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相关试卷

1、函数 $f (x) = a^{x - 3} + 2$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象恒过定点（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(0, 3)$ C、 $(3, 3)$ D、 $(4, 1)$

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2、下列四组函数中， $f (x)$ 与 $g (x)$ 表示同一函数是（）

A、 $f (x) = x - 1, g (x) = \frac{x^{2} - 1}{x + 1}$ B、 $f (x) = |x + 1|, g (x) = \{\begin{matrix} x + 1, x \geq - 1 \\ - x - 1, x < - 1 \end{matrix}$ C、 $f (x) = 1, g (x) = {(x + 1)}^{0}$ D、 $f (x) = x, g (x) = {(\sqrt{x})}^{2}$

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3、设：p： $x < 23$ ， q： $13 < x < 23$ ，则p是q成立的（）

A、充分必要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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4、函数 $y = 2 x + \frac{1}{x} (x > 0)$ 的最小值为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、3 D、4

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5、已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ， $B = \{2, 3\}$ ， $C = \{2, 4, 6\}$ ，则 $(∁_{A} B) \cap C =$ （）

A、 $\{2, 4, 6\}$ B、 $\{1, 3, 4, 5, 6\}$ C、 $\{4, 6\}$ D、 $\{2\}$

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6、若无穷数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\forall n \in N^{*}$ ， $|a_{n} - a_{n + 1}| = n + 1$ ，则称 $\{a_{n}\}$ 具有性质 $P_{1}$ ．若无穷数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\forall n \in N^{*}$ ， $a_{n} a_{n + 4} + 1 \geq a_{n + 2}^{2}$ ，则称 $\{a_{n}\}$ 具有性质 $P_{2}$ ．

(1)、若数列 $\{a_{n}\}$ 具有性质 $P_{1}$ ，且 $a_{1} = 0$ ，请直接写出 $a_{3}$ 的所有可能取值；

(2)、若等差数列 $\{a_{n}\}$ 具有性质 $P_{2}$ ，且 $a_{1} = 1$ ，求 $a_{2}^{2} + a_{3}^{2}$ 的取值范围；

(3)、已知无穷数列 $\{a_{n}\}$ 同时具有性质 $P_{1}$ 和性质 $P_{2}$ ， $a_{5} = 3$ ，且 $0$ 不是数列 $\{a_{n}\}$ 的项，求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式．

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7、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A B C$ 是边长为2的正三角形，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 是菱形，平面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $E$ ， $F$ 分别是棱 $A_{1} C_{1}$ ， $B C$ 的中点， $G$ 是棱 $C C_{1}$ 上一点，且 $\vec{C_{1} G} = t \vec{G C} (t > 0)$ ．

(1)、证明： $E F$ $/ /$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、若三棱锥 $C {}_{1}- A B C$ 的体积为1，且二面角 $A - E G - F$ 的余弦值为 $\frac{4 \sqrt{53}}{53}$ ，求 $t$ 的值．

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8、古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率 $π$ 与椭圆的长半轴长、短半轴长的乘积.已知椭圆 $M$ 的中心为坐标原点，焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 均在 $x$ 轴上，面积为 $2 π$ ，点 $(1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 在椭圆 $M$ 上.

(1)、求椭圆 $M$ 的标准方程；

(2)、经过点 $P (- 1, 0)$ 的直线 $l$ 与曲线 $M$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $△ O A B$ 与椭圆 $M$ 的面积比为 $\frac{2}{5 π}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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9、已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装 $x$ 千件并全部销售完，销售收入为 $R (x)$ 万元，且 $R (x) = \{\begin{array}{l} (10.8 - \frac{1}{30} x^{2}) x, (0 < x \leq 10) \\ 108 - \frac{1000}{3 x}, (x > 10) \end{array}$ （注：年利润 $=$ 年销售收入 $-$ 年总成本）

(1)、写出年利润 $W$ （万元）关于年产量 $x$ （千件）的函数解析式；

(2)、求公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大时的年产量.

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10、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $12 b^{2} sin A + 2 a b + \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{\cos C} = 0.$

(1)、求 $\sin A \cos C$

(2)、若 $sin A = \frac{1}{3}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{6 \sqrt{2} - \sqrt{3}}{4}$ ，求a的值.

