相关试卷

1、用配方法解方程 $x^{2} + 8 x + 9 = 0$ ，变形后的结果正确的是（）

A、 ${(x + 4)}^{2} = - 7$ B、 ${(x + 4)}^{2} = - 9$ C、 ${(x + 4)}^{2} = 7$ D、 ${(x + 4)}^{2} = 25$

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2、下列图形中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3、在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D是 $A C$ 边上一点，点E是射线 $B D$ 上一动点，连 $A E$ ， $C E$ ．

(1)、如图1，点E在线段 $B D$ 上，且 $A E$ 平分 $∠ B A C$ ，若 $∠ B A C = 90 °$ ， $∠ A D B = 60 °$ ，求证 $D E = D C$ ；

(2)、如图2，点E在 $B D$ 的延长线上，若 $∠ B A C = 90 °$ ， $∠ A E B = 45 °$ ，求 $∠ B E C$ 的度数；

(3)、如图3，点E在 $B D$ 的延长线上，若 $∠ B A C = 180 ° - 2 α$ ， $∠ A E B = α$ ，过点A作 $A F ⊥ B E$ 于点F，过点C作 $C G ∥ A E$ 交 $B D$ 于点G，用等式表示 $B G$ 与 $E F$ 的数量关系式，并证明．

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4、综合与实践：
活动一：情景再现，明晰原理
如图 $1$ ，牧民从 $A$ 地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮水，回到 $A$ 处，牧民怎样走可使所走的路径最短？
如图 $2$ ，分别作点 $A$ 关于直线 $l_{1} ， l_{2}$ 的对称点 $A_{1} ， A_{2}$ ，连接 $A_{1} A_{2}$ 与直线 $l_{1}, l_{2}$ 交于点 $B ， C$ ，则点 $B$ 是牧马处，点 $C$ 是饮水处，此时所走的路径最短．
（ $1$ ）证明过程如下：（①填写合适的线段，②填写依据）
证明：在直线 $l_{1}$ 上任意找与 $B$ 不同的一点 $B_{1}$ ，在直线 $l_{2}$ 上任意找与 $C$ 不同的一点 $C_{1}$ ，连接 $A B_{1} ， A_{1} B_{1} ， A C_{1} ， A_{2} C_{1} ， B_{1} C_{1}$ ，
∵点 $A$ 关于直线 $l_{1} ， l_{2}$ 的对称点 $A_{1} ， A_{2}$ ，
∴直线 $l_{1} ， l_{2}$ 分别垂直平分 $A A_{1} ， A A_{2}$ ，
∴ $A B_{1} = A_{1} B_{1} ， A C_{1} =$ _①_，
∴ $A B_{1} + B_{1} C_{1} + C_{1} A = A_{1} B_{1} + B_{1} C_{1} + C_{1} A_{2}$ ，
$A B + B C + C A = A_{1} B + B C + C A_{2} = A_{1} A_{2}$ ，
∴ $A_{1} B_{1} + B_{1} C_{1} + C_{1} A_{2} > A_{1} A_{2}$ ( ___②___ )，
即所走的路径最短是 $A - B - C$ ．
活动二：感悟方法，尝试应用
（ $2$ ）如图 $3$ ，点 $A$ 在 $∠ B C D$ 的内部且 $∠ B C D = 70 °$ ， $E ， F$ 分别 $∠ B C D$ 两边 $C B ， C D$ 上的两点，当 $△ A E F$ 的周长最小时，求 $∠ E A F$ 的度数．
活动三：迁移拓展，综合应用
（ $3$ ）如图，某小区计划在休闲场地中修建风雨走廊为小区居民挡风遮雨．从商业区边沿 $D$ 处出发，先到公共绿化区边沿 $E$ 处，再到住宅区边沿 $F$ 处，然后回到点 $D$ 处．其中 $∠ A = 30 °$ ， $A B = 12$ 米， $A C = 12$ 米， $B C = 6.25$ 米，风雨走廊每米造价 $5000$ 元．当风雨走廊的总长 $D E + E F + F D$ 最短时，工程造价是多少元?

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5、如图， $△ A B C$ 是等边三角形，在 $A D ⊥ A C$ ，且 $A D = A C$ ，点 $E$ 是 $C D$ 的中点，连接 $A E$ ， $B D$ 交于点 $F$ ．

(1)、求 $∠ A F B$ 的度数；

(2)、问： $B F$ ， $A F$ ， $D F$ 之间的数量关系，并说明理由．

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6、如图， $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ 的平分线与 $△ A B C$ 的外角 $∠ A C N$ 的平分线交于点D，过点D作 $D E ⊥ B N$ 于E，连接 $A D$ ．

(1)、求证： $A D$ 平分 $∠ M A C$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 周长为20，求 $B E$ 的长．

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7、作图及计算：

(1)、尺规作图：在 $△ A B C$ 中，过点 $B$ 作 $A C$ 边上的高 $B D$ ；

(2)、在（1）的基础上， $∠ C = ∠ A B C = 2 ∠ A$ ，则 $∠ D B C$ 的度数．

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8、如图， $∠ 1 = ∠ 2$ ， $∠ B = ∠ D$ ．求证 $A B = C D$ ．

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9、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 是 $△ A B C$ 的三边．

