相关试卷

1、配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法.这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一.
我们定义：一个整数能表示成 $a^{2} + b^{2}$ （a，b是整数)的形式，则称这个数为“完全数”.例如，10是“完全数”.理由：因为 $10 = 3^{2} + 1^{2} .$ 再如， $M = x^{2} + 2 x y + 2 y^{2}$ $= {(x + y)}^{2} + y^{2} (x, y)$ 是整数)，所以M也是“完全数”.
解决问题：

(1)、请你再写一个小于10的“完全数”；并判断40是否为“完全数”；

(2)、若二次三项式 $x^{2} - 4 x + 8$ （x整数)是“完全数”，可配方成 ${(x - m)}^{2} + n^{2}$ （m， n为常数) ，则 mn的值为；

(3)、探究问题：已知 $S = x^{2} + 4 y^{2} + 2 x - 12 y + k$ （x， y是整数，k是常数)，要使S为“完全数”，试求出符合条件的k值.

(4)、拓展结论：已知实数x，y满足 $- x^{2} + 3 x + y - 2 = 0,$ 求x+y的最小值是

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2、如图，在Rt△ACE 中， ∠ACE=90°，点D是AE的中点，连接CD，过点C作CB∥AE，过点A 作AB∥CD， CB， AB交于点B，连接BD.

(1)、求证：四边形 ABCD 是菱形；

(2)、连接BE 交AC于点G，交CD于点 F，若BD=BC， CD=4，求OG的长

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3、已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程 $x^{2} - m x + \frac{m}{2}$ $- \frac{1}{4} = 0$ 的两个实数根.

(1)、当m为何值时，四边形ABCD是菱形?求出这时菱形的边长；

(2)、若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少?

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4、如图，AD是△ABC的角平分线，请用尺规作图法，求作菱形AEDF，使得点E、F分别在边AB、AC上.（保留作图痕迹，不写作法)

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5、用合适的方法解方程：

(1)、 $x^{2} - 6 x + 4 = 0;$

(2)、 $2 y^{2} - 5 y + 2 = 0;$

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6、如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E为AB的中点，G为射线AB上一动点，F为DG 的中点，若直线 EF⊥直线 CG，则AG==

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7、在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛)，已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有支

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8、如图，菱形 ABCD 的周长为20，对角线 BD=6，则菱形ABCD 的面积为.

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9、如图①，将一个正方形纸片沿虚线对折两次，得到图②，按照图②所示剪去一个腰长为2的等腰直角三角形，展开后得到一个如图③所示的正八边形ABCDEFGH，将剪下的四个等腰直角三角形拼成一个正方形 JKMN，放在正八边形内部，MN与BA 重合，L为EF的中点，连接LK.将正方形JKMN绕点A 顺时针旋转45°， JN与HA 重合，此时LK的长为（）

A、3 B、 $\sqrt{10}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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10、如图，以矩形ABCD 的顶点A为圆心，AD长为半径画弧交CB 的延长线于 E；过点D作 DF∥AE 交BC 于点 F，连接AF. AB=4，AD=5，则AF的长是（，

A、2 $\sqrt{5}$ B、 $3 \sqrt{5}$ C、3 D、3 $\sqrt{3}$

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11、如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m.停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m².求车道的宽度（单位：m).设停车场内车道的宽度为 xm，根据题意所列方程为（ )

A、（40-2x)（22-x)=520 B、（40-2x)（22-2x)=520 C、（40-x)（22-x)=520 D、（40-x)（22+x)=520

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12、若x₁ ， x₂是方程 $x^{2} + 2 x - 5 = 0$ 的两个根，则 $2 x_{1} + x_{1} x_{2} + 2 x_{2}$ 的值为（ )

A、- 9 B、- 1 C、1

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13、关于x 的一元二次方程 $k x^{2} - 4 x - 1 = 0$ 有两个实根，则k 的取值范围是（ )

A、k≥-4 B、k≥4 C、k>-4 D、k≥-4且k≠0

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14、下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ )

A、 $x^{2} - 1 = 2 x$ B、 $x^{3} + 2 x^{2} = 0$ C、 $x^{2} + \frac{2}{x} = 0$ D、 $x^{2} - y + 1 = 0$

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15、【定义】如果从某一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，该对角线可称为“垂中对角线”，垂足叫做“垂中点”.
如图1，在▱ABCD中， BF⊥AC于点E，交AD于点F，若F为AD的中点，则▱ABCD是垂中平行四边形，E是垂中点.

