相关试卷

1、已知抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ （b、c为常数）经过点 $A (- 1, 0)$ ．

(1)、若抛物线经过点 $B (2, 3)$ ．
①求抛物线的函数表达式；
②若抛物线上的点 $M (t, m)$ 在直线 $A B$ 的上方，当 $t > 0$ 时，求m的取值范围．

(2)、若抛物线与x轴的另一个交点为C ，与y轴的交点为D ，求证： $C D = \sqrt{2} | b + 1 |$ ．

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2、如图，在矩形 $A B C D$ 中 $A D = 8$ ，以 $B C$ 为直径作半圆O ，切线 $A E$ 的延长线交 $C D$ 于点F ， E为切点，对角线 $B D$ 恰好过E点．

(1)、求证：F为 $C D$ 中点；

(2)、求 $A B$ 的长．

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3、请同学们认真阅读下面求代数值的方法．
已知实数 $x$ 、 $y$ 满足 $x - y = 4, x y = - 1$ ，计算 $x^{3} - y^{3}$ 的值．
解：因为 $x^{2} + y^{2} = {(x - y)}^{2} + 2 x y = 16 + 2 \times (- 1) = 14$ ，
所以 $x^{3} - y^{3} = (x^{2} + y^{2}) (x - y) + x y (x - y) = 14 \times 4 + (- 1) \times 4 = 52$ ．
借鉴上面的方法，解决下列问题：
若实数a、b满足 $a - b = 3, a b = - 1$ ．

(1)、求 $a^{3} - b^{3}$ 的值；

(2)、求 $a^{5} - b^{5}$ 的值．

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4、如图，一款杯子的轴截面可以抽象成等腰梯形（ $A B = C D$ ， $A D ∥ B C$ ， $A D \neq B C$ ），某同学想知道该杯子最大盛水高度（即C到 $A D$ 的距离）与杯子内底面的直径，通过测量，得到了如下数据： $A C = A D = 13 c m$ ， $C D = 10 c m$ ．请帮该同学计算：

(1)、杯子最大盛水高度：

(2)、内底面的直径（ $B C$ 的长度）

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5、 2025年3月30日是第30个全国中小学安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校举行了两次校园安全知识竞赛活动，某班有50名学生，现对这个班两次竞赛成绩（十分制）进行收集、整理和统计，画出如下统计图表．
第一次校园安全知识竞赛得分情况统计表
竞赛成绩（分）
5
7
8
9
10
人数（人）
2
1
13
16
18
请根据以上信息，回答下列问题：

(1)、两次校园安全知识竞赛得分的中位数分别是多少分？

(2)、求该班第二次校园安全知识竞赛得分的平均分．

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6、解方程： $3 (x + 4) = (x + 4) (x + 1)$ ．

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7、先化简，再求值： $(\frac{2}{x^{2} - 4} + \frac{1}{x + 2}) \div \frac{1}{x - 2}$ ，其中 $x = 1$ ．

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8、如图， $⊙ O$ 直径 $A B = 10 c m$ ，弦 $A C = 6 c m, ∠ A C B$ 的平分线分别交 $⊙ O$ 、 $A B$ 于点D ， M ，则线段 $D M$ 的长为．

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9、七巧板是我国古代著名的益智玩具，由一个正方形分割成七块几何图形组成，现把正方形边长为 $4$ 的图1七巧板拼成“小天鹅”形状，并放置在图2所示的直角坐标系中，则最高点 $A$ 的坐标为．

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10、某河堤横断面如图所示，提高 $A C = 3$ 米，迎水坡AB的坡比是 $1 : 3$ （即 $t a n ∠ A B C = \frac{1}{3}$ ），则AB的长为米．

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11、点 $P (2, - 3)$ 关于y轴对称的点的坐标为．

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12、某超市进行购物抽奖活动：购物满58元即可参加一次抽奖，共设一等奖、二等奖、三等奖三种奖项，中奖概率 $100 %$ ，其中一等奖、二等奖、三等奖的比例是 $1 : 3 : 6$ ，则一名顾客抽奖一次获得一等奖的概率是．

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13、计算： ${(- 1)}^{2026} - \sqrt{4} =$ ．

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14、为筹备校园“正方形主题文化角”，工作人员用两个边长相同的正方形展板布置：如图 $1$ ，固定展板 $A B C D$ （顶点 $A$ 、 $C$ 在直线展台 $M N$ 上）与移动展板 $E F G H$ （顶点 $E$ 、 $G$ 在直线展台 $M N$ 上），移动展板可沿 $M N$ 平移．设固定展板顶点 $C$ 与移动展板顶点 $E$ 的距离为 $x$ （单位： $m$ ）（ $0 \leq x \leq 8$ ），两个展板重叠部分的面积为 $y$ （单位： $m^{2}$ ）， $y$ 关于 $x$ 的函数图象如图 $2$ 所示．下列选项正确的是（）

A、正方形的对角线长为 $2 \sqrt{5} m$ B、当 $x = 2$ 时，重叠面积 $y = 2 m^{2}$ C、当 $x = 5$ 时，重叠面积 $y = 6 m^{2}$ D、函数图象的最高点的坐标为 $(4, 10)$

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15、如图，有一格点 $△ A B C$ ，现要找一点P ，使得 $B P$ 平分 $∠ A B C$ ，甲、乙两位同学给出了他们的作法，请判断两人的作法是否正确（）

A、甲、乙都对 B、甲、乙都错 C、甲错、乙对 D、甲对、乙错

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16、在平面直角坐标系中，点P是直线 $y = - x + 4$ 上一点，O为坐标原点，则 $P O$ 的最小值为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、 $4 \sqrt{2}$

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17、如图所示， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等边三角形， $∠ B E C = 40 °$ ，则 $∠ D B E$ 的度数为（）

A、 $90 °$ B、 $100 °$ C、 $120 °$ D、 $160 °$

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18、古代粮仓用大、小两种量器称米．已知：每个大量器可装米5斗；每个小量器可装米4斗．管理员进行了两次称量，记录如下：第一次用3个大量器和2个小量器装米，称得米的重量为230斤；第二次用2个大量器和3个小量器装米，称得米的重量为220斤．设每个大量器可装米x斤，每个小量器可装米y斤，则可列出方程组（）

A、 ${\begin{array}{l} 30 x + 12 y = 230 \\ 20 x + 18 y = 220 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 3 x + 2 y = 220 \\ 2 x + 3 y = 230 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 3 x + 2 y = 230 \\ 2 x + 3 y = 220 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 10 x + 6 y = 230 \\ 10 x + 6 y = 220 \end{array}$

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19、计算某一组数据的方差算式如下： $S^{2} = \frac{{(x_{1} - 10)}^{2} + {(x_{2} - 10)}^{2} + \dots + {(x_{5} - 10)}^{2}}{5} = 2$ ，根据该算式，得到下列结论：①一共有5个数据；②该数据的平均数是10；③该数据的标准差是 $\sqrt{2}$ ；④若添加一个数据10，新数据的方差不变，其中正确的结论有（）个

A、1 B、2 C、3 D、4

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20、截至2月8日（春运第7天）全社会跨区域人员流动量为227713000人次，227713000用科学记数法可表示为（）

A、 $2.27713 \times 1 0^{8}$ B、 $0.227713 \times 1 0^{9}$ C、 $0.227713 \times 1 0^{8}$ D、 $2.27713 \times 1 0^{9}$

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竞赛成绩（分）	5	7	8	9	10
人数（人）	2	1	13	16	18