相关试卷

1、计算： ${(π - 2026)}^{0} + |\sqrt{3} - 2| + {(- 1)}^{2026} - \sqrt{25}$ ．

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2、如图，线段 $A B = 2$ ，点 $C$ 与点 $D$ 均为线段 $A B$ 的黄金分割点，则 $C D =$

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3、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 是 $△ A B C$ 的三边长，且 $\frac{a}{5} = \frac{b}{4} = \frac{c}{6} \neq 0$ ．

(1)、 $\frac{2 a + b}{3 c}$ 的值为__________．

(2)、若 $△ A B C$ 的周长为90，求各边的长．

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4、用适当的方法解下列方程：

(1)、 $4 {(x - 1)}^{2} - 9 = 0$ ；

(2)、 $y^{2} - 2 y = 5$ ；

(3)、 $x^{2} - \sqrt{3} x - \frac{9}{4} = 0$ ；

(4)、 ${(x + 2)}^{2} - 4 {(x - 3)}^{2} = 0$ ．

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5、如图，菱形 $A B C D$ 中， $B D = 6$ ， $A C = 8$ ，直线 $E F ⊥ A B$ 交两对边于点 $E$ ， $F$ ，则 $E F$ 的长为

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6、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B C A = 90 °$ ，点 $P$ 为斜边 $A B$ 上一动点，过点 $P$ 作 $P D ⊥ B C$ 于 $D$ ， $P E ⊥ A C$ 于 $E$ ，连接 $D E$ ．若 $A B = 13$ ， $B C = 12$ ，则 $D E$ 的长不可能等于（）

A、5 B、 $\frac{9}{2}$ C、 $\frac{11}{2}$ D、6

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7、我国传统建筑中的窗棂古典雅致，含蓄灵动．构成某幅窗棂的一个窗格可抽象成如图所示的菱形 $A B C D$ ，连接 $A C$ 、 $B D$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $A B = 2$ ，则 $B D$ 的长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、2 D、 $2 \sqrt{3}$

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8、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于半径为1的 $⊙ O$ ，线段 $A B$ 及直线l，给出如下定义：若线段 $A B$ 关于直线 $l$ 的对称线段 $A^{'} B^{'}$ 是 $⊙ O$ 的弦，则称线段 $A B$ 为 $⊙ O$ 关于直线 $l$ 的引入弦．

(1)、如图1，点 $A_{1} (- 2, 1)$ ， $B_{1} (0, 3)$ ， $A_{2} (1, 2)$ ， $B_{2} (3, 2)$ ， $A_{3} (2, - 1)$ ， $B_{3} (2, - 2)$ ，线段 $A_{1} B_{1}$ ， $A_{2} B_{2}$ ， $A_{3} B_{3}$ 中，是 $⊙ O$ 关于某条直线的引入弦的为__________．

(2)、如图2，点 $A (- 1, 3)$ ， $B (- 3, 1)$ ，点C在直线 $y = x + 2$ 上，若线段 $A B$ ， $A C$ 和 $B C$ 中，至少有一条线段是 $⊙ O$ 的引入弦，直接写出点 $C$ 的纵坐标 $y_{c}$ 的取值范围．

(3)、如图3，线段 $M N$ 是 $⊙ O$ 关于直线 $y = - x + b$ 的引入弦，且 $M N = 1$ ．以点 $E (1, 1)$ ， $F (1, 2)$ ， $G (2, 2)$ ， $H (2, 1)$ 为顶点的正方形 $E F G H$ 与线段 $M N$ 有公共点，请直接写出b的取值范围．

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9、如图，在等边 $△ A B C$ 中，点 $M$ 是 $A B$ 边上一点，且 $B M < A M$ ，点 $M$ 关于 $B C$ 所在直线的对称点是 $N$ ，连接 $C M$ ， $C N$ ，在 $A C$ 上取一点 $E$ 使得 $N E = N C$ ， $N E$ 与 $C M$ 交于点 $P$ ．

(1)、依题意补全图形；

(2)、求 $∠ M P N$ 的度数；

(3)、用等式表示 $B M$ 与 $A E$ 的数量关系并证明．

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10、如图， $⊙ O$ 的直径 $C D$ 与弦 $A B$ 交于点E， $E A = E B$ ，过点 $A$ 作射线 $A F$ 使得 $∠ C A F = ∠ C A B$ ．

(1)、求证： $A F$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $A$ ；

(2)、延长 $C D$ 交射线 $A F$ 的反向延长线于点 $K$ ，若 $E D = 1$ ， $D K = 3$ ，求 $⊙ O$ 的半径长．

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11、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图象经过点 $A (2, 1)$ 和 $B (0, - 1)$ ．

(1)、求该函数的表达式；

(2)、当 $x > 3$ 时，对于 $x$ 的每一个值，函数 $y = a x + 1 (a \neq 0)$ 的值小于函数 $y = k x + b$ 的值且大于0，直接写出 $a$ 的取值范围．