(1)、①菱形（填“可能”或“不可能”)是“垂中平行四边形”.
②如图1，▱ABCD是“垂中平行四边形”，其中AC是“垂中对角线”，则 $\frac{A E}{A C}$ 的值为

(2)、如图2，在矩形ABCD中，AD = 6 $\sqrt{3}$ ， AD >AB.若该矩形是“垂中平行四边形”，且AC是其“垂中对角线”，求AB的长.

(3)、如图3，在 $△ A B C$ 中， $B E ⊥ A C$ 于点E， $C E = 2 A E = 4, B E = 3 .$ 若BC是某个“垂中平行四边形”的边，点E为该“垂中平行四边形”的垂中点，点A在垂中平行四边形的边上，请画出图形并直接写出这个“垂中平行四边形”的周长.

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16、综合与实践
【项目主题】科技文创产品的销售利润与定价策略
【素材呈现】
素材1：合肥某科技文创公司依托中科院合肥物质科学研究院“全超导托卡马克（人造太阳)”这一世界级科学装置IP，新开发了一款“人造太阳”科普拼装模型.该模型每件的生产成本为40元.公司计划采用降价促销的方式，让更多青少年了解可控核聚变这一前沿科技，同时获取合理利润.
素材2：市场调研发现，当这款模型的售价定为60元/件时，每天可售出200件.在此基础上，售价每降低2元，每天的销售量就会增加10件.
素材3：为保证可持续运营，模型的实际售价x元不能低于成本价，且为维持品牌科技感，最高不超过60元（即40≤x≤60).
【问题解决】

(1)、用含x的代数式表示该公司每天售出“人造太阳”模型的数量是件；

(2)、若该公司销售该模型每天的利润恰好为2500元，求此时模型的实际售价；

(3)、为响应合肥市“科创科普两翼齐飞”的号召，公司决定每售出一件模型，就向市青少年科技创新奖励基金捐赠5元.问扣除捐赠后公司每天获得的实际利润能否达到3800元?若能，求出此时售价；若不能，请通过计算说明理由.

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17、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF=BE，连接DF.

(1)、求证：四边形ADFE是矩形；

(2)、连接OF，若AD=8， EC=6， ∠BAE=30°，求OF的长度.

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18、我们把一元二次方程（ $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两根记为x₁ ， x₂ ，若方程的两根满足 $x_{1} +$ $x_{2} = 2 k,$ 则称这个方程为对称根方程，并定义它的对称中心值为k；对于两个对称根方程，若它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值，则称这两个方程互为互补对.已知关于x的方程 $x^{2} - (2 m + 4) x + 4 m = 0 .$

(1)、不论m取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根；

(2)、若该方程是对称根方程，且对称中心值为5，求m的值；

(3)、若 $x^{2} - 10 x + 21 = 0$ 是它的互补对，求m的值.

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19、如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，（要求仅用无刻度的直尺不要求写画法，保留必要的作图痕迹)

(1)、在图1中，以C为位似中心，位似比为1：2；请画出放大后的△A₁B₁C₁.

(2)、在图2中，线段AB上作点M，利用格点作图使得 $\frac{A M}{B M} = \frac{3}{2} .$

(3)、在图3中，利用格点在AC边上作一个点D，使得△ABD∽△ACB.

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20、在边长为1的正方形ABCD中， $B E = \frac{2}{3},$ 连接CE，将△CBE沿CE折叠得到△CGE， CG交BD于点M，延长CG B交AD于点F，则点G到AB的距离是.

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