(1)、若 $a = 2$ ， $b = 5$ ，则第三边c的取值范围是；

(2)、化简 $|a + b - c| + |a - b - c|$ ．

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10、计算： $x^{2} \cdot x^{4} \cdot x^{6} + {5 (- x^{4})}^{3} + {(- {2 x}^{6})}^{2}$

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11、如图，在平面直角坐标系中，A，B的坐标分别是 $A (0, 3), B (4, 0)$ ．点C是射线 $B O$ 上的一动点，过点C作 $C D ⊥ A B$ 于点D，交y轴于点E，当 $△ C O E$ 与 $△ A O B$ 全等时，则 $B C$ 长为．

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12、如图是小明绘制的“箭在弦上”的简笔画，已知箭杆 $C D$ 垂直平分 $A B$ ， $A C ＝ 5$ ，则 $B C$ 的长为．

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13、如图，已知 $△ A B C ≌ △ A D C$ ，若 $∠ B A C = 60 ° ， ∠ A C B = 20 °$ ，则 $∠ D =$ ．

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14、点 $M (2025, 2026)$ 关于y轴对称点 $M^{'}$ 的坐标为．

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15、如图， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线，点E是 $A B$ 边上一点，且满足 $A E : E B = 4 : 3$ ， $A D$ 与 $C E$ 交于点F，已知 $S_{△ A B C} = 21$ ，则 $S_{△ A E F} - S_{△ C D F}$ 是（）

A、 $1.5$ B、2 C、 $2.5$ D、3

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16、如图， $O C$ 平分 $∠ A O B$ ， $P$ 是 $O C$ 上一点， $P H ⊥ O B$ 于点 $H$ ，若 $P H = 6$ ，则点 $P$ 与射线 $O A$ 上某一点连线的长度可以是（　　）

A、3 B、4 C、5 D、10

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17、请仔细观察用直尺和圆规作一个角 $∠ A^{'} O^{'} B^{'}$ 等于已知角 $∠ A O B$ 的示意图，要说明 $∠ D^{'} O^{'} C^{'} = ∠ D O C$ ，需要证明 $△ D^{'} O^{'} C^{'} ≌ △ D O C$ ，则这两个三角形全等的依据是（　　）

A、边边边 B、边角边 C、角边角 D、角角边

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18、综合探究
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．
如图1所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推…

(1)、根据图形填写下表；

①
②
③
阴影面积
面积
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{8}$
______

(2)、计算： $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{2^{6}}$ ；（请写出计算过程）

(3)、类比：小华在计算 $\frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{3^{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{3^{100}}$ 时利用了如图2所示的正方形模型．
设正方形的面积为1，第1次分割，把正方形的面积三等分，阴影部分的面积为 $\frac{2}{3}$ ；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为 $\frac{2}{3} + \frac{2}{3^{2}}$ ；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为 $\frac{2}{3} + \frac{2}{3^{2}} + \frac{2}{3^{3}}$ ；…
①第n次分割后，空白部分的面积是______；
②由此计算 $\frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{3^{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{3^{100}}$ 的值．

(4)、拓展：计算 $\frac{m - 1}{m} + \frac{m - 1}{m^{2}} + \frac{m - 1}{m^{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{m - 1}{m^{n}} =$ ______．

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19、阅读材料：“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例如：已知 $a^{2} + 2 a = 1$ ，则代数式 $2 a^{2} + 4 a + 4 = 2 (a^{2} + 2 a) + 4 = 2 \times 1 + 4 = 6$ ．请根据以上材料解答下列问题：

(1)、若 $x^{2} - 3 x = 2$ ，则 $\frac{1}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x - 1$ 的值为______；

(2)、当 $x = 1$ 时，代数式 $p x^{3} + q x + 1$ 的值是5，求当 $x = - 1$ 时，代数式 $p x^{3} + q x + 1$ 的值；

(3)、当 $x = 2024$ 时，代数式 $a x^{5} + b x^{3} + c x - 5$ 的值为 $m$ ，求当 $x = - 2024$ 时，代数式 $a x^{5} + b x^{3} + c x - 5$ 的值（用含 $m$ 的式子表示）．

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20、在日历图中有许多奥秘，如图是某月的日历，请仔细观察并思考下列问题：
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
（1）课上我们探究了“3×3”型框架问题，如图框住的九个数的和与正中间数的关系为；
（2）我们还可以用如图所示的“X”字型框架任意框住日历中的5个数（如图中的阴影部分），探究“ $X$ ”字型框架中的五个数的和与正中间数的关系．
例如图中“ $X$ ”字型框架框住的五个数的和为： 2+4+10+16+18=50， 5+7+13+19+21=65；设“ $X$ ”字型框架中正中间数为m，探究“ $X$ ”字型框架中的五个数的和与正中间数的关系，请利用所学知识说明理由；
（3）如图所示的“ $X$ ”字型框架框住的五个数之和可以是120吗？如果可以，请写出正中间的数；如果不可以，请说明理由．

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	①	②	③	阴影面积
面积	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	______

日	一	二	三	四	五	六
		1	2	3	4	5
6	7	8	9	10	11	12
13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26
27	28	29	30	31

日	一	二	三	四	五	六
		1	2	3	4	5
6	7	8	9	10	11	12
13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26
27	28	29	30	31

日	一	二	三	四	五	六
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6	7	8	9	10	11	12
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