函数 $y = \frac{a b}{x}$ (a，b为常数且均不等于0).在同一坐标系内的图象可能是( )

A、 B、 C、 D、

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16、将一次函数y=2x+b的图象向下平移 2个单位长度，若平移后的一次函数图象经过点(-1，3)，则 b的值为( )

A、8 B、7 C、6 D、5

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17、若点 A (-7， y₁)，B(-4， y₂)，C(5，y₃)在反比例函数 $y = - \frac{5}{x}$ 的图象上，则 y₁ ， y₂ ， y₃的大小关系是（）

A、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ B、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ C、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$ D、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$

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18、已知点A(m-1，3)与点B(2，n-1)关于y轴对称，则(m+n)的值为( )

A、0 B、3 C、- 1 D、1

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19、若分式 $\frac{x^{2} - 9}{2 x + 6}$ 的值为 0，则x的值为（）

A、3 B、-3 C、±3 D、9

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20、已知 $a = {(\frac{1}{2})}^{- 3}, b = {(- 2)}^{2}, c = {(π - 2025)}^{0}$ ，则 a，b，c的大小关系是（）

A、b<a<c B、b<c<a C、c<b<a D、a<b<c

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