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12、三等分角问题、倍立方体问题和化圆为方问题被称为古希腊三大尺规作图难题．小岩对三等分角问题很感兴趣．于是，他利用所学的数学知识，发明了一个三等分角器．
三等分角器的制作方法：
1．准备好薄铁片；
2．按图1所示制作：三等分角器分别由两条矩形铁片和一个半圆铁片构成．其中满足：点A，B，O，C在同一条直线上， $B C$ 为半圆的直径，点O为半圆的圆心， $A B$ 与半圆的半径相等， $B D$ 与半圆相切于点B．
三等分角器的使用方法：如图2，要将 $∠ E F G$ 三等分．首先将 $∠ E F G$ 的顶点F放在三等分角器的BD上，然后调整点F的位置使角的一边 $F E$ 经过点A，另一边 $F G$ 与半圆相切，最后连接 $F O$ ，则 $F B$ ， $F O$ 即完成了 $∠ E F G$ 的三等分．
请完成以下三等分角器的原理的证明．
已知：如图2，点A，B，O，C在同一条直线上， $B C$ 为半圆的直径，点O为半圆的圆心， $A B = O B = O C$ ， $B D$ 与半圆相切于点B， $F G$ 与半圆相切，连接 $F O$ ．
求证： $∠ E F B = ∠ O F B = ∠ O F G$ ．
证明：
$∵ B C$ 为半圆的直径，点 $O$ 为半圆的圆心， $B D$ 与半圆相切于点 $B$ ，
$∴ B D ⊥ B O$ （__________）．（填推理依据）
又 $∵ A B = O B$ ，
$∴ F B$ 垂直平分 $A O$ ．
$∴ F A =$ __________．
又 $∵ F B ⊥ A O$ ，
$∴$ __________ $= ∠ O F B$ ．
$∵ F B$ ， $F G$ 与半圆 $O$ 相切，
$∴$ __________ $= ∠ O F G$ （__________）．（填推理依据）
$∴ ∠ E F B = ∠ O F B = ∠ O F G$ ．

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13、2025年9月3日，我们迎来了纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年的重要时刻．这次阅兵，由徒步方队、装备方队和空中梯队组成．空中护旗梯队由多型直升机组成，他们以“最高标准、最好状态、最佳效果”飞过天安门上空，接受祖国和人民的检阅．如图1，26架直升机汇成巨大的“”字样，其中“”由14架飞机组成，“”由12架飞机组成．如图2，将每一架飞机当作一个点，连接形成由两个正八边形组成的图案“”如果将B，C两点隐去，连接AE，DF，则得到图3中的图案“”．发现“”的面积比“”的面积大 $400 m^{2}$ ，求组成正八边形“”的相邻两架飞机的距离是多少米？

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14、已知二次函数 $y = (x + 3) (x + 1)$ ．

(1)、求此函数图象的对称轴和顶点坐标；

(2)、填表，并画出此函数的图象；
x
…

…
y
…

…

(3)、若点 $A (0, y_{1})$ 和 $B (n, y_{2})$ 都在此函数的图象上，且 $y_{1} < y_{2}$ ，结合函数图象，直接写出 $n$ 的取值范围．

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15、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + m - 1 = 0$ 有两个实数根．

(1)、求 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $m$ 为正整数，方程的根都为正整数，求此时方程的根．

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16、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点P在第一象限， $⊙ P$ 与 $x$ 轴相切于点 $Q$ ，与 $y$ 轴交于 $M (0, 4)$ ， $N (0, 16)$ 两点，则点 $P$ 的坐标是．

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17、如图，OA是 $⊙ O$ 的半径，弦 $B C ⊥ O A$ ， D是 $⊙ O$ 上一点，且点 $D$ 在优弧BC上．若 $∠ A D B = 26 °$ ，则 $∠ A O C$ 的度数为 $°$ ．

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18、如图， $P A$ ， $P B$ 分别与 $⊙ O$ 相切于点 $A$ ， $B$ ，点 $C$ 为 $\overset{⌢}{A B}$ 上的点，过点 $C$ 的切线分别交 $P A$ ， $P B$ 于点 $M$ ， $N$ ．若 $△ P M N$ 的周长为 $32$ ，则 $P A$ 的长为（）

A、 $16$ B、 $15$ C、 $30$ D、 $26$

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19、如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 经过点 $(3, 0)$ ，对称轴是直线 $x = 1$ ，下面结论中正确的是（）

A、 $a c > 0$ B、 $b^{2} < 4 a c$ C、 $4 a + 2 b + c < 0$ D、 $2 a + b = 0$

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20、如图，圆的两条弦 $A B$ ， $C D$ 相交于点E，且 $\overset{⌢}{A D} = \overset{⌢}{C B}$ ， $∠ A = 39 °$ ，则 $∠ C E B$ 的度数为（）

A、 $51 °$ B、 $61 °$ C、 $78 °$ D、 $90 °$

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x	…						…
y	…						…