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11、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， P为双曲线C上一点．若当 $P F_{2}$ 与x轴垂直时，有 $∠ P F_{1} F_{2} = 45 °$ ，则双曲线C的离心率为．

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12、已知平面内两定点 $M (0, - 2)$ 和 $N (0, 2)$ 与一动点 $P (x, y)$ P(x，y)，满足 $|\vec{P M}| \cdot |\vec{P N}| = m (m \geq 4)$ ，若动点 $P$ 的轨迹为曲线 $E$ ，则下列关于曲线E的说法正确的是（）

A、存在 $m$ ，使曲线 $E$ 过坐标原点； B、曲线 $E$ 关于 $y$ 轴对称，但不关于 $x$ 轴对称； C、若 $P, M, N$ 三点不共线，则 $△ P M N$ 周长最小值为 $2 \sqrt{m} + 4$ ； D、曲线 $E$ 上与 $M, N$ 不共线的任意一点 $G$ 关于原点对称的点为 $H$ ，则四边形 $G M H N$ 的面积不大于 $m$ .

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13、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $S_{n}$ 是 $a_{n}$ 的前 $n$ 项和，满足 $S_{18} < 0$ ， $S_{19} > 0$ ，则有限项数列 $\frac{S_{1}}{a_{1}}, \frac{S_{2}}{a_{2}}, \cdot \cdot \cdot, \frac{S_{18}}{a_{18}}, \frac{S_{19}}{a_{19}}$ 中，最大项和最小项分别为（）

A、 $\frac{S_{9}}{a_{9}}, \frac{S_{18}}{a_{18}}$ B、 $\frac{S_{9}}{a_{9}}, \frac{S_{10}}{a_{10}}$ C、 $\frac{S_{19}}{a_{19}}, \frac{S_{10}}{a_{10}}$ D、 $\frac{S_{19}}{a_{19}}, \frac{S_{18}}{a_{18}}$

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14、若 $\sin α + cos (π - α) = \frac{3}{4}, α \in (0, π)$ ，则 $sin (a + \frac{π}{4})$ 的值为（）

A、 $\frac{7}{8}$ B、 $- \frac{\sqrt{46}}{8}$ C、 $- \frac{7}{8}$ D、 $\frac{\sqrt{46}}{8}$

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15、已知正方形 $A B C D$ 的边长为1，设点M、N满足 $\overset{⃑}{A M} = λ \overset{⃑}{A B}$ ， $\overset{⃑}{A N} = μ \overset{⃑}{A D}$ .若 $\overset{⃑}{C M} \cdot \overset{⃑}{C N} = 1$ ，则 $λ^{2} + 2 µ^{2}$ 的最小值为（）

A、2 B、1 C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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16、已知集合 $A = \{x \in N^{*} ∣ x^{2} - 5 x \leq 0\}, B = {x \in Z ∣ |x - 1| < 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$

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17、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ， $(a - 2 c) \cos B + b \cos A = 0$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $a = 2, b = \sqrt{19}$ ，且 $B A, C A$ 边上的两条中线 $C M, B N$ 相交于点G，求 $∠ M G N$ 的余弦值；

(3)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $c > a$ ，记 $△ A B C$ 的外心和垂心分别为 $O, H$ ，连接 $O H$ 的直线与线段 $A B, B C$ 都相交，求证：线段 $O H$ 的长度为 $c - a$ ．

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18、鸡蛋在冰箱冷藏的环境下，可以有效减缓鸡蛋内部的变化速度，延长其保质期．已知新鲜鸡蛋存储温度 $x$ （单位：摄氏度）与保鲜时间 $t$ （单位：小时）之间的函数关系式为 $t (x) = e^{a x + b}$ ．新鲜鸡蛋在存储温度为8摄氏度的情况下，其保鲜时间约为432小时；在存储温度为6摄氏度的情况下，其保鲜时间约为576小时．

(1)、新鲜鸡蛋在存储温度为7摄氏度的情况下，其保鲜时间约为多少小时；

(2)、已知新鲜鸡蛋在冰箱里冷藏一般能存30天至45天左右，若某超市希望保证新鲜鸡蛋的保鲜时间不少于40天，则超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于多少摄氏度？（结果保留两位小数）
参考数据： $\lg 2 \approx 0.30, \lg 3 \approx 0.48$

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19、已知函数 $f (x) = x^{2} - \sqrt{a + b} \cdot x + a b (a, b \in R^{+})$

(1)、若不等式 $f (x) < 0$ 的解集为 $(\frac{1}{2}, 1)$ ，求a，b的值

(2)、若方程 $f (x) = 0$ 仅有一个实数解，求 $a + 4 b$ 的最小值.

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20、已知 $△$ ABC的顶点 $A (5, 1)$ ， AB边上的中线CM所在直线方程为 $2 x - y - 5 = 0$ ， AC的边上的高BH所在直线方程为 $x - 2 y - 5 = 0$ ．

(1)、求顶点C的坐标；

(2)、求直线BC的方程